03高三理数一轮讲义13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词练习版.docx
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03高三理数一轮讲义13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词练习版
第3节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
知识梳理
1.简单的逻辑联结词
（1）命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.
（2）命题p∧q，p∨q，
p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词与存在量词
（1）全称量词：
短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.
（2）存在量词：
短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.
3.全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x，有p（x）成立
存在M中的一个x0，使p（x0）成立
简记
∀x∈M，p（x）
∃x0∈M，p（x0）
否定
∃x0∈M，綈p（x0）
∀x∈M，綈p（x）
[微点提醒]
1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：
p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与
p→真假相反.
2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
3.“p∨q”的否定是“（
p）∧（
q）”，“p∧q”的否定是“（
p）∨（
q）”.
基础自测
1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）命题“5>6或5>2”是假命题.（ ）
（2）命题
（p∧q）是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.（ ）
（3）“长方形的对角线相等”是特称命题.（ ）
（4）∃x0∈M，p（x0）与∀x∈M，
p（x）的真假性相反.（ ）
2.（选修2－1P26A3改编）命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是（ ）
A.∃x0∈R，x
＋x0≤0B.∃x0∈R，x
＋x0<0
C.∀x∈R，x2＋x≤0D.∀x∈R，x2＋x<0
3.（选修2－1P18A1（3）改编）已知p：
2是偶数，q：
2是质数，则命题
p，
q，p∨q，p∧q中真命题的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
4.（2019·贵阳调研）下列命题中的假命题是（ ）
A.∃x0∈R，lgx0＝1B.∃x0∈R，sinx0＝0
C.∀x∈R，x3＞0D.∀x∈R，2x＞0
5.（2018·安徽江南十校模拟）已知命题p，q，“
p为真”是“p∧q为假”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.（2019·豫南五校联考）若“∀x∈
，m≤tanx＋2”为真命题，则实数m的最大值为________.
考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
【例1】
（1）设a，b，c是非零向量.已知命题p:
若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：
若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是（ ）
A.p∨qB.p∧q
C.（
p）∧（
q）D.p∧（
q）
（2）（2018·太原模拟）已知命题p：
∃x0∈R，x
－x0＋1≥0；命题q：
若a>
，则下列命题中为真命题的是（ ）
A.p∧qB.p∧（
q）
C.（
p）∧qD.（
p）∧（
q）
规律方法 1.“p∨q”、“p∧q”、“
p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：
（1）明确其构成形式；
（2）判断其中命题p，q的真假；（3）确定“p∨q”“p∧q”“
p”形式命题的真假.
2.p∧q形式是“一假必假，全真才真”，p∨q形式是“一真必真，全假才假”，
p则是“与p的真假相反”.
【训练1】
（1）（2019·济南模拟）若命题“p∨q”与命题“
p”都是真命题，则（ ）
A.命题p与命题q都是真命题
B.命题p与命题q都是假命题
C.命题p是真命题，命题q是假命题
D.命题p是假命题，命题q是真命题
（2）（2017·山东卷）已知命题p：
∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：
若a2A.p∧qB.p∧
q
C.
p∧qD.
p∧
q
考点二 全称量词与存在量词
多维探究
角度1 含有量词命题的否定
【例2－1】命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A.∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n
B.∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
C.∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0
D.∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0
角度2 全称（特称）命题的真假判断
【例2－2】
（1）（2019·江西师大附中月考）已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（ ）
A.∀x∈R，f（－x）≠f（x）
B.∀x∈R，f（－x）≠－f（x）
C.∃x0∈R，f（－x0）≠f（x0）
D.∃x0∈R，f（－x0）≠－f（x0）
（2）（2018·昆明一中质检）已知命题p：
∀x∈R，x＋
≥2；命题q：
∃x0∈（0，＋∞），x
＞x
，则下列命题中为真命题的是（ ）
A.（
p）∧qB.p∧（
q）
C.（
p）∧（
q）D.p∧q
规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.
2.判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p（x0）成立.
【训练2】
（1）（2019·河北“五个一”名校联考）命题“∃x0∈R，1A.∀x∈R，1B.∃x0∈R，1C.∃x0∈R，f（x0）≤1或f（x0）>2
D.∀x∈R，f（x）≤1或f（x）>2
（2）已知命题p：
∃x0∈（－∞，0），2x0<3x0；命题q：
∀x∈
，sinxA.p∧qB.p∧（
q）
C.（
p）∧qD.（
p）∧（
q）
考点三 由命题的真假求参数的取值范围
【例3】
（1）（2018·长沙调研）已知命题p：
∀x∈R，log2（x2＋x＋a）>0恒成立，命题q：
∃x0∈[－2，2]，2a≤2x0，若命题p∧q为真命题，则实数a的取值范围为________.
（2）已知f（x）＝ln（x2＋1），g（x）＝
－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是________.
规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：
（1）求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
（2）根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.
2.全称命题可转化为恒成立问题.
含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.
【训练3】本例
（2）中，若将“∃x2∈[1，2]”改为“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是____________.
[思维升华]
1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解.
2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题的区别；否定的规律是“改量词，否结论”.
[易错防范]
1.正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p”，只是否定命题p的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真.
2.几点注意：
（1）注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提；
（2）注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；
（3）注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”.
逻辑推理、数学运算——突破双变量“存在性或任意性”问题
逻辑推理的关键要素是：
逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系（或两个函数最值之间的关系），目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.
类型1 形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得g（x2）＝f（x1）成立”
【例1】已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x，g（x）＝
x－
，若对任意x1∈
[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′（x1）＋2ax1＝g（x2）成立，求实数a的取值范围.
评析 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f（x）的值域是g（x）的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.
类型2 形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f（x1）＝g（x2）成立”
【例2】已知函数f（x）＝
函数g（x）＝ksin
－2k＋2（k>0），若存在x1∈[0，1]及x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数k的取值范围.
类型3 形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）【例3】已知函数f（x）＝x＋
，g（x）＝2x＋a，若∀x1∈
，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围是________.
思考1：
在[例3]中，若把“∃x2∈[2，3]”变为“∀x2∈[2，3]”时，其它条件不变，则a的取值范围是________.
问题“等价转化”为[f（x）]max≤[g（x）]min，请读者完成.
思考2：
在[例3]中，若将[例3]中“∀x1∈
”改为“∃x1∈
”，其它条件不变，则a的取值范围是______.
问题“等价转化”为f（x）min≤g（x）max，请读者自行求解.
基础巩固题组
（建议用时：
30分钟）
一、选择题
1.（2019·益阳调研）已知命题p：
“∀a≥0，a4＋a2≥0”，则命题
p为（ ）
A.∀a≥0，a4＋a2<0B.∀a≥0，a4＋a2≤0
C.∃a0<0，a
＋a
<0D.∃a0≥0，a
＋a
<0
2.第十八届亚运会于2018年8月28日在雅加达隆重开幕，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（ ）
A.（
p）∨（
q）B.p∨（
q）C.（
p）∧（
q）D.p∨q
3.（2018·昆明诊断）已知命题“∃x∈R，4x2＋（a－2）x＋
≤0”是假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A.（－∞，0）B.[0，4]C.[4，＋∞）D.（0，4）
4.命题p：
函数y＝log2（x－2）的单调递增区间是[1，＋∞），命题q：
函数y＝
的值域为（0，1）.下列命题是真命题的为（ ）
A.p∧qB
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