初三数学二次函数综合2.docx
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初三数学二次函数综合2
辅导讲义
学员编号：
年级：
初三课时数：
学员姓名：
辅导科目：
数学学科教师：
授课类型
二次函数与锐角三角比
（二次函数与等腰三角形）
（二次函数中的面积问题）
授课日期及时段
教学内容
1．掌握二次函数背景下与锐角三角比的灵活运用；
2．掌握二次函数背景下等腰三角形的解题方法和策略；
3．掌握二次函数背景下面积关系的解题方法和策略；
4．加强学生有关运动图形的解题能力，锻炼学生的想象能力、分析能力和运算能力。
一、同步知识梳理
知识点1：
二次函数
的性质
（1）当
时，抛物线开口向上，对称轴为
，顶点坐标为
．
当
时，
随
的增大而减小；当
时，
随
的增大而增大；当
时，
有最小值
．
（2）当
时，抛物线开口向下，对称轴为
，顶点坐标为
．
当
时，
随
的增大而增大；当
时，
随
的增大而减小；当
时，
有最大值
．
知识点2：
在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有以下的等量关系：
（1）三条边之间的关系：
（2）两锐角之间的关系：
∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系：
如果∠
表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成：
知识点3：
等腰三角形的性质
（1）有关定理及其推论
定理：
等腰三角形有两边相等；
定理：
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：
等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
（2）定理及其推论的作用
等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
知识点4：
有关面积的求解方法：
（1）直接法：
面积=底×高÷2；
（2）分割法与拼凑法；
（3）用相似三角形求解：
相似三角形的面积之比等于相似比的平方；
（4）用面积比求：
同底的三角形面积之比等于高之比；同高的三角形面积之比等于底边之比。
二、同步题型分析
题型1：
二次函数与特殊角的直角三角形结合
例1已知O为坐标原点，∠AOB＝30°，∠ABO＝90°，且点A的坐标为（2，0）．求点B的坐标．（★★）
【答案】B（
）．
题型2：
二次函数与非特殊角的直角三角形结合
例1已知一次函数
的图像与
轴交于点A、与
轴交于点B，BC∥
轴，且∠ACB的正切值为3。
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若某二次函数图像经过A、B、C三点，试求该图像的顶点坐标．（★★★）
【答案】
（1）A（3,0）；B（0,3）；C（4,3）；
（2）顶点（2，-1）．
三、课堂达标检测
检测题1已知抛物线
与
轴交于点
，与
轴交与A、B两点（点A在点B的左侧），且OA=1，OC=2
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）点E是抛物线在第一象限内的一点，且
，求点E的坐标．（★★★）
【答案】
（1）
；对称轴
=1；
（2）E（2,2）．
检测题2如图，在直角坐标平面内，线段AB∥
轴，交
轴于点C，OC=2,∠OAB=45°，tan∠COB=2．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求经过O、A、B三点的抛物线所对应二次函数的解析式，并写出它的对称轴方程．（★★）
【答案】
（1）A（-2，-2）；B（4，-2）
（2）
；对称轴：
=1．
检测题3如图，已知二次函数
的图像与
轴交于点
，点
，与
轴交于点
，其顶点为
，直线
的函数关系式为
，又
．
（1）求二次函数的解析式和直线
的函数关系式；
（2）求
的面积．（★★★）
【答案】
（1）
；直线DC：
；
（2）6．
有关锐角三角需知道：
如果已知其中两个元素，其中一个元素是一条边，那么这个直角三角形的形状和大小都确定。
也就是说，只要知道一条边和一个锐角，或者知道两条边，就可以求出其余的三个未知元素.
一、专题精讲
例1已知直线
的解析式
，直线
与x轴、y轴分别交于点A、B，直线
经过B、C两点，点C的坐标为
.又知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线
上从点C向点B移动.点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（
）．
（1）求直线
的解析式
（2）当t为何值时，△PCQ是等腰三角形．（★★★★）
【答案】
（1）
；
（2）
；
；
．
例2抛物线
经过
的三个顶点，已知
轴，点
在
轴上，点
在
轴上，
且
．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出
三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：
若点
是抛物线对称轴上且在
轴下方的动点，是否存在
是等腰三角形,若存在，求出所有符合条件的点
坐标；不存在，请说明理由．（★★★★）
【答案】
（1）抛物线的对称轴
；
（2）
（2）
、
、
、
；
（3）
，
；
，
；
，
．
有关等腰三角形分类讨论的解题方法：
（1）几何法：
先分类；再画图；后计算。
（2）代数法：
先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验。
二、专题过关
检测题1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
，AC=4；D是BC的延长线上的一个动点，∠EDA=∠B，AE∥BC．
（1）找出图中的相似三角形，并加以证明；
（2）设CD=
，AE=
，求
关于
的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当△ADE为等腰三角形时，求AE的长．（★★★★）
【答案】
（1）△ABD∽△EDA
（2）
（3）当AE=AD时
；当DE=AE时
；当AD=DE时
．
检测题2在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为
轴，过D且垂直于AB的直线为
轴建立平面直角坐标系．
（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；
（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．
（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，当
PDB为
等腰三角形时，求点P的坐标．（★★★★★）
【答案】
（1）∠DAB=60°，
、
、
；
（2）
；
对称轴：
直线
；
（3）当BD=DP时，
、
；
当BD=PB时，
、
；
当PB=PD时，
．
三、学法提炼
1、专题特点：
等腰三角形的分类讨论题多见于初三各级各类模拟考试甚至中考的压轴题中，由于这类题目都与图形运动有关，需要学生具有一定的想象能力、分析能力和运算能力
2、解题方法：
（1）有关锐角三角需知道：
如果已知其中两个元素，其中一个元素是一条边，那么这个直角三角形的形状和大小都确定。
也就是说，只要知道一条边和一个锐角，或者知道两条边，就可以求出其余的三个未知元素.
（2）等腰三角形分类讨论的解题思路粗分有两种，第一种：
用含有字母的代数式分别表示等腰三角形的三条边，后用三条线段依次相等建立方程后求解，第二种：
分别作出三种等腰三角形条件下图形，利用等腰三角形的有关性质和题目中的条件进行合理的转化后建立方程求解。
3、注意事项：
直角坐标系中进行等腰三角形的分类讨论如果三角形三个顶点的坐标易求得，则三条边长亦能表示出来，三边依次相等建立方程后求解，代数法学生较易理解而且不易漏解，但是计算有时十分繁琐。
一、能力培养
综合题1如图①，在平面直角坐标系中，点
的坐标为
，点
的坐标为
，二次函数
的图象记为抛物线
．
（1）平移抛物线
，使平移后的抛物线过点
，但不过点
，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：
（任写一个即可）．
（2）平移抛物线
，使平移后的抛物线过
两点，记为抛物线
，如图②，求抛物线
的函数表达式．
（3）设抛物线
的顶点为
，
为
轴上一点．若
，求点
的坐标．
（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线
上是否存在点
，使
为等腰三角形．若存在，
请判断点
共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．（★★★★★）
【答案】
（1）有多种答案，符合条件即可．例如
，
，
或
，
，
；
（2）抛物线
的函数表达式为
；
（3）K点的坐标为
或
；
（4）作图痕迹如图④所示．由图④可知，点
共有3个可能的位置．
有关面积的求解方法：
（1）直接法：
面积=底×高÷2；
（2）分割法与拼凑法；
（3）用相似三角形求解：
相似三角形的面积之比等于相似比的平方；
（4）用面积比求：
同底的三角形面积之比等于高之比；
同高的三角形面积之比等于底边之比。
二、能力点评
（1）函数背景下等腰三角形的解题方法和策略：
1、根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度；
2、待定系数法求解相关函数的解析式；
3、等腰三角形讨论中，基本上分两步：
①利用对称和特殊位置直接写出相应点的坐标；
②当不能直接写出时：
用“等腰形成的线段相等+点在函数上或在坐标轴上”列方程组解答；
4.注意点的位置取舍答案；
5.根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想；
6.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。
（2）函数背景下面积关系的解题方法和策略：
1.注意题目中的已知量和特殊条件；
2.找到：
动点、自变量、所求图形面积；
3.观察所求图形面积是否可以直接求解，如不能，则添加辅助线或利用面积转化求解；
4.注意求解面积的一般方法：
直接法、面积和差关系、比例法等求解；
5.利用好以下定理：
勾股定理、相似三角形的性质等。
学法升华
一、知识收获
1、有关等腰三角形分类讨论的解题方法：
（1）几何法：
解题过程中往往会涉及到等腰三角形的三线合一。
（2）代数法，往往会运用到两点间距离公式。
2、有关面积的求解方法：
（1）直接法；
（2）分割法与拼凑法；（3）用相似三角形求解；（4）用面积比求。
二、方法总结
1、有关等腰三角形分类讨论的解题方法：
（1）几何法：
先分类；再画图；后计算。
（2）代数法：
先罗列三边；再分类列方程；后解方程、检验。
2、有关面积的求解方法：
（1）直接法：
面积=底×高÷2；
（2）分割法与拼凑法；
（3）用相似三角形求解：
相似三角形的面积之比等于相似比的平方；
（4）用面积比求：
同底的三角形面积之比等于高之比；
同高的三角形面积之比等于底边之比。
三、技巧提炼
1、在直角坐标系中进行等腰三角形的分类讨论依然要通过策略进行化解，将等腰三角形问题通过添加底边上的高转化为直角三角形，再寻找熟悉的“基本型”列出比例式后求解。
2、在以二次函数为背景下求解面积常用的方法是“割补法”中“割”，再割时需注意沿着水平方向（
轴）或竖直方向（
轴）进行分割，割线作为底，能使计算更方便。
课后作业
作业1：
一自动喷灌设备的喷流情况如图所示，设水管AB在高出地面
米的B处有一自动旋转的喷水头，一瞬
间流出的水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C连线成
角，水流最高点C比喷头高
米，求水流落点D到
A点的距离．（★★★）
【答案】AD=（
）米．
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