人教版数学高一人教版必修1练习 第三章章末复习课.docx

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人教版数学高一人教版必修1练习第三章章末复习课

第三章章末复习课

[整合·网络构建]

[警示·易错提醒]

1．正确认识零点存在定理，要抓住两个关键点：

（1）函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线．

（2）f（a）·f（b）<0，否则极易出错．

2．在用二分法求函数的零点的近似值或方程的近似解时，要注意精确度的要求．

3．在建立函数模型解决实际问题时，先作散点图，根据散点图来选择模拟函数，可避免盲目性，是较好的方法．

专题一　函数的零点与方程的根

　根据函数零点的定义，函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f（x）＝0是否有实根，有几个实根．函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决函数、方程与不等式的问题．

[例1]　

（1）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－3x，则函数g（x）＝f（x）－x＋3的零点的集合为（　　）

A．{1，3}　　　　　　B．{－3，－1，1，3}

C．{2－

，1，3}D．{－2－

，1，3}

（2）函数f（x）＝

的零点个数是______．

解析：

（1）因为f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－3x，所以f（x）

所以g（x）＝

由

解得x＝1或x＝3；

由

解得x＝－2－

.

所以函数g（x）＝f（x）－x＋3的零点的集合为{－2－

，1，3}．故选D.

（2）令x2－2＝0，得x＝±

，只有x＝－

符合题意；令2x－6＋lnx＝0，得6－2x＝lnx，在同一坐标系中作出函数y＝6－2x和y＝lnx的图象如图，观察知，图象有1个交点．所以函数f（x）有2个零点．

答案：

（1）D　

（2）2

归纳升华

　确定函数零点的个数有两个基本方法：

（1）利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断．

（2）利用零点存在性定理判断，但还需结合函数的图象和单调性，特别是二重根容易漏掉．

[变式训练]　

（1）已知函数f（x）＝

－log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（　　）

A．（0，1）　　　　　　　B．（1，2）

C．（2，4）D．（4，＋∞）

（2）设f（x）＝x3＋bx＋c是[－1，1]上的增函数，且f

·f

<0，则方程f（x）＝0在[－1，1]内（　　）

A．可能有3个实根B．可能有2个实根

C．有唯一实根D．没有实根

解析：

（1）因为函数f（x）在定义域（0，＋∞）上是连续不断的，且f

（2）＝3－1>0，f（4）＝

－2<0，所以，函数f（x）的零点在区间（2，4）内．

（2）由于f（x）＝x3＋bx＋c是[－1，1]上的增函数，且f

·f

<0，

所以f（x）在

上有唯一零点，即方程f（x）＝0在[－1，1]内有唯一实根．

答案：

（1）C　

（2）C

专题二　函数零点的应用

　函数零点的应用主要表现在：

（1）利用函数零点求参数的值；

（2）利用函数零点求参数的范围．

[例2]　（2015·湖南卷）若函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是__________．

解析：

若函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点，可得方程|2x－2|＝b有两个根，从而函数y＝|2x－2|与函数y＝b的图象有两个交点，结合图象可得0

答案：

0

归纳升华

　已知函数的零点确定参数范围，其关键是利用数形结合思想与等价转化思想去建立参数不等关系，对于二次函数的零点问题，要充分利用图象，结合零点的条件从开口方向、对称轴位置、区间端点值的符号及判别式这几个方向去考虑．

[变式训练]　

（1）若函数f（x）＝ax2－x－1仅有一个零点，则实数a的取值范围是______________．

（2）已知函数f（x）＝2mx＋5－3m在（－1，2）内存在零点x0，求实数m的取值范围．

（1）解析：

当a＝0时，f（x）＝－x－1是一次函数，有一个零点；当a≠0时，Δ＝1＋4a＝0，得a＝－

.

综上知a＝0或a＝－

.

答案：

（2）解：

m＝0时，f（x）＝5，不合题意；当m≠0时，函数f（x）的图象是一条直线，依题意f（－1）·f

（2）<0，

即（5－5m）（m＋5）<0，即（m－1）（m＋5）>0，

解得m<－5或m>1.

所以实数m的取值范围是{m|m<－5或m>1}．

专题三　函数模型及其应用

　针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．

[例3]　某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间t（天）组成有序数对（t，P），点（t，P）落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q（万股）与时间t（天）的部分数据如下表所示：

第t天

4

10

16

22

Q/万股

36

30

24

18

（1）根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；

（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；

（3）用y表示该股票日交易额（万元），写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？

解析：

（1）P＝

（t∈N*）．

（2）设Q＝at＋b（a，b为常数），把（4，36），（10，30）代入得

∴a＝－1，b＝40

所以日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式为Q＝－t＋40，0

（3）由

（1）

（2）可得y＝

即y＝

（t∈N*）．

当0

当20

（20－60）2－40＝120（万元）．

所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元．

归纳升华

　函数模型的应用实例主要包含三个方面：

（1）利用给定的函数模型解决实际问题；

（2）建立确定性函数模型解决问题；（3）建立拟合函数模型解决实际问题．

[变式训练]　如图所示，A、B两城相距100km，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D给A、B两城供气．已知D地距A城xkm，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10km.已知建设费用y（万元）与A、B两地的供气距离（km）的平方和成正比．当天然气站D距A城的距离为40km时，建设费用为1300万元（供气距离指天然气站距到城市的距离）．

（1）把建设费用y（万元）表示成供气距离x（km）的函数，并求定义域；

（2）天然气供气站建在距A城多远，才能使建设供气费用最小，最小费用是多少？

解：

（1）由题意知D地距B地（100－x）km，

则

所以10≤x≤90.

设比例系数为k，则y＝k[x2＋（100－x）2]（10≤x≤90），

又x＝40时，y＝1300，所以1300＝k（402＋602），即k＝

，所以y＝

[x2＋（100－x）2]＝

（x2－100x＋5000）（10≤x≤90）．

（2）由于y＝

（x2－100x＋5000）＝

（x－50）2＋1250，所以当x＝50时，y有最小值为1250万元．

所以当供气站建在距A城50km处，能使建设费用最小，最小费用是1250万元．

专题四　化归与转化思想

　化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题；转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程．在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的．

[例4]　已知关于x的方程ax2－2（a＋1）x＋a－1＝0，试问当a为何值时，方程的两根都大于1?

解：

设方程的两根为x1，x2，方程的两根都大于1，

则x1－1＞0，x2－1＞0，故

即

得

解得

矛盾．

故不论a为何值，方程的两根不可能都大于1.

归纳升华

　本题中，将方程的根都大于1，转化为两根减1与0的大小比较，然后用一元二次方程的根与系数的关系得到等价不等式组，从而使问题得以解决．转化过程中一定要注意转化的等价性．

[变式训练]　当a为何值时，函数y＝7x2－（a＋13）x＋a2－a－2的一个零点在区间（0，1）上，另一个零点在区间（1，2）上？

解：

已知函数对应的方程为

7x2－（a＋13）x＋a2－a－2＝0，函数的大致图象如图所示．

根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上，则：

即

解得

所以－2