高中数学 321 几类不同增长的函数模型导学案 新人教A版必修1.docx

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高中数学321几类不同增长的函数模型导学案新人教A版必修1

3.2.1几类不同增长的函数模型

班级:

__________姓名:

__________设计人__________日期__________

课前预习·预习案

【温馨寄语】

生活的海洋已铺开金色的路，浪花正分列两旁摇动着欢迎的花束。

勇敢地去吧，朋友!

前进，已吹响出征的海螺；彩霞，正在将鲜花的大旗飞舞……

【学习目标】

1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们的增长差异.

2．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.

3．恰当运用函数的三类表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题.

【学习重点】

1．将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义

2．集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合

【学习难点】

1．怎样选择数学模型分析解决实际问题

2．难点是集合特征性质的概念，以及运用特征性质描述法表示集合

【自主学习】

1．三类增长型函数图象性质的变化特征

2．三类增长型函数之间增长速度的比较

（1）指数函数

和幂函数

在区间（0，+∞）上，由于

的增长速度          

的增长速度，因而总存在一个实数

，当

时，就会有_____________（

，

）.

（2）对数函数

和幂函数

，

的增长   

的增长，因而在区间（0，+∞）上，总存在一个实数

，使

时有_____________（

，

）.

结论：

三类增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个“档次”上，在（0，+∞）上，总会存在一个

，当

时有              .

【预习评价】

1．下表显示了函数值

随自变量

变化的一组数据，由此可判断它最可能符合的函数模型为

-2

-1

0

1

2

1

4

16

A.一次函数模型               B.二次函数模型

C.指数函数模型                D.对数函数模型

2．某种植物生长发育的数量

与时间

的关系如下表：

1

2

3

1

3

8

下面的函数关系式中，能表达这种关系的是

A.

               B.

C.

                D.

3．某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是          .

4．某种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价             .

知识拓展·探究案

【合作探究】

1．几类函数模型的特征及其增长差异的比较

观察函数

，

，

在区间（0，+∞）上的图象，思考以下几个问题：

（1）三个函数在区间（0，+∞）上的图象有什么特点？

（2）当

趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？

哪个最慢？

（3）一般情况下，函数

，

和

在区间（0，+∞）上增长速度怎样？

2．几类函数模型的应用

当题目条件中的信息以表格等形式给出时，常常先根据相关数据中的信息进行描点，结合描点后的图象，选择合适的函数模型来解决有关问题，观察下列图象探究有关问题：

（1）根据图象的特点，①②③④应分别选用哪种函数模型较好？

（2）已知函数模型，求函数的解析式一般常用的方法是什么？

【教师点拨】

1．四类不同增长的函数模型

（1）增长速度不变的函数模型是一次函数模型.

（2）增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数函数模型.

（3）增长速度较慢的函数模型是对数函数模型.

（4）增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.

2．几类函数模型的选择

（1）一次函数模型：

当

增加一个单位时，

增加或减少的量为定值，则

是

的一次函数，一次函数的图象为直线.

（2）二次函数模型：

二次函数是常用的重要模型，

是

或其他量的二次函数，常用来求最大值或最小值问题，但要注意定义域.

（3）指数函数模型、对数函数模型：

当问题中每期（或每年、每段等）的增长率相同，则为指数函数模型或对数函数模型，一般与增长率、衰减率、利息等现实问题联系紧密.

【交流展示】

1．当自变量

足够大时，下列函数中增长速度最快的是

A.

B.

C.

D.

2．若

，试分析三个函数模型

，

，

的增长差异，用“＞”把它们的取值大小关系连接起来为          .

3．下表显示出函数值

随自变量

变化的一组数据，由此判断符合这组数据的最恰当的函数模型是

4

5

6

7

8

9

10

13

15

17

19

21

23

25

A.一次函数模型

B.二次函数模型

C.指数函数模型

D.对数函数模型

4．2005年1月6日是“中国十三亿人口日”，如果要使我国总人口在2015年以前控制在十四亿之内，那么从2005年1月6日开始的随后10年由我国的年平均人口自然增长率应控制在多少以内.

【学习小结】

1．建立函数模型要遵偱的原则

（1）简化原则

建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.

（2）可推演原则

建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.

（3）反映性原则

建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.

2．三种函数模型的表达式及其增长特点的总结

（1）指数函数模型：

表达式为

（

，

，

为常数，

），当

时，增长特点是随着自变量

的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”；当

时，函数值由快到慢地减少.

（2）对数函数模型：

表达式为

，

，

为常数，

），当

时，增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着

的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”；当

时，相应函数值逐渐减少，变化得越来越慢.

（3）幂函数模型：

表达式为

（（

，

，

为常数，，

，

为常数，

，

），其增长情况由

和

的取值确定，常见的有二次函数模型.

【当堂检测】

1．三人赛跑，假设其路过的路程和时间的函数关系分别是

，

，

，他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是

A.

B.

C.

D.一样快

2．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售800台，则下列函数模型中能准确地反映销售量

与投放市场的月数

之间关系的是

A.

B.

C.

D.

答案

课前预习·预习案

【自主学习】

1．增函数　增函数　增函数　y轴　x轴

2．

（1）快于　ax＞xn

（2）慢于　xn＞logax　ax＞xn＞logax（a＞1，n＞0）

【预习评价】

1．C

2．D

3．

4．11.11％

知识拓展·探究案

【合作探究】

1．

（1）三个函数在区间（0，＋∞）上的图象都是上升的，即单调递增.

（2）三个函数的增长速度差异很大，其中y＝2x增长速度最快，y＝log2x增长速度最慢.

（3）一般情况下，y＝ax（a＞1）增长速度越来越快，一般称为爆炸式增长，y＝logax（a＞1）增长会越来越慢，y＝xn（n＞0）介于它们两个之间.

2．

（1）①随着x值的增大y值的变化越来越大，所以常选用指数型函数来模拟；②随着x值的增大y值的变化越来越近似为零，所以常用对数型函数模拟；③图形中的点先升后降，所以常选用二次函数模拟；④数据点大致都落在一条直线附近，所以常选用一次函数模拟.

（2）已知函数类型求函数的解析式一般常用的方法是待定系数法，根据函数的类型，可设出其函数解析式，用待定系数法求解.

【交流展示】

1．A

2．

3．A

4．74％

【当堂检测】

1．A

2．C

3.2.1几类不同增长的函数模型

班级:

__________姓名:

__________设计人__________日期__________

课后练习

【基础过关】

1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过

年可能增长到原来的

倍，则函数

的图象大致为

A.

B.

C.

D.

2．当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的是（　　）

A.y=100x

B.y=log100x

C.y=x100

D.y=100x

3．某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来的价格相比,变化情况是（　　）

A.增加7.84%

B.减少7.84%

C.减少9.5%

D.不增不减

4．已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,则当2

A.y1>y2>y3

B.y2>y1>y3

C.y1>y3>y2

D.y2>y3>y1

5．假设某商品靠广告销售的收入

与广告费

之间满足关系

，那么广告效应D

，当

           时，取得最大广告效应，此时收入

          .

6．四个变量

，

，

，

随变量

变化的数据如下表：

0

5

10

15

20

25

30

5

130

505

1130

2005

3130

4505

5

94.478

1785.2

33733

5

30

55

80

105

130

155

5

2.3107

1.4295

1.1407

1.0461

1.0151

1.005

关于

呈指数型函数变化的变量是         .

7．试比较函数y=x200,y=ex,y=lgx的增长差异.

8．有一种树木栽植五年后可成材.在栽植后五年内,年增长20%,如果不砍伐,从第六年到第十年,年增长10%,现有两种砍伐方案:

甲方案:

栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐.

乙方案:

栽植五年后砍伐重栽,再过五年再砍伐一次.

请计算后回答:

十年后哪一个方案可以得到较多的木材?

（不考虑最初的树苗成本,只按成材的树木计算）

【能力提升】

已知桶1与桶2通过水管相连如图所示,开始时桶1中有aL水,tmin后剩余的水符合指数衰减函数y1=a·e-nt,那么桶2中的水就是y2=a-a·e-nt,假定5min后,桶1中的水与桶2中的水相等,那么再过多长时间桶1中的水只有

 L?

答案

【基础过关】

1．D

【解析】由已知可推断函数模型为指数函数.

2．D

【解析】由于指数函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数y=100x的增长速度最快.

3．B

【解析】设该商品原价为a,则四年后的价格为a（1+20%）2（1-20%）2=0.9216a,所以（1-0.9216）a=0.0784a=7.84%a,即四年后的价格比原来的价格减少了7.84%.

4．B

【解析】在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象（图略）,在区间（2,4）内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>