MATLAB处理线性系统数学模型59687.docx

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MATLAB处理线性系统数学模型59687

实验一用MATLAB处理线性系统数学模型

 

[说明]

一个控制系统主要由被控对象、测量装置、控制器和执行器四大部分构成。

MATLAB软件的应用对提高控制系统的分析、设计和应用水平起着十分重要的作用。

采用MATLAB软件仿真的关键问题之一是在MATLAB软件平台上怎样正确表示被控对象的数学模型。

[实验目的]

1.了解MATLAB软件的基本特点和功能;

2.掌握线性系统被控对象传递函数数学模型在MATLAB环境下的表示方法及转换;

3.掌握多环节串联、并联、反馈连接时整体传递函数的求取方法;

4.掌握在SIMULINK环境下系统结构图的形成方法及整体传递函数的求取方法;

5.了解在MATLAB环境下求取系统的输出时域表达式的方法。

[实验指导]

一、被控对象模型的建立

在线性系统理论中,一般常用的描述系统的数学模型形式有:

(1)传递函数模型——有理多项式分式表达式

(2)传递函数模型——零极点增益表达式

(3)状态空间模型(系统的内部模型)

这些模型之间都有着内在的联系,可以相互进行转换。

1、传递函数模型——有理多项式分式表达式

设系统的传递函数模型为

若已知系统的传递函数为:

对线性定常系统,式中s的系数均为常数,且an不等于零。

这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母各项系数构成的两个向量唯一地确定,这两个向量常用num和den表示。

num=[bm,bm-1,…,b1,b0]

den=[an,an-1,…,a1,a0]

注意:

它们都是按s的降幂进行排列的。

分子应为m项,分母应为n项,若有空缺项(系数为零的项),在相应的位置补零。

然后写上传递函数模型建立函数:

sys=tf(num,den)。

这个传递函数便在MATLAB平台中被建立,并可以在屏幕上显示出来。

例1-1:

已知系统的传递函数描述如下:

在MATLAB命令窗口(CommandWindow)键入以下程序:

>>num=[12,24,0,20];

>>den=[24622];

>>sys=tf(num,den)

回车后显示结果:

Transferfunction:

12s^3+24s^2+20

---------------------------------------

2s^4+4s^3+6s^2+2s+2

并同时在MATLAB中建立了这个相应的有理多项式分式形式的传递函数模型。

(1)系统的MATLAB程序为:

举例1-2:

已知系统的传递函数描述如下:

其中,多项式相乘项,可借助多项式乘法函数conv来处理。

在MATLAB命令窗口键入以下程序:

>>num=4*conv([1,2],conv([1,6,6],[1,6,6]));

>>den=conv([1,0],conv([1,1],conv([1,1],conv([1,1],[1,3,2,5]))));

>>sys=tf(num,den)

回车后显示结果:

Transferfunction:

4s^5+56s^4+288s^3+672s^2+720s+288

---------------------------------------------------------------------------

s^7+6s^6+14s^5+21s^4+24s^3+17s^2+5s

同时在MATLAB中建立了这个有理多项式分式形式的传递函数模型。

2.相应的

(2)系统的MATLAB程序为:

2、传递函数模型——零极点增益模型

零极点增益模型为:

其中:

K为零极点增益,zi为零点,pj为极点。

该模型在MATLAB中,可用[z,p,k]矢量组表示,即

z=[z1,z2,…,zm];p=[p1,p2,...,pn];k=[K];

然后在MATLAB中写上零极点增益形式的传递函数模型建立函数:

sys=zpk(z,p,k)。

这个零极点增益模型便在MATLAB平台中被建立。

举例1-3:

已知系统的零极点增益模型:

在MATLAB命令窗口键入以下程序:

>>z=[-3];p=[-1,-2,-5];k=6;

>>sys=zpk(z,p,k)

Zero/pole/gain:

6(s+3)

-----------------

(s+1)(s+2)(s+5)

则在MATLAB中建立了这个零极点增益的模型。

3.3、状态空间模型

状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式,又称为动态方程,如下:

则在MATLAB中建立状态空间模型的程序如下:

>>A=[A];

>>B=[B];

>>C=[C];

>>D=[D];

>>sys=ss(A,B,C,D)

二、不同形式模型之间的相互转换

不同形式之间模型转换的函数:

(1)tf2zp:

多项式传递函数模型转换为零极点增益模型。

格式为:

[z,p,k]=tf2zp(num,den)

(2)zp2tf:

零极点增益模型转换为多项式传递函数模型。

格式为:

[num,den]=zp2tf(z,p,k)

(3)ss2tf:

状态空间模型转换为多项式传递函数模型。

格式为:

[num,den]=ss2tf(a,b,c,d)

(4)tf2ss:

多项式传递函数模型转换为状态空间模型。

格式为:

[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)

(4)zp2ss:

零极点增益模型转换为状态空间模型。

格式为:

[a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k)

(5)ss2zp:

状态空间模型转换为零极点增益模型。

格式为:

[z,p,k]=ss2zp(a,b,c,d)

三、环节串联、并联、反馈连接时等效的整体传递函数的求取

1、串联

这里:

在MATLAB中求取整体传递函数的功能,采用如下的语句或函数来实现。

.

1G=G1*G2

2G=series(G1,G2)

3[num,den]=series(num1,den1,num2,den2)

例1-4两环节G1、G2串联,求等效的整体传递函数G

解:

①实现的程序:

>>n1=2;d1=[13];n2=7;d2=[121];G1=tf(n1,d1);G2=tf(n2,d2);G=G1*G2

运行结果:

Transferfunction:

14

---------------------

s^3+5s^2+7s+3

②实现的程序:

>>n1=2;d1=[13];n2=7;d2=[121];G1=tf(n1,d1);G2=tf(n2,d2);G=series(G1,G2)

运行结果:

Transferfunction:

14

---------------------

s^3+5s^2+7s+3

③实现的程序:

>>n1=2;d1=[13];n2=7;d2=[121];G1=tf(n1,d1);G2=tf(n2,d2);

>>[n,m]=series(n1,d1,n2,d2)

运行结果:

n=00014

m=1573

例1-5四环节G1、G2、G3、G4串联,求等效的整体传递函数G

解:

实现的程序:

>>n1=2;d1=[13];n2=7;d2=[121];G1=tf(n1,d1);G2=tf(n2,d2);

>>G=G1*G2*G1*G1

运行结果:

Transferfunction:

56

------------------------------------------

s^5+11s^4+46s^3+90s^2+81s+27

2、并联

两环节G1(s)与G2(s)并联,则等效的整体传递函数为

G(s)=G1(s)+G2(s)

在MATLAB中求取整体传递函数的功能,采用如下的语句或函数来实现。

①G=G1+G2

②G=parallel

1(G1,G2)

③[num,den]=parallel

2(num1,den1,num2,den2)

例1-6两环节G1、G2并联,求等效的整体传递函数G(s)

解:

①实现的程序:

>>n1=2;d1=[13];n2=7;d2=[121];G1=tf(n1,d1);G2=tf(n2,d2);G1+G2

运行结果:

Transferfunction:

2s^2+11s+23

----------------------------

s^3+5s^2+7s+3

②实现的程序:

>>n1=2;d1=[13];n2=7;d2=[121];G1=tf(n1,d1);G2=tf(n2,d2);G=parallel(G1,G2)

运行结果:

Transferfunction:

2s^2+11s+23

---------------------------

s^3+5s^2+7s+3

③实现的程序:

>>n1=2;d1=[13];n2=7;d2=[121];[n,d]=parallel(n1,d1,n2,d2)

运行结果:

n=021123

d=1573

则G(s)=G1(s)-G2(s)

相应的语句为

G=G1-G2

例1-7:

程序如下

>>n1=2;d1=[13];n2=7;d2=[121];G1=tf(n1,d1);G2=tf(n2,d2);G=G1-G2

运行结果:

Transferfunction:

2s^2-3s-19

------------------------------

s^3+5s^2+7s+3

3.反馈:

feedback

在MATLAB中采用如下的语句或函数来求取闭环传递函数

①G=feedback(G1,G2,sign)

②[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)

③G=cloop(G1,sign)

④[numc,denc]=cloop(num,den,sign)

这里,sign=1时采用正反馈;当sign=-1时采用负反馈;sign缺省时,默认为负反馈。

其中G2;num2,den2;对应H(s)。

④只用于单位反馈系统。

例1-8,已知

求闭环传递函数。

两环节G1、G2分别为

解:

①a:

>>n1=[3100];d1=[1281];n2=2;d2=[25];

>>G1=tf(n1,d1);G2=tf(n2,d2);G=feedback(G1,G2,-1)

结果;

Transferfunction:

6s^2+215s+500

------------------------------------

2s^3+9s^2+178s+605

b:

>>n1=[3100];d1=[1281];n2=2;d2=[25];

G1=tf(n1,d1);G2=tf(n2,d2);G=feedback(G1,G2,1)

结果:

Transferfunction:

6s^2+215s+500

---------------------------

2s^3+9s^2+166s+205

num1=[3100];den1=[1281];num2=2;den2=[25];

[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,-1)

结果:

num=

06215500

den=

29178605

举例1-9,已知

求闭环传递函数。

两环节G1、G2分别为

解①

>>n1=[3100];d1=[1281];G1=tf(n1,d1);G2=1;G=feedback(G1,G2,-1)

结果:

Transferfunction:

3s+100

---------------

s^2+5s+181

>>n1=[3100];d1=[1281];G1=tf(n1,d1);G=cloop(G1,-1)

结果:

Transferfunction:

3s+100

-------------------

s^2+2s+81

以上语句对于零极点增益模型也是适用的

例1-10:

>>z=[-3];p=[-1];k=3;G1=zpk(z,p,k);z1=[-4];p1=[-2];k1=5;G1=zpk(z,p,k);

G2=zpk(z1,p1,k1);G=G1*G2

Zero/pole/gain:

15(s+3)(s+4)

--------------

(s+1)(s+2)

>>GG=G1+G2

Zero/pole/gain:

8(s+1.275)(s+3.725)

---------------------

(s+1)(s+2)

>>GGG=feedback(G1,G2,-1)

Zero/pole/gain:

0.1875(s+3)(s+2)

------------------

(s+3.25)(s+3.5)

以上运算中往往通分运算后不约简,可以再使用minreal()函数来实现约简,其格式为

G1=minreal(G)

举例1-11

>>z=[-3];p=[-1];k=3;G1=zpk(z,p,k);z1=[-1];p1=[-2];k1=5;G1=zpk(z,p,k);

G2=zpk(z1,p1,k1);G=G1*G2

Zero/pole/gain:

15(s+3)(s+1)

--------------

(s+1)(s+2)

>>G1=minreal(G)

Zero/pole/gain:

15(s+3)

--------

(s+2)

四、系统复杂连接时等效的整体传递函数的求取

1.用Siumlink软件实现传递函数的求取

Siumlink软件是基于Windows的模型化图形输入的仿真软件,是MATLAB软件的拓展,在Siumlink环境下输入系统的方框图则可以方便的得到其传递函数。

⑴系统方框图的输入

1在MATLAB命令窗口中输入simulink,出现一个称为SimulinkLibraryBrowser的窗口,它提供构造方框图(或其他仿真图形界面)的模块;

②在MATLAB主窗口对File\New\Model操作,打开模型文件窗口,在此窗口上,构造方框图。

③以下面的系统为例,介绍构造方框图的各模块录入方法和设置方法。

图中,

◇录入各传递函数方框

在SimulinkLibraryBrowser的窗口打开Simulink→Continuous子库,将TransferFcn模块复制到(拽到)模型文件窗口,共复制6个方框,分别放到相应位置。

传递函数是积分环节的,也可以复制Integrator模块

◇录入相加点

在SimulinkLibraryBrowser的窗口打开Simulink→Math子库,将Sum模块复制到(拽到)模型文件窗口,共复制复制到(拽到)模型文件窗口,共复制3个相加点,分别放到相应位置。

◇录入输入点与输出点标记

打开Simulink→Sources子库,将In1模块(输入点)复制到(拽到)模型文件窗口,放到相应位置。

打开Simulink→Sinks子库,将Out1模块(输出点)复制到(拽到)模型文件窗口,放到相应位置。

◇连接各方框(环节)

在模型文件窗口上,按箭头方向从起点到终点按住鼠标左键,连接方框。

传递函数方框有信号的入点和出点标记,画图不方便时,可以修改原来的方向,右键点击方框,在出现的浮动菜单上,作如下选择,即可实现方框旋转。

还可以对方框加阴影,改颜色,增加或取消修改名称注释及其位置等。

其他模块也有这些功能。

◇双击各模块,在参数设定窗口,设置模块参数。

对于方框,是确定该方框表示的具体传递函数。

对于相加点,是确定图形标记是圆形还是方形,并确定有几个需要相加的输入信号及信号极性。

输入点与输出点标记不用再设置。

在模型文件窗口构建得到的方框图如下:

⑵将构建的方框图保存

自定文件名,保存在默认的目录下。

文件名例如:

cdhs。

⑶求取方框图表示的系统的传递函数

①有理多项式形式

在MATLAB命令窗口(CommandWindow)键入以下程序:

>>[n,d]=linmod('cdhs')注:

''中是自定的文件名。

结果:

Returningtransferfunctionmodel

n=

00.000000.000012.00002.40000.0000

d=

1.00001.700016.800026.500021.60003.20000.0000

②零极点增益模型

在MATLAB命令窗口(CommandWindow)键入以下程序:

>>[a,b,c,d]=linmod2('cdhs');G=ss(a,b,c,d);G1=ZPK(G)

结果:

Zero/pole/gain:

12s(s+0.2)

------------------------------------------------------------

s(s+0.1855)(s^2+1.521s+1.12)(s^2-0.006824s+15.41)

化简

>>G2=minreal(G1)

结果:

Zero/pole/gain:

12(s+0.2)

----------------------------------------------------------

(s+0.1855)(s^2+1.521s+1.12)(s^2-0.006824s+15.41)

2.用信号流程图实现传递函数的求取

[实验内容]

1.自确定2个传递函数,实现传递函数的录入和求取串联、并联、反馈连接时等效的整体传递函数。

要求分别采用有理多项式模型和零极点增益模型两种传递函数形式。

2.进行2例有理多项式模型和零极点增益模型间的转换。

3.在Siumlink环境下实现如下系统的传递函数的求取。

各环节传递函数自定。

4.用画信号流程图方法求取下面系统的传递函数。

[实验报告要求]

1.写明实验目的和实验原理。

实验原理中简要说明求取传递函数的途径和采用的语句或函数。

2.在实验过程和结果中,要求按项目写清楚自定的传递函数、画出系统方框图,从屏幕上复制程序和运行结果,复制系统的Simulink方框图,打印报告或打印粘贴在报告上。

不方便打印的同学,要求手动从屏幕上抄写和绘制。

3.简要写出实验心得和问题或建议。

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