第二章 一维随机变量及其分布.docx
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第二章一维随机变量及其分布
第二章ﻩ一维随机变量及其分布
考试内容
随机变量随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布
考试要求
1.理解随机变量的概念,理解分布函数的概念及性质,会计算与随机变量相联系的事件的概率。
2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握0—1分布、二项分布B(n,p)、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布P(
)及其应用。
3.了解泊松定理的结论和应用条件,会用泊松分布近似表示二项分布。
4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念,掌握均匀分布U(a,b)、正态分布N(
)、指数分布及其应用,其中参数为
的指数分布E(
)的概率密度为
会求随机变量函数的分布。
本章导读本章的核心内容是8大分布函数及其对应的模型;如何根据定义求的函数分布一般方法。
介绍了作者用于分布函数求一维分布的直角分割法秘技。
分布函数的定义历来是使读者感到迷茫的知识点,如为什么要求分布函数必须右连续等问题?
目前的教材和参考书的讲法都不清晰,作者系统地揭开了这一神秘数学面纱。
一、随机变量
1概念
随机试验的每一个可能的结果
(即每一基本事件),对应样本间的集合
中每一元素,我们都可以设令一个实数
来表示该元素,显然,
为实值单值函数
称
为随机变量。
对
,我们试验前无法确定,也就无法事先确定
的值,只有在试验后才会知道
的值,但
取值一定服从某种确定的分布。
随机变量与普通函数区别有三,第一,随机变量定义域为样本空间的基本事件;第二,随机变量取值是随机的,只有它取每一个可能值有确定的概率;第三,随即变量是随机事件的人为数量化,而且这种数值只是一种符号表示。
比如:
将一枚硬币抛三次,以
表示三次投掷中出现正面
的总次数,那么,对于样本空间
中的每一个样本点
,
都有一个值与之对应,即
样本点
的值
3
2
2
2
1
1
1
0
二、随机变量的分布函数
2.1随机变量的分布函数(适合任何类型的随即变量)
陈氏第2技随机变量的分布函数的全新揭秘。
●分布函数定义形式的渊源
一般情况下,人们只对某个区间内的概率感兴趣,即研究下列四种可能的区间的概率
由于当
所以,我们只须定义一个
形式就可以了,其他区间形式都可以用它表示出来。
于是定义:
为
的分布函数。
它就是
落在任意区间
上的概率,本质上是一个累积函数。
具有下列重要性质:
●单凋不减;因为区间越大,概率越大。
●
;
●
上述全部可能的表示中,只有
但
,因为假如
那么,当离散型在
点的概率不为零时,等式
就会出现矛盾,故
不可能左连续。
又,上式中根本不可能出现
的形式,
对上述5种关系没有任何影响,即
右连续。
当然,由于连续型在一点的概率恒为零,所以,连续型分布函数左连续和右连续同时成立。
正是要求
右连续,才使
成为分布函数的普适定义。
评 注 分布函数可以描述任何类型的随机变量,不仅可以描述连续型,还可以描述离散型及其其他非连续型,但不同的随机变量可以有相同的分布函数。
对连续型任一点的概率等于零,而对非连续型任一点的概率不一定等于零。
我们要重点掌握离散和连续两类随机变量的分布规律。
注意,存在分布函数
等类型,既非离散型又非连续型。
2.2离散型随机变量的分布律(概率)
当随机变量所取的有限个或可列个值,能够按照由小到大的顺序排列时,称为离散型随机变量。
设离散型随机变量
的可能取值为
,事件
的概率为
称为离散分布律。
注意:
。
要求掌握的离散性分布律有5种:
分布,伯努利二项分布,泊松分布,几何分布和超几何分布。
评 注离散分布函数
一般为阶梯函数。
已知离散分布函数
根据分布函数的性质,可以计算出离散分布律
;反过来,已知离散分布律
根据一维直角分割法,可以计算出离散分布函数
。
2.3连续型随机变量的概率密度(分布密度)
称为连续分布函数
称为概率密度,或分布密度。
●连续型
是连续函数,即:
;
● 连续型
几何意义是面积,且:
;
●
●要求掌握的连续型分布函共有3种:
均匀分布,指数分布和正态分布。
陈氏第3技 常年考点用到的5个重要结论。
只有存在概率密度(不恒为零)的随机变量才称为连续型,但不能错误认为分布函数连续的随机变量为连续型。
如分布函数
就不是连续型。
若
均是分布函数,则当
时
和
仍然为分布函数。
若
均是分布函数,则当
时
仍然为分布函数,但
不一定是分布函数。
如果
为连续型,则
也是连续型,且
若如果
为离散型,则
却不一定为离散型,如
服从泊松分布,
就不再是泊松分布。
普适分布函数和离散型分布函数右连续;连续型分布函数左右都连续;但密度函数不
一定连续,而且一般规定:
区间端点(注意不是分界点)处密度函数值取零。
2.4离散型与连续型随机变量的关系
可见,积分元
在在连续型随机变量理论中与
在离散型随机变量理论中所起的作用地位相同,这与微分的几何意义完全一致。
2.5 一维随机变量的8大分布(5+3分布)
(1)两点分布(又称0-1分布)
模 型:
伯努利试验变量
只有两种可能结果,随机变量
使用0与1两种取值。
如每次
发生的概率为
共试验了1次,求其中
发生的概率(放回抽样)。
0-1分布为:
(2)伯努利二项分布
模型:
随机试验结果只有两种,如每次
发生的概率为
共试验了
次,求其中
发生
次的概率(放回抽样)。
(3)泊松分布
模型:
满足下列条件的随机质点流(一串重复出现的事件)称为泊松流。
(1)在时间
内流过质点数的概率仅与
有关,与t无关;
(2)不相交的时间间隔内流过的质点数彼此独立; (3)在充分短的一瞬间只能流过一个或没有质点流过,要流过2个或2个以上质点几乎是不可能的。
可以证明泊松流在单位时间内流过质点数便服从泊松分布。
例如:
单位时间内放射性物质放射出的粒子数;单位时间内某电话交换台接到的呼唤次数;单位时间内走进商店的顾客数等等;均可认为它们服从泊松分布。
很小。
【例1】某人进行射击,命中率0.001,独立射击5000次,求射击中次数不少于两次的概率。
解:
服从二项分布,但由于次数很大,可用泊松分布计算
(4)几何分布
模型:
随机试验结果只有两种,如每次
发生的概率为
试验一直继续,直到
发生为止,求第
次(放回抽样)
才发生的概率。
【例2】袋中有
个白球,
个红球,从袋中先后取出
个球,放回,求第
次取到白球的概率。
解:
服从几何分布
【例3】5把钥匙,只有一把能开锁,如果某次打不开仍不扔掉(放回),求下列事件的概率。
(1)第一次打开;
(2)第二次打开;(3)第三次打开;
解:
服从几何分布
(5)超几何分布
模型:
随机试验结果只有两种,如
件产品,其中有
件次品,从中取
件(不放回和放回抽样结果相等),含有
个次品的概率。
【例4】袋中有
个白球,
个红球,从袋中先后取
个球,求含有
个白球和
红球概率。
解:
服从超几何分布
放回抽样:
不放回抽样:
可见:
超几何分布遵循抽签原理。
(6)均匀分布
模型:
设随即变量
的值落在
内,其内取值具有“等可能”性,即其密度分布
在
上为常数
即
【例5】若
服从
上的均匀分布,求方程
有实根的概率。
解:
有实根,则
;则
有实根的概率
。
(7)指数分布
模型:
在实践中,如果随机变量
表示某一随机事件发生所需等待的时间,则一般
。
例如,某电子元件直到损坏所需的时间(即寿命);随机服务系统中的服务时间;在某邮局等候服务的等候时间等等均可认为是服从指数分布。
ﻫ指数分布计算中常用到
函数:
如
等等。
【例6】指数分布的特点是:
“无记忆性”,即
。
试证明之。
证明:
(8)正态分布
●
模 型:
在实践中,如果随机变量
表示许许多多均匀微小随机因素的总效应,则它通常将近似地服从正态分布,如:
测量产生的误差;弹着点的位置;噪声电压;产品的尺寸等等均可认为近似地服从正态分布。
尽管它来源于连续型,但它是任何分布的极限分布,而且,根据中心极限定理,若干个未知分布的随机变量之和近似地服从正态分布,它是数理统计的基础,是概数中的第一大分布。
● 当
称为标准正态分布。
此时分布函数为
评注8大分布产生的背景如下,伯努利试验产生的分布有:
分布,
,
,
。
泊松流产生的分布有:
。
误差产生的分布有:
,
。
【例7】证明
。
(重要结论,务必记住)
证明:
根据概率定义来证明。
设
,大写
表示随机变量,小写
表示随机变量
取到的值。
【例8】设随机变量
均服从
若概率
,求
解:
令
●
分位数:
如无特别说明,正态分布专指下分位数;三个抽样分布专指上分为数。
(1)上分位数
(2)下分位数
评注 无论哪种分位数,对标准正态分布都有:
标准正态分布的查表中使用的
是下分位数。
其他三种抽样分布的查表中则使用的是上分位数,即:
。
参见浙大三版附表2~5。
三、一维随机变量函数的分布函数
3.1离散型
陈氏第4技采用〖一维直角分割法〗计算一维分布函数。
如计算
区间的
,先在
区间内任取一点
然后,由
点向数轴左边(往左边画是为了满足
的分布函数定义)画一个直角区域,该直角区域与样本空间的交集就是所求的
即把该直角区域包含全部样本点的概率相加,如为连续则相加变为积分。
〖直角分割法〗也适应二维分布,由
点向平面左下方画一个直角区域即可。
【例9】设
的分布函数为
求
的概率分布。
解:
由于
要求右连续,故等号必须加在
号上。
又由于每一区间的
为常数,故
具有离散型特征。
在
处有第一类跳跃间断点,即
在这些点的概率不为零,即正概率点存在。
根据〖直角分割法〗,计算如下
的概率分布(即离散分布律)为
1
3
【例10】设随机变量
的分布为
-1
0
1
2
3
0.25
0.15
0.35
当
时,求
的分布函数
和
和
的分布。
解:
上表显然为离散分布正概率点的值。
根据概率归一化:
利用直角分割法,如计算区间
的
,其余区间类推,故:
评注 由于分布函数右连续,故等号位置不能放在小于号上。
)
-1
0
3
8
0.15
0.45
0.35
0.05
【例11】已知随机变量X的分布律为
0.2
0
0.1
求
的分布律。
解:
的所有可能取值为ﻩ
1(将
的所有取值代入
得到)
0.1
0.3
0.7
3.2连续型
如果
具有连续概率密度
,
处处可导,且
不变号,则
的概率密度为: