22章 一元二次方程全章教案.docx

22章 一元二次方程全章教案.docx

《22章 一元二次方程全章教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《22章 一元二次方程全章教案.docx（32页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

22章一元二次方程全章教案

二十二章一元二次方程导学提要

主备人：

曹文静

参与人：

王玉霞、李美玲、马新明、雷学贞

22．1一元二次方程

（1）

学习内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．

学习目标了解一元二次方程的概念；

一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；

应用一元二次方程概念解决一些简单题目．

学习重难点关键

1．重点：

一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．

2．难点：

通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．

学习过程

一、自学导引

观察下列方程，请口答下面问题．

（1）3x2+7=0

（2）

（3）

（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？

（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

（3）有等号吗？

或与以前多项式一样只有式子？

一元二次方程的概念:

一元二次方程必须同时满足的三个条件:

（1）

（2）

（3）

一元二次方程的一般形式:

其中二次项为：

二次项系数为：

一次项为：

一次项系数为：

常数项为：

仔细阅读例1，完成下列题目：

1:

判断下列方程是否为一元二次方程：

2:

指出一元二次方程的二次项及其系数、一次项系数及其系数和常数项.

（5）

（6）（8-2x）（5-2x）=18（7）（x+1）2+（x-2）（x+2）=1

二、巩固拓展

1，教材练习1、2习题22.1第1题

2，求证：

关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

三、效果评估

一、选择题

1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．

①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-

=0

A．1个B．2个C．3个D．4个

2方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6B．2，-3，18C．2，-3，6D．2，3，6

3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．

A．p=1B．p>0C．p≠0D．p为任意实数

二、填空题

1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．

三、综合提高题

1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=

x-（x+1）是一元二次方程？

2．左图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，求

的值（列出方程）．

3．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？

为什么？

22．1一元二次方程

（2）

学习目标

了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．

重难点关键

1．重点：

判定一个数是否是方程的根；

2．难点：

由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．

学习过程

1，阅读课本内容回答：

一元二次方程的根：

★为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：

一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．

2．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．

3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

（1）x2-64=0

（2）3x2-6=0（3）x2-3x=0

二，巩固拓展

教材1，思考题,

2，练习1、2,

3，习题22.1第3,4

三，效果评估

一、选择题

1．方程x（x-1）=2的两根为（）．

A．x1=0，x2=1B．x1=0，x2=-1C．x1=1，x2=2D．x1=-1，x2=2

2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）．

A．x1=b，x2=aB．x1=b，x2=

C．x1=a，x2=

D．x1=a2，x2=b2

3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0），则

=（）．

A．1B．-1C．0D．2

二、填空题

1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．

2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．

3．方程（x+1）2+

x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．

三、综合提高题

1．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．

2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：

-1必是该方程的一个根．

3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（

）2-2x

+1=0，令

=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：

在（x2-1）2+（x2-1）=0中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0的根．

22.2.1配方法

（1）

学习目标会用配方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；

学习重点会用配方法解方程。

学习难点合理选择配方法较熟练地解一元二次方程。

学习过程

一,自学导引

1．求出下列各式中x的值，并说说你的理由．

（1）x2=9

（2）x2=5（3）x2=a（a>0）

2尝试如何解下列方程

（1）x2-4=0;

（2）4x2-1=0（3）x2-2=0

3，你能解下列方程吗？

（1）（x＋1）2－4＝0；

（2）12（2－x）2－9＝0.

4，难度加大了，你会做吗？

解方程：

x2+4x+4=1

小结：

解一元二次方程，它们的共同特点是什么？

共同特点：

把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．

二、巩固拓展

1，教材练习．2，教材习题22.2第1题

三，效果评估

一、选择题

1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．

A．p=4，q=2B．p=4，q=-2C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-2

2．方程3x2+9=0的根为（）．

A．3B．-3C．±3D．无实数根

3．用配方法解方程x2-

x+1=0正确的解法是（）．

A．（x-

）2=

，x=

±

B．（x-

）2=-

，原方程无解

C．（x-

）2=

，x1=

+

，x2=

D．（x-

）2=1，x1=

，x2=-

二、填空题

1．若8x2-16=0，则x的值是_________．

2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．

3．如果a、b为实数，满足

+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．

三、综合提高题

1，用直接开平方法解下列方程

（1）x2-12=0

（2）x2-2

=0（3）2x2-3=0（4）3x2-

=0

2．解关于x的方程（x+m）2=n．

3．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．

（1）鸡场的面积能达到180m2吗？

能达到200m吗？

（2）鸡场的面积能达到210m2吗？

22.2.1配方法

（2）

学习内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程．

学习目标

理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．

通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．

重难点关键

1．重点：

讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．

2．难点与关键：

不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．

学习过程

一、自学导引

1，请同学们解下列方程，并说明解法的依据：

（1）

（2）

（3）

2、尝试解下列方程：

（1）

＋2x＝5；

（2）

－4x＋3＝0.

思　考：

能否经过适当变形，将它们转化为

=a的形式，应用直接开方法求解？

归　纳像上面那样，通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，

叫做配方法.

3，试一试：

对下列各式进行配方：

；

；

；

4，用配方法解下列方程：

（1）

－6x－7＝0；　　　　

（2）

＋3x＋1＝0.

二，巩固拓展

1,教材练习1，2

（1）

（2）2，教材习题22.2第2题第3题

（1）

（2）

三，效果评估

1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．

A．（x-2）2+3B．（x-2）2-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-3

2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．

A．x2-8x+（-4）2=31B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-11

3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（）．A．1B．-1C．1或9D．-1或9

4．方程x2+4x-5=0的解是________．

5．代数式

的值为0，则x的值为________．

6．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．

7,

（1）

（2）

－8x＋（）＝（x-）2

（3）

＋x＋（）＝（x＋）2；（4）4

－6x＋（）＝4（x－）

8，用配方法解方程：

（1）

＋8x－2＝0

（2）

－5x－6＝0.（3）

9．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．

10．如果x2-4x+y2+6y+

+13=0，求（xy）z的值．

23.2.1配方法（3）

学习目标会用配方法解形如ax2+bx+c=0（a≠0）的方程；

学习重点会用配方法解一元二次方程。

学习难点：

会配方。

学习过程

一,自学导引

1,解下列方程：

（1）x2-8x+7=0

（2）x2+4x+1=0

2,阅读教材例1

（2）（3）

尝试如何用配方法解下列方程？

（1）4x2－12x－1＝0;

（2）2x2+6x-2=0（3）2x2-5x+2=0（4）-3x2+4x+1=0

总结用配方法解一元二次方程的步骤

（1）移项；

（2）化二次项系数为1；

（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；

（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；

（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．

二、巩固拓展

1,练习：

用配方法解方程：

（1）

（2）3x2＋2x－3＝0.（3）

2,教材练习2．（3）、（4）、（5）、（6）．

三,效果评估

一、选择题

1．配方法解方程2x2-

x-2=0应把它先变形为（）．

A．（x-

）2=

B．（x-

）2=0C．（x-

）2=

D．（x-

）2=

2．下列方程中，一定有实数解的是（）．

A．x2+1=0B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0D．（

x-a）2=a

3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．

A．1B．2C．-1D．-2

二、填空题

1．如果x2+4x-5=0，则x=_______．

2．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．

3．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．

三、综合提高题

1．用配方法解方程．

（1）9y2-18y-4=0

（2）x2+3=2

x

2．已知：

x2+4x+y2-6y+13=0，求

的值．

3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．

①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？

请你设计销售方案．

23.2.2公式法

（1）

学习内容

1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；

3．利用公式法解一元二次方程．

学习目标

理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．

复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．

学习重难点

1．重点：

求根公式的推导和公式法的应用．

2．难点与关键：

一元二次方程求根公式法的推导．

学习过程

一,自学导引

1,用配方法解下列方程

（1）6x2-7x+1=0

（2）4x2-3x=52

2,如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．

问题：

已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=

，x2=

3,仔细阅读课本例2,尝试．用公式法解下列方程．

（1）2x2-4x-1=0

（2）5x+2=3x2（3）（x-2）（3x-5）=0（4）4x2-3x+1=0

二,巩固拓展教材练习1．

三,效果评估

一、选择题

1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）．

A．x=

B．x=

C．x=

D．x=

2．方程

x2+4

x+6

=0的根是（）．

A．x1=

，x2=

B．x1=6，x2=

C．x1=2

，x2=

D．x1=x2=-

3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）．

A．4B．-2C．4或-2D．-4或2

二、填空题

1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．

2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．

3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是_．

三、综合提高题

1．用公式法解关于x的方程：

x2-2ax-b2+a2=0．

23.2.2公式法

（2）

学习目标练地掌握一元二次方程根的判别式。

学习重点一元二次方程根的判别式。

学习难点一元二次方程根的判别式运用

学习过程

一、自学导引

1,不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？

（1）x2+2x-8=0

（2）x2=4x-4（3）x2-3x=-3

2、一元二次方程根的情况与一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？

有什么关系？

3、解下列方程

（1）x2+x-1=0

（1）x2-2x+3=0

（1）2x2-2x+1=0

小结:

通过解方程得出一元二次方程根的情况由b2－4ac来判定

（1）当b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.

（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根.

（3）当b2－4ac<0时，方程没有实数根.

把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式

注：

（1）当b2－4ac≥0时，方程的根的情况如何叙述？

（2）上述的叙述：

反过来也成立.

注意：

用一元二次方程根的判别式时一定要把方程整理成一般形式。

二,巩固拓展

教材习题22.2第4题

三,效果评估

1.不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）2x2+3x－4=0；

（2）1.6y2+0.9=2.4y；（3）5（x2+1）－7x=0.

2.已知：

关于x的方程：

2x2－（4k+1）x+2k2－1=0.当k为何值时：

1程有两个不相等的实数根；2,方程有两个相等的实数根；3,方程没有实数根.

3,关于x的方程：

2kx2－（4k+1）x+2k－1=0，

当k为何值时方程有两个不相等的实数根？

（注意k≠0）

22.2.3因式分解法

学习内容用因式分解法解一元二次方程．

学习目标掌握用因式分解法解一元二次方程．

习重难点1．重点：

用因式分解法解一元二次方程．

2．难点：

让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因．

式分解法使解题简便

学习过程

一,自学导引

1,因式分解口诀是什么？

2，请将下列公式因式分解：

（1）9a2-4b

（2）3y2-6y（3）x2-3x-4（4）x2-8x+16

3,阅读教材例3,完成下列各题

用因式分解方法解下列方程

（1）4x2=11x

（2）（x-2）2=2x-4

4，我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．

（1）x2-3x-4=0

（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0

上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．

二，巩固拓展

1，教材练习第1题

2，教材习题22.2第5题

三，效果评估

一、选择题

1．下面一元二次方程解法中，正确的是（）．

A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7

B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=

，x2=

C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2

D．x2=x两边同除以x，得x=1

2．下列命题①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1与方程x2=1是同解方程；③方程x2=x与方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正确的命题有（）．

A．0个B．1个C．2个D．3个

3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．

A．-

B．-1C．

D．1

二、填空题

1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．

2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．

3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．

三、综合提高题

1．用因式分解法解下列方程．

（1）3y2-6y=0

（2）25y2-16=0

（3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0

2．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．

22.4一元二次方程的根与系数的关系

学习目标　　

（一）提高学生对于根的判别式的运用能力；

（二）提高学生对于根与系数关系的运用能力.

学习重点重点：

会用根的判别式及根与系数关系解题.

和难点　　难点：

根的判别式和根与系数关系的综合题；不遗漏、不重复地列出所解问题应具备的条件.特别是容易忽略隐含条件.

学习过程

一，自学导引

1,按要求填写下表

解方程

x1

x2

x1+x2

x1.x2

x2-12x-28=0

x2-3x-4=0

x2-7x+6=0

x2+4x-5=0

2,已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么

x1=x2=x1+x2=x1.x2=

3,试归纳一元二次方程的根与系数的关系

4，仔细阅读例4，完成教材练习

5，典型例题m取什么值时，方程

.

（1）有两个实根；

（2）有一个根为零；（3）两根异号；（4）有两个正数根.

二，巩固拓展

1，教材习题22.2第7题2，教材复习题22第4题

3，设

是方程

，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：

（1）

（2）

（3）

（4）

三，效果评估

★知识储备：

以

为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

1．关于

的方程

中，如果

，那么根的情况是（）

（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根

（C）没有实数根（D）不能确定

2．设

是方程

的两根，则

的值是（）

（A）15（B）12（C）6（D）3

3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（）

（A）2y2+5=6y（B）x2+5=2

x（C）

x2－

x+2=0（D）3x2－2

x+1=0

4．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）

（A）y2+5y－6=0（B）y2+5y＋6=0（C）y2－5y＋6=0（D）y2－5y－6=0

5.关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（）

（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根

（C）没有实数根（D）不能确定

6.设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）

（A）15（B）12（C）6（D）3

7．如果一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根，那么k＝

8．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1·x2＝，（x1－x2）2＝

9．若关于x的方程（m2－2）x2－（m－2）x＋1＝0的两个根互为倒数，则m＝.

22.2将次---解一元二次方程复习课

学习目标掌握一元二次方程的解法，会运用判别式判别一元二次方程根的情况。

学习重点一元二次方程的解法

学习难点用判别式判别一元二次方程根的情况

学习过程

一、知识回顾

1.的方程叫做一元二次方程。

[练习1]下列方程中，是一元二次方程的是（填序号）

（1）

=0；

（2）

=0；（3）

；（4）

2.一元二次方程的一般形式是，它的求根公式是，它的根的判别式是。

[练习2]方程

化为一般形式得，一次项系数是，不解方程，判别该方程根的情况是。

3.我们学习了四种解一元二次方程的方法，分别是、

、。

二、典型例题

例1.方程

是一元二次方程，则

满足的条件是.

例2.解下列方程

2

例3.当

取何值时，关于

的方程

，

1有两个相等的实数根？

②有两个不等的实数根？

③没有实数根？

④有两个实数根？