圆和半平面上的迪利希莱Dirichlet问题泊松积分公式.docx
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圆和半平面上的迪利希莱Dirichlet问题泊松积分公式
圆和半平面上的狄利克雷（Dirichlet）问题—泊松积分公式
在第一章的§2.5中，我们曾讨论过调和函数与解析函数之间的密切联系。
在这一节中，我们将继续阐述这种联系。
具有物理应用的一类重要的数学问题是迪利希莱（Dirichlet）问题，即要找一个未知函数，它在某个区域内是调和的，而且在这个区域的边界上取得预先指定的值。
例如图2.8所示，一半径为1的圆柱体充满导热的物质。
我们知道，圆柱体内的温度是由调和函数
来描述的。
若圆柱体表面的温度是已知的，是由
所给定的，由于
在
上是连续的，因此，我们的问题是要求一个单位圆上的调和函数
，使得
。
这就是我们所要解的迪利希莱问题。
图2.8
我们刚才所讨论的迪利希莱问题，其边界是简单的几何形状，如在大多数关于偏微分方程的教科书中所述的，通常用变量分离法来解，对更复杂的形状，有时要用共形映照的方法。
这种方法将在以后讨论。
在这节里，我们只讨论区域的边界是圆周或无限直线的情况。
一．圆的迪利希莱问题
对解边界为圆周的迪利希莱问题，柯西积分公式是有帮助的。
考虑z-复平面上半径为R，中心为原点的圆（见图2.9）设f（z）是在圆周
上及其内解析的函数。
图2.9
对这函数f（z）和这圆周应用柯西积分公式，对圆内的任何一点z，我们有
（2-25）
令
，它位于过圆点和点z的射线上，且
，因此，
位于圆的外部。
于是，由柯西定理，我们有
. （2-26）
将式（2-25）与式（2-26）的两边分别相减，我们获得
（2-27）
令
于是
。
将它们代入（2-27）式，我们有
.
将分子和分母同时乘以
，则分子
，
分母
。
于是，最后我们有
现将解析函数f（z）表示成其实部U和V，于是，
上述方程成为
由于这个方程两边的实部必相等，于是我们得到下列泊松（Poisson）公式
（2-28）
对
与
，我们也有类似的公式。
泊松积分公式（2-28）是重要的。
这个公式告诉我们：
当U在圆周
上的取值
已知时，则调和函数
在这圆内任意一点的值由公式（2-28）所给出。
由于我们要求f（z）在这半径为R的圆周上及其内部是解析的，因此读者必须假定方程（2-28）中的函数
是连续的。
事实上，这条件可放宽成允许
有有限个“跳跃的”不连续点，泊松公式仍成立。
例2-6如图2.10所示，设一根半径为1的导电的管子被无限裂缝分成两半。
上半管
保持1伏特的电位，下半管
保持-1伏特的电位。
求在管内任何一点
的势。
图210
解：
由于电位势是个调和函数，因此泊松公式是可用的。
由公式（2-28），R=1，我们有
. （2-29）
在每个积分中，我们作变数变换
并利用下述积分公式
.（2-30）
取
=1+r
，b==-2r，我们得到.
由于反正切函数是多值函数，在应用这个公式时，必须取适当的单值支，使得
对一切r<1是连续的和
仅在裂缝
和
时是不连续的。
二．对于半平面的迪利希莱问题
我们的问题是要在上半
平面上求一个函数
使得它在上半平面（
>0的区域）上是调和的,而在实数轴
=0上
必须满足欲先给定的边界条件
.
设
在
上是解析的.考虑闭围道
它由半径为R的上半圆周
和实数轴上的线段
所组成。
令z是C
內任何一点，由柯西积分公式，我们有
（2-32）
由于z位于上半平面，则
必位于下半平面，因此，它必在C
的外部。
于是，据柯西定理，有
（2-33）
将（2-32）式和（2-33）式的两边分别相减，我们获得
令
，则
。
上式右端的第二个积分I
等于
. （2-35）
记（2-34）右端的第一个积分为
，在
上
，我们有
。
若在上半平面v
上
，则得
。
于是，对任意给定的点z，我们有
. （2-36）
由于（2-34）式对任何
都是成立的，因此,我们有
.
将f（z）和f（w）用它们的实部和虚部来表示，
，
，由（2-37）式，我们有
于是，取实部，我们既得对上半平面的泊松积分公式:
（2-38）
关于
与
也有相似的公式。
当
在整个实数轴上的值完全已知时，泊松积分公式（2-38）给出了调和函数
在上半平面内每一点的值。
我们能证明，在上半平面上有界的迪利希莱问题的解是唯一的。
若没有这个限制，还能找到其他的解。
在我们的推导过程中，我们假定，
是在闭上半平面
上解析的函数f（u,v）的实部，这要求方程（2-38）中的函数
对
是连续的。
事实上，这个要求可以放松，若
有有限多个跳跃点（既第一类不连续点），方程（2-38）仍然是成立的。
例2-7如图2.12所示,上半空间
充满着导热的物质。
在边界v=0,u>0上，温度保持在0
，而在边界v=0,u<0，上，温度保持在
。
求整个导体的稳定的温度分布
。
解我们知道，温度
是一个调和函数，泊松积分公式（2-38）是直接可用的。
我们有
，又
，于是
第二个积分是零。
在第一个积分中作变量变换p=x-u，则
. （2-39）
由于
，故
。
.
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