Matlab上机题代码及结果4题.docx
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Matlab上机题代码及结果4题
例1下图描述了六个城市之间的航空航线图，其中1、2、……、6表示六个城市，带箭头线段表示两个城市之间的航线。
用MATLAB软件完成以下操作：
（1）构造该图的邻接矩阵A；
（2）若某人连续乘坐五次航班，那么他从哪一个城市出发到达哪一个城市的方法最多？
（3）若某人可以乘坐一次、二次、三次或四次航班，那么他从哪一个城市出发总是不能达到哪一个城市？
航空航线图（六城市）
解：
（1）构造邻接矩阵
；
（2）计算矩阵可达矩阵
，找出该矩阵的最大元素，并确定它所在的位置；
（3）计算可达矩阵
，找出该矩阵中零元素的位置。
在MATLAB软件的M编辑器中编写m文件：
%图与矩阵
clear
A=[0,1,0,0,0,1;0,0,1,1,0,0;0,0,0,1,1,0;0,1,0,0,0,0;1,0,1,0,0,0;0,1,0,0,1,0];%构造邻接矩阵
B=A^5;
C=A+A^2+A^3+A^4;
disp（'邻接矩阵A为：
'）;
disp（A）;
disp（'矩阵A^5为：
'）;
disp（B）;
m=max（max（B））;%计算矩阵B的最大值
[m_i,m_j]=find（B==m）;%寻找矩阵B中元素等于m的位置
fprintf（'矩阵A^5最大值%d的位置在：
\n',m）;
disp（[m_i,m_j]）;
disp（'矩阵A＋A^2＋A^3＋A^4为：
'）;
disp（C）;
[z_i,z_j]=find（C==0）;%寻找矩阵C中零元素的位置
disp（'矩阵A＋A^2＋A^3＋A^4零元素的位置在：
'）;
disp（[z_i,z_j]）;
在MATLAB命令窗口中输入m文件名称,
计算结果为：
邻接矩阵A为：
010001
001100
000110
010000
101000
010010
矩阵A^5为：
255531
244320
235521
021321
264541
144742
矩阵A^5最大值7的位置在：
64
矩阵A＋A^2＋A^3＋A^4为：
265642
144631
254541
133310
356642
366541
矩阵A＋A^2＋A^3＋A^4零元素的位置在：
46
从计算结果中可以看出，矩阵A^5最大值出现在矩阵的第六行第四列，说明：
这个人如果从城市6出发连续乘坐五次航班后到达城市4，他可以选择的乘机路线最多，共有7种不同的方法。
矩阵A＋A^2＋A^3＋A^4的零元素出现在第四行第六列，说明：
这个人如果从城市4出发他乘坐一次、二次、三次或四次航班，都无法到达城市6。
实验习题
5个小朋友玩传球游戏。
游戏规则：
任意两个人之间都可以相互传球，但自己不能给自己传。
请用MATLAB完成以下操作：
（1）把五个小朋友看成五个节点，构造这五个节点的邻接矩阵A；
（2）假设从第一个小朋友开始传球，经过四次传球后，球又传回到第一个小朋友手里。
问共有多少种不同的传法。
（3）假设从第一个小朋友开始传球，经过一次，或者二次，或者三次传球，球传给了第二个小朋友。
问共有多少种传法。
例2下表给出了平面坐标系中五个点的坐标。
五点数据表
x
0
1
2
3
4
y
-27
0
21
0
-75
（1）请过这五个点作一个四次多项式函数
，并求当
时的函数值
。
用MATLAB绘制多项式函数
曲线、已知点及插值点（5，
）。
（2）请根据这五个点，拟合一个二次多项式函数
，并用MATLAB绘制多项式函数
曲线及已知的五个点。
解：
（1）根据已知条件，把五个点的坐标值分别代入四次多项式函数，可以得到如下线性方程组：
对应矩阵等式为：
，其中
，
，
系数矩阵A的行列式为范德蒙行列式，且五个坐标点的横坐标各不相同，则该行列式不等于零，所以方程组有唯一解。
（2）根据已知条件，把五个点的坐标值分别代入二次多项式函数，可以得到如下线性方程组：
对应矩阵等式为：
，其中
，
，
该方程组有三个未知数，但有五个方程，进一步分析可以得到该方程组无解，即不存在一个二次多项式曲线刚好能过已知的五个点。
MATLAB软件提供了一个利用最小二乘法解决超定方程组近似解的方法。
即可以找到一条二次曲线来近似地描述已知5点的变化情况。
在MATLAB软件M文件编辑器中编写程序m：
%多项式插值和函数逼近
clear
closeall
x=[0;1;2;3;4];%输入已知点坐标
y=[-27;0;21;0;-75];
A=[x.^0,x.^1,x.^2,x.^3,x.^4];%构造范德蒙矩阵
a=A\y;%得到适定方程组的唯一解a，即确定了多项式函数
%或p=polyfit（x,y,4）%p是按从高次幂到低次幂排列的系数向量；
disp（'四次多项式系数为：
'）
disp（a）;
xi=linspace（-1,9.5,100）;%构造数组xi，从-1到9.5均匀取100个值
yi=a
（1）+a
（2）*xi+a（3）*xi.^2+a（4）*xi.^3+a（5）*xi.^4;
%计算对应xi的多项式函数值yi
x0=5;
y0=a
（1）+a
（2）*x0+a（3）*x0^2+a（4）*x0^3+a（5）*x0^4;
%计算插值点函数值
disp（'四次多项式函数插值点p（5）='）;
disp（y0）;
subplot（1,2,1）;
plot（xi,yi,x,y,'o',x0,y0,'*'）;%绘制四次多项式函数、已知五点及插值点
axissquare;%使坐标轴为正方形
axis（[-19-400100]）%确定x轴和y轴范围
gridon;%显示网格
A=[x.^0,x.^1,x.^2];
a=A\y;%根据最小二乘法得到超定方程组的近似解a
%或p=polyfit（x,y,2）%p是按从高次幂到低次幂排列的系数向量；
disp（'二次多项式系数为：
'）
disp（a）;
xi=linspace（-1,5,100）;%构造数组xi，从-1到5均匀取100个值
yi=a
（1）+a
（2）*xi+a（3）*xi.^2;%计算对应xi的多项式函数值yi
subplot（1,2,2）;
plot（xi,yi,x,y,'o'）;%绘制二次多项式函数及已知五点
axissquare;
axis（[-15-15050]）
gridon;
在MATLAB命令窗口输入m文件名称，
计算结果为：
四次多项式系数为：
-27
12
26
-12
1
四次多项式函数插值点p（5）=
-192
二次多项式系数为：
-32.1429
60.6857
-17.5714
下图给出了MATLAB绘制的图形。
从图中可以形象地看出插值和拟合的区别。
插值和拟合的示意图
实验习题
下表给出了平面坐标系中六个点的坐标。
表六点数据表
x
0
1
2
3
4
5
y
-750
0
840
1344
1134
0
（1）请过这六个点作一个五次多项式函数
，并求当
时的函数值
。
用MATLAB绘制多项式函数
曲线、已知点及插值点（－1，
）。
（2）请根据这六个点，拟合一个三次多项式函数
。
并用MATLAB绘制多项式函数
曲线及已知点。
习题答案：
题目1：
clear;
A=[0,1,1,1,1;1,0,1,1,1;1,1,0,1,1;1,1,1,0,1;1,1,1,1,0];%构造邻接矩阵
B=A^4;
C=A+A^2+A^3;
disp（'邻接矩阵A为：
'）;
disp（A）;
disp（'矩阵A^4为：
'）;
disp（B）;
m=sum（diag（B））;%计算B对角线元素之和
fprintf（'传4次后回到第一个人的传法：
%d\n',m）;
disp（'矩阵A+A^2+A^3为：
'）;
disp（C）;
n=sum（sum（C））-sum（diag（C））;%计算除对角线之外的元素之和
fprintf（'传到第二个人的传法:
%d',n）;
>>ti1
邻接矩阵A为：
01111
10111
11011
11101
11110
矩阵A^4为：
5251515151
5152515151
5151525151
5151515251
5151515152
传4次后回到第一个人的传法：
260
矩阵A+A^2+A^3为：
1617171717
1716171717
1717161717
1717171617
1717171716
传到第二个人的传法:
340>>
题目2：
%多项式插值和函数逼近
clear
closeall
x=[0;1;2;3;4];%输入已知点坐标
y=[-27;0;21;0;-75];
A=[x.^0,x.^1,x.^2,x.^3,x.^4];%构造范德蒙矩阵
a=A\y;%得到适定方程组的唯一解a，即确定了多项式函数
%或p=polyfit（x,y,4）%p是按从高次幂到低次幂排列的系数向量；
disp（'四次多项式系数为：
'）
disp（a）;
xi=linspace（-1,9.5,100）;%构造数组xi，从-1到9.5均匀取100个值
yi=a
（1）+a
（2）*xi+a（3）*xi.^2+a（4）*xi.^3+a（5）*xi.^4;
%计算对应xi的多项式函数值yi
x0=5;
y0=a
（1）+a
（2）*x0+a（3）*x0^2+a（4）*x0^3+a（5）*x0^4;
%计算插值点函数值
disp（'四次多项式函数插值点p（5）='）;
disp（y0）;
subplot（1,2,1）;
plot（xi,yi,x,y,'o',x0,y0,'*'）;%绘制四次多项式函数、已知五点及插值点
axissquare;%使坐标轴为正方形
axis（[-19-400100]）%确定x轴和y轴范围
gridon;%显示网格
A=[x.^0,x.^1,x.^2];
a=A\y;%根据最小二乘法得到超定方程组的近似解a
%或p=polyfit（x,y,2）%p是按从高次幂到低次幂排列的系数向量；
disp（'二次多项式系数为：
'）
disp（a）;
xi=linspace（-1,5,100）;%构造数组xi，从-1到5均匀取100个值
yi=a
（1）+a
（2）*xi+a（3）*xi.^2;%计算对应xi的多项式函数值yi
subplot（1,2,2）;
plot（xi,yi,x,y,'o'）;%绘制二次多项式函数及已知五点
axissquare;
axis（[-15-15050]）
gridon;
结果：
>>ti2
四次多项式系数为：
-750.0000
575.0000
230.0000
-48.0000
-8.0000
1.0000
四次多项式函数插值点p（-1）=
-1.0560e+003
二次多项式系数为：
-757.2381
647.8254
187.6190
-57.4444
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