Abra Done Right 一些札记和习题记录.docx

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AbraDoneRight一些札记和习题记录

AbraDoneRight一些札记和习题记录

（第一章）

注记部分：

有关子空间和与直和的讨论：

如果

是向量空间U的两个线性子空间，那么下面两个命题等价（见17页命题1.9）：

1）

是直和；

2）

这种关系是否可以推广到多个子空间的情况呢？

也就是说是否有n个子空间两两相交于零点，就说明它们的和是直和呢？

这是不一定的。

设想三维空间中三条坐标轴，再加上另一条过原点但异于坐标轴的直线，三条坐标轴的直和就是整个三维空间，显然它们和第四条直线的和不可能是直和。

但是可以对子空间的交集提出这样的要求：

对每个

如果满足这个要求，那么它们的和就是直和。

这个条件也是多个子空间的和是直和的充要条件。

证明用数学归纳法很容易。

先把这样一个命题弄清楚了，后面的关于不同特征值的特征向量线性无关的证明思路就变得很容易。

还有一个看似更强的要求，但实际上与上面的那个要求是等价的：

在

中任意不重复地取出两组子空间来：

和

，其中

，都满足

。

可以证明这个条件也是若干子空间的和是直和的充要条件。

充分性可以利用上面的命题，必要性证明方法类似于命题1.9。

部分习题解答：

9证明

的两个子空间的并集也是

的子空间当且仅当其中一个子空间包含于另一个子空间。

证明：

必要性：

设

是要讨论的两个子空间，且

，那么

。

，因

是子空间，故

。

若

，则

，矛盾。

因此

，则

。

故

。

充分性显然。

（第二章）

注记部分：

1线性无关和子空间直和的联系

线性无关概念和子空间直和的概念有着很密切的联系，如下：

1）二者的概念同源，都是要将一个大的空间的向量唯一地分解成若干小的子空间中向量的和。

2）v1,v2,…,vn线性无关的充要条件是v1,v2,…,vn都不等于0且span（v1）,span（v2）,…,span（vn）的和是直和。

3）设有若干组向量：

向量组u1,u2,…,ur，向量组v1,v2,…,vs，和向量组w1,w2,…,wt，每一组向量都线性无关，把它们放在一起还是线性无关吗？

这显然是不一定的。

但是怎样才能保证把它们放在一起也线性无关呢？

有以下两个结果：

a）向量组u1,u2,…,ur，向量组v1,v2,…,vs，和向量组w1,w2,…,wt，每一组向量都线性无关，则向量组u1,…,ur,v1,…,vs,w1,…,wt线性无关当且仅当span（u1,u2,…,ur）+span（v1,v2,…,vs）+span（w1,w2,…,wt）是直和。

b）若U1+U2+…+Un是直和，那么分别从U1,U2,…,Un每个子空间中任意选出一组线性无关的向量，它们整体还是线性无关的。

可以说a）就是直和空间的维数定理和逆定理。

但利用零向量的唯一分解性质也可以很容易地证明上述两个命题。

233页定理2.18（dim（U1+U2）=dimU1+dimU2−dim（U1∩U2））的证明思路问题

此定理很自然的思路是寻找各个子空间基底所包含向量的个数关系。

因此前半部分比较自然，寻找U1∩U2的基底u1,...,um，添加向量v1,...,vj使u1,...,um,v1,...,vj成为U1的基底，再添加w1,...,wk使u1,...,um,w1,...,wk成为U2的基底。

但在证明（u1,...,um,v1,...,vj,w1,...,wk）线性无关的过程中，设

a1u1+···+amum+b1v1+···+bjvj+c1w1+···+ckwk=0

之后，怎么能想到要把c1w1+···+ckwk和其它向量分别放在等式两边呢？

有了上一条注记中的两个命题a）和b），这个思路就比较明朗，证明多组线性无关的向量放在一起也是线性无关的，无非就是证明span（w1,w2,…,wk）+span（u1,u2,…,um）+span（v1,v2,…,vj）是直和。

因为已知w1,…,wk,u1,…,um线性无关，只需证明span（w1,w2,…,wk,u1,u2,…,um）∩span（v1,v2,…,vj）={0}（见第一章注记）

这就是把c1w1+···+ckwk放在等式另一边的证明思路。

如果一个人不知道此定理，现在要着手证明这个定理，他会是怎样的思路呢？

首先，他会先考虑两个子空间交于{0}的简单情形，并证明直和的维数等于维数的和，证法见上条评注中的命题a）。

接着，考虑两个子空间的交集维数大于等于1的情形，他会考虑把U1+U2分解成几个子空间的直和，很自然的想法就是考虑U1∩U2、U1去掉U1∩U2的那一部分，和U2去掉U1∩U2的那一部分应该可以构成直和（即找两个子空间W,V使得W+U1∩U2=U1,V+U1∩U2=U2，那么应有W⊕U1∩U2⊕V=U1+U2）。

这就是整个证明的思路。

证明过后又发现没有必要事先单独证明直和的情形了，因此把直和的维数定理作为此定理的推论。

3维数定理和有限集合基数定理（容斥原理）

这部分论述见文章《子空间和的维数定理与容斥原理》

部分习题解答：

（略）

（第三章）

注记部分：

1线性无关性和线性相关性在线性映射作用下的表现

你可能听说过向量空间同构这个概念，两个向量空间U和V，如果它们之间存在可逆的线性映射T，那么这两个向量空间同构。

从向量空间本身的性质来讲，两个同构的向量空间可以不分你我，对应的向量之间有相同的线性关系，整个空间的维数也相同。

设

，那么

线性相关（无关），当且仅当

也线性相关（无关）。

这是因为，

和

都是线性映射，因此

当且仅当

。

那么，如果无法保证

是可逆的，我们只能保证当

线性相关时

也线性相关，或者当

线性无关时

也线性无关。

这是很简单的道理。

那么当

不是单射时，如果

线性无关，什么时候可以保证

也是线性无关的呢？

即还需要给

增加什么样的条件才能保证

线性无关？

欲使

线性无关，需要方程

没有非零解，而此即方程

。

欲使此方程没有非零解，需要当

不全为零时

，也即

。

因此，有下面的命题：

命题1：

是从向量空间

到

的线性映射，

，那么当且仅当

线性无关，并且

时，

线性无关。

从这个命题出发，不但能启发出值域-零度定理，还可以得到书上关于值域-零度定理的证明思路。

并且，这个命题本身应该也是比较重要的。

2反向思考值域-零度定理

如果不知道值域-零度定理，是否可以知道从低维空间到高维空间没有满的线性映射？

因为

线性无关时

也线性无关，这表明值域的维数不可能比定义域的维数大。

我们知道当取定义域中的一组基底

后，

。

如果值域的维数比定义域的维数小，那么小了多少由什么来决定的呢？

我们知道在值域的维数比定义域小的时候

不可能线性无关。

那么在

中选取极大线性无关组

，其它

可以用这r个向量线性表示，即

也即

。

因此

。

设

，注意到在定义域中，

线性无关，因此

也线性无关。

而

，因此

。

接下来就是想办法证明

，从而

。

其中

。

那么有

。

因

线性无关，根据命题1，可知

。

这样就有

，从而

。

因此值域-零度定理成立。

当然，在历史上，这个值域-零度定理绝对不是从这样的抽象符号和理论的思考中得到的，早在线性代数发展的早期，人们的主要精力集中在对线性方程组的解结构的研究，人们可能是通过线性方程组系数矩阵的秩与解空间维数之间的关系看到了秩-零度定理，从而在后来推广到一般的线性映射上来的。

一个数域

上的有限维的线性空间，都同构于

，在有限维线性空间之间的映射也可以与数域上的矩阵构成空间同构，对线性映射零空间的研究也完全等同于对数域上的线性方程组的解空间的研究，那么为什么还会有这种抽象符号表达的线性代数体系呢？

它是从什么时候开始出现，它的始作俑者又是谁？

它存在的意义究竟有多大呢？

3值域-零度定理与商空间

对值域-零度定理最透彻最符合直觉的解释是利用商空间和第一同构定理。

这方面在一些线性代数书中已经涉及到（如李炯生、查建国版本《线性代数》），请在网络上搜索这方面的内容。

4映射的逆、左逆与右逆（参见本章练习14与15）

设

是集合

到

的映射，

和

分别是

和

上的单位映射。

如果存在

到

的映射

使得

则称

是

的右逆，如果存在

到

的映射

使得

，则称

是

的左逆。

命题2：

有左逆，当且仅当

是单射；

有右逆，则

是满射。

如果承认选择公理，那么

有右逆，当且仅当

是满射。

证明：

如果

有左逆，即存在

到

的映射

使得

，那么

。

这说明

是单射。

如果

是单射，我们可以构造

的左逆

如下：

取定

，

，如果

，则定义

，否则令

。

这样定义的

就是

的左逆。

如果

有右逆，即存在

到

的映射

使得

，那么

且

。

如果

是满射，我们可以用选择公理构造

的右逆如下：

，从

的原像集合中选取一个

，令

。

一般来讲，如果一个映射只有左逆或只有右逆，那么它的左逆或右逆都不是唯一的。

但是如果一个映射既有左逆又有右逆，那么它的左逆和右逆都是相等的。

命题3：

既有左逆又有右逆当且仅当

是一一映射。

并且此时

的左逆与右逆是唯一确定且相等的。

证明：

利用命题2证明第一条，因为

是一一映射，并不需要选择公理。

欲证第二条，首先证明

的所有左逆相等，所有右逆相等。

设

与

是

的右逆，有

，那么因为

同时有左逆，取

的左逆

，有

，即

。

即所有右逆彼此相等。

同理可证所有左逆彼此相等。

接下来证明左逆等于右逆。

设

与

分别是

的左逆与右逆，那么

。

这说明右逆同时也是左逆，因此右逆等于左逆。

如果

是一一映射时，就把

的左逆或右逆称为

的逆。

部分习题解答：

2例举一个函数

使得

对任意

，但是

不是线性映射。

解答：

设

，这个函数满足题设条件但不是线性函数。

4设

是向量空间

到数域

的线性函数，证明如果

，则

。

证明：

设

，因为

，所以

（这两个子空间的和是直和）。

因

，故

，因此

11证明如果

上存在一个线性映射

且它的值域与零空间都是有限维的，那么

是有限维的。

证明：

因为书上证明值域-零度定理时是以

是有限维空间为基础，所以直接用这个定理不妥。

设

的值域维数为r，零空间维数为s，我们可以取任意维数的子空间，比如，r+s+1维的子空间，将

限制在这个子空间中，然后利用值域-零度定理，可断定这个子空间的像的维数大于r，已经超过了整个定义域的像的维数了。

16设

和

是有限维向量空间，并且

，证明

证明：

因为

当且仅当

，故

。

设

，考虑

，有

22设

是有限维向量空间且

。

证明

可逆当且仅当

与

都可逆。

证明：

必要性，

可逆当且仅当

。

因为

与

，所以

与

都可逆。

充分性，当

、

都可逆时，

就是

的逆。