层次分析法及matlab程序.docx
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层次分析法及matlab程序
层次分析法建模
•层次分析法（AHP-AnalytiCHieraChyPrOCeSS--—-多目标决策方法
70年代由美国运筹学家T∙L∙Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。
吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下,採用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。
＊传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：
机理分析方法:
利用经典的数学工具分析观察的因果关系；统计分析方法：
利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会现象）现象的规律.
•基本内容：
（1多目标决策问题举例AHP建模方法
（2）AHP建模方法基本步骤
（3）AHP建模方法基本算法
（3）AHP建模方法理论算法应用的若干问题.
•参考书:
1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育岀版社
2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社
3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节,清华大学岀版社
亠、问题举例：
A•大学毕业生就业选择问题
获得大学毕业学位的毕业生,“双向选择"时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要
求.就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：
1能发挥自己的才干为国家作出较好贡献二即工作岗位适合发挥专长）；
2工作收入较好（待遇好）；
3生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；
4单位名声好（声誉-RePUtation）；
5工作环境好（人际关系和谐等）
6发展晋升（promote，promotion）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等.
问题：
现在有多个用人单位可供他选择，因此,他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择？
一一或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？
11］
可供选择的单位Pi'P2‘--———Pn
E.假期旅游地点选择
暑假有3个旅游胜地可供选择。
例如:
R:
苏州杭州，P2北戴河，P3桂林,到底到哪个地方去旅游最好？
要作出决策和选择。
为此,要把三个旅游地的特点,例如：
①景色;②费用;
③居住；④环境；⑤旅途条件等作一些比较一一建立一个决策的准则,最后综合评判确定出一个可选择的最优方案.
C•资源开发的综合判断
7种金属可供开发，开发后对国家贡献可以通过两两比较得到,决定对哪种资源先开发，效用最用。
1、问题分析：
例如旅游地选择问题：
一般说来，此决策问题可按如下步骤进行:
（51）将决策解分解为三个层次,即：
目标层:
（选择旅游地）
准则层：
（景色、费用、居住、饮食、旅途等5个准则）
方案层：
（有R，P2，P3三个选择地点）
并用直线连接各层次。
（52）互相比较各准则对目标的权重，各方案对每一个准则的权重.这些权限重在人的思维过程中常是定性的。
例如：
经济好，身体好的人：
会将景色好作为第一选择；中老年人：
会将居住、饮食好作为第一选择；经济不好的人：
会把费用低作为第一选择。
而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法.
（53）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。
（54）最终得出方案层对目标层的权重,从而作出决策.
以上步骤和方法即是AHP的决策分析方法。
1、确定各层次互相比较的方法——成对比较
矩阵和权向量
在确定各层次各因素之间的权重时,如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受,因
而Santy等人提出：
-
一致矩阵法
即：
1。
不把所有因素放在一起比较,而是两两相互比较
2.对此时採用相对尺度,以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。
因素比较方法――成对比较矩阵法：
目的是,要比较某一层n个因素C1，C2，…，Cn对上一层因素O的影响（例如：
旅游决策解中，比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性）。
採用的方法是:
每次取两个因素
Ci和Cj比较其对目标因素
O的影响，并用aj表示,全部
比较的结果用成对比较矩阵表示，即：
A—（aj）nxn，aij0，
1
aji
aij
（或ajaj=1）
（1）
由于上述成对比较矩阵有特点:
A=
（aj），aj0，aj
1
a∏
例如：
在旅游决策问题中:
故：
ai2=12（即景色重要性为1,费用重要性为2）
?
？
问题：
稍加分析就发现上述成对比较矩阵的问题：
①即存在有各元素的不一致性，例如：
既然：
a12=CI
C2
OC141
211331'
C31θ1
所以应该有:
a23
C2
C3
a21
_^C3C1
a31
12心81
4
而不应为矩阵
A中的a23=71
n个元素比较次数为：
Cf=nnI）次,
2!
因此，问题是:
如何改造成对比较矩阵,
使由其能确定诸因素c1,…,Cn对上层因素O的
权重？
G,…，Cn对因素（上层
对此Saoty提出了：
在成对比较出现不一致情况下，计算各因素因素）O的权重方法，并确定了这种不一致的容许误差范围.
为此，先看成对比较矩阵的完全一致性——成对比较完全一致性
四:
一致性矩阵
Def:
设有正互反成对比较矩阵：
（4）
除满足:
（i）正互反性：
而且还满足：
（ii）一致性:
致性矩阵（一致阵）性质：
性质1:
A的秩Rank（A）=1∕/显然
A的唯一非O的特征根为n
性质2：
A的任一列（行）向量都是对应特征根n的特征向量:
即有（特征向量、特征值）：
则向量W=
满足:
AW=
ZWi
Wi
Wi
W2
9
Wn
Wn
W2
nW
即：
（A—nl）W=O
我的理解：
通过A（变换A与W中的元素有关）变换将一致W矩阵变成权向量
W（特征向量）,如果正互反矩阵W’接近一致矩阵，同样的道理变换A可以将W'变成权向量
（这里的权向量与W’肖有不同）
启发与思考:
既然一致矩阵有以上性质，即
’Win个元素VVWW,…VV构成的向量W=W
VWny
是一致矩阵A的特征向量,则可以把向量W归一化后的向量■，看成是诸元素VVWvV,…W目标的权向量，因此，可以用求A的特征根和特征向量的办法,求出元素VVVyW,…W相对于目标O的劝向量。
解释:
致矩阵即:
n件物体Mi,M2/,Mn，它们重量分别为W,W2,…，Wn,将他们两两比较
WnJ
rA的特征根为n，
W1A
W=…；XWi=1，就表示诸因素G,C,…，C对上层因素O的权重，即为
权向量，此种用特征向量求权向量的方法称特征根法，
分析：
Wi、
W2
若重量向量W=：
未知时，则可由决策者对物体Mi，M2，…，Mn之间两两相比关系,
主观作出比值的判断，或用DeIPhi（调查法）来确定这些比值，使A矩阵（不一定有一致性）为已知的,并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵A,并且此A（不一致）在不一致
的容许范围内，再依据：
A的特征根或和特征向量W连续地依赖于矩阵的元素aj，即当aj离一致性的要求不太远时，A的特征根i和特征值（向量）W与一致矩阵A的特征根，和特征向量W也相差不大的道理:
由特征向量W求权向量W的方法即为特征向量法,并由此引出一致性检查的方法。
问题：
Remark
以上讨论的用求特征根来求权向量W的方法和思路，在理论上应解决以下问题：
1。
一致阵的性质1是说：
一致阵的最大特征根为n（即必要条件），但用特征根来求特征向量
时,应回答充分条件:
即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？
且如果正互
反矩阵A的最大特征根∙max=n时,A是否为一致阵?
2∙用主观判断矩阵A的特征根「和特征向量W连续逼近一致阵A的特征根■和特征向量W
是否在理论上有依据。
3•一般情况下，主观判断矩阵A在逼近于一致阵A的过程中，用与A接近的A＊来代替A,
即有A＊A，这种近似的替代一致性矩阵A的作法，就导致了产生的偏差估计问题，即一致
性检验冋题,即要确定一种一致性检验判断指标，由此指标来确定在什么样的允许范围内，主观判断矩阵是可以接受的，否则，要两两比较构造主观判断矩阵.此问题即一致性检
验问题的内容。
以上三个问题：
前两个问题由数学严格比较可获得（见教材P325，定理1、定理2）。
第
3个问题:
Satty给出一致性指标（TH1,TH2介绍如下：
）
附：
Thl：
（教材P326,PerronTh比隆1970）对于正矩阵A（A的所有元素为正数）
（1）A的最大特征根是正单根■；
（2），对应正特征向量W（W的所有分量为正数）
Ae
⑶^TATw
1
其中：
e=…为半径向量，W是对应X的归一化特征向量
证明：
（3）可以通过将A化为标准形证明
Th2：
n阶正互反阵A的最大特征根’—n；
当罠=n时，A是一致阵
五、一致性检验一一一致性指标:
当人们对复杂事件的各因素，采用两两比较时，所得到的主观判断矩阵A,一般不可直接
保证正互反矩阵A就是一致正互反矩阵A,因而存在误差（及误差估计问题）。
这种误差，必
然导致特征值和特征向量之间的误差V-）及W—WL此时就导致问题AW=■maxW与问
题AW=nW之间的差别.（上述问题中∙max是主观判断矩阵A的特征值,W是带有偏差的相对权向量）.这是由判断矩阵不一致性所引起的.
因此，为了避免误差太大，就要衡量主观判断矩阵A的一致性。
因为：
1当主观判断矩阵A为一致阵A时就有：
nnnn
二.。
;,＊=二g=Xakk='1=nA为一致阵时有：
aii=1（a［ii]为对角线
k1n吕k=1k1
上的值,按照一致性矩阵的理解，它应该为1）
此时存在唯一的非■=■maxn
（由一致阵性质1:
Rark（4）=1,A有唯一非O最大特征根且,max=n）
ITlaXZ
（1）当’max=n时，有：
CI-0,A为完全一致性
（2）C」值越大，主观判断矩阵A的完全一致性越差，即：
A偏离A越远（用特征向量
作为权向量引起的误差越大）
（3）-般C\<01，认为主观判断矩阵A的一致性可以接受，否则应重新进行两两比
较,构造主观判断矩阵。
2。
随机一致性检验指标-—RI
问题：
实际操作时发现:
主观判断矩阵A的维数越大，判断的一致性越差，故应放宽对高维矩
阵的一致性要求.于是引入修正值RI来校正一致性检验指标:
即定义RI的修正值表
为：
A的维数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
RI
0.00
0。
00
0。
58
0.96
1.12
1.24
1.32
1。
41
1.45
CI
并定义新的一致性检验指标为:
CR=C—L
RI
随机一致性检验指标一一RI的解释:
为确定A的不一致程度的容许范围，需要确定衡量A的一致性指示CI的标准。
于是Satty
又引入所谓随机一致性指标RI，其定义和计算过程为：
1对固定的n,随机构造正互反阵A,其元素aj（i：
：
：
j）从1〜9和1〜19中随机取值，且满足aj与a;的互反性，即：
aj=％・,且a∏=1。
2然后再计算A•的一致性指标CI,因此A是非常不一致的，此时，CI值相当大。
3如此构造相当多的A,再用它们的CI平均值作为随机一致性指标。
4Satty对于不同的n（n=1〜11）,用100〜500个样本A计算出上表所列出的随机一致性
指标RI作为修正值表。
3。
一致性检验指标的定义一一一致性比率CR。
由随机性检验指标CR可知：
当n=1，2时，RI=0，这是因为1，2阶正互反阵总是一致阵。
对于n一3的成对比较阵A,将它的一致性指标CI与同阶（指n相同）的随机一致性指标RI之比称为一致性比率-—简称一致性指标，
即有:
一致性检验指标的定义一一一致性比率
定义：
CR=CI:
CR=CI
RIRI
CJ一
当：
CR01时，认为主观判断矩阵A的不一致程度在容许范围之内，
RI
可用其特征向量作为权向量。
否则,对主观判断矩阵A重新进行成对比较，构重新的主观
判断矩阵A。
CI
注：
上式CR01的选取是带有一定主观信度的.
RI
六、标度——比较尺度解：
Ci和Cj对于上层因素O
在构造正互反矩阵时，当比较两个可能是有不同性质的因素
提出:
人们区分信息等级的极限解能力为7戈。
可见对nn阶矩阵，只需作出凹I）个
2
判断值即可
标度aij
定义
1
因素i与因素j相冋重要
3
因素i比因素j稍重要
5
因素i比因素j较重要
7
因素i比因素j非常重要
9
因素i比因素j绝对重要
2,4,6,8,
因素i与因素j的重要性的比较值介于上述两
个相邻等级之间
倒数1,一，一，一,一，一，一,一
因素j与因素i比较得到判断值为aii的互反
2'3'456,T89
ij
1
数，aji=——aii=1
aij
注：
以上比较的标度Satty曾用过多种标度比较层，得到的结论认为：
1〜9尺度不仅在较简单
的尺度中最好，而且比较的结果并不劣于较为复杂的尺度.Satty曾用的比较尺度为：
11〜3,1〜5,1〜6,,，1〜11,以及
②（d0。
1）〜（d0.9），其中d=1，2,3，4
③1p〜9p,其中P=2,3，4，5∙∙∙
等共27种比较尺度，对放在不同距离处的光源亮度进行比较判断，并构造出成对比较矩阵，计算出权向量。
同时把计算出来的这些权向量与按照物理学中光强度定律和其他物理知识得到的实际权向量进行对比。
结果也发现1〜9的比较标度不仅简单,而效果也较好（至少不比其他更
复杂的尺度差）
因而用1〜9的标度来构造成对比较矩阵的元素较合适。
七、组合权向量的计算一一层次总排序的权向
量的计算
层次分析法的基本思想：
（1）计算出下一层每个元素对上一层每个元素的权向量W
def：
层次总排序,计算同一层次所有元素对最高层相对重要性的排序权值。
当然要先：
①构造下一层每个元素对上一次每个元素的成对比较矩阵
2计算出成对比较矩阵的特征向量（和法，根法，幕法）
3由特征向量求出最大特征根∙max（由和法，根法，幕法求得）
④用最大特征根∙max用方式
C∖='ma厂n及C^^R对成对比较矩
n—1RI
阵进行一致性检，并通过.
（2）并把下层每个元素对上层每个元素的权向量按列排成以下表格形式:
例,假定：
上
层A有m个元素，Al）A？
，…,Am,且其层次总排序权向量为a「a？
…,am，下层B有n个元素BdB？
…，Bn,则按Bj对A个元素的单排序权向量的列向
量为bj,即有：
层次
A1A1，A1m
B层总是排序权重（权向量、列向量）
ai
θ2
am
m
Bi
b11
b12
…b1m
W=Σajbij
j/
m
B2
1
b12
≡
b22
1
…b2m
≡≡
W2=迟ajb2j
⅛
Bn
bn1
bn2
…bnm
m
Wn^Lajbnj
j=
’—max
计算出最大特根（方法：
和法、根法、幕法）
CI
一致性检验
C
I人max一n
I—
n-1
一致性检验比率
m
/
CI
CR=3
RI
Σ
j
ajCI3/
/ΣajRIj
检验CRVOi否？
/j=
注：
①若下层元素Bk与上层元素Aj无关系时，取bq=O
m
②总排序权向量各分量的计算公式：
W=Vajbij（i=1,…,n）
j^
（3）对层次总排序进行一致性检验:
从高层到低层逐层进行，如果
如果B层次某些元素对Aj单的排序的一致性指标为Clj，相应的平均随机一致性指标为
m
二ajCIj
RIj，则B层总排序随机一致性比率为：
C^m—
ΣajRIj
jm
当CR:
：
：
01时，认为层次总排序里有满意的一致性，否则应重新调整判断矩阵的元素取值。
八、层次分析法的基本步骤:
（S1）建立层次结构模型
将有关因素按照属性自上而下地分解成若干层次:
同一层各因素从属于上一层因素，或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受
到下层因素的影响。
最上层为目标层（一般只有一个因素），最下层为方案层或对象层/决策层，中间可以有
1个或几个层次，通常为准则层或指标层.
当准则层元素过多（例如多于9个）时，应进一步分解出子准则层.
（52）构造成对比较矩阵，以层次结构模型的第2层开始，对于从属于（或影响及）上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1〜9比较尺度构造成对比较矩阵，直到最下层.
（53）计算（每个成对比较矩阵的）权向量并作一致性检验
1对每一个成对比较矩阵计算最大特征根∙max及对应的特征向量（和法、根法、幕法等）
/W1A
W=≡
FClr
2利用一致性指标CI,随机一致性指标CR和一致性比率作一致性检验CR=C-I—I
广W1'
3若通过检验（即CR<0。
1,或CJ〈0.1）则将上层出权向量W=F归一化之后
g
作为（Bj到Aj）的权向量（即单排序权向量）
4若CR。
0.1不成立，则需重新构造成对比较矩阵
（S4）计算组合权向量并作组合一致性检验一一即层次总排序
W1、
*
①利用单层权向量的权值Wj='j=1，…,m构组合权向量表:
并计算出特征根，组
合特征向量，一致性
\上单\层
下层
层次
重
\量
量\
Ai
Ai,
Am
1
计算组合权向量
m
其中Wi=Σa
y
W=
Wjvvij
’W1、
IWnj
a
a2，
am
Bi
W1
W2…
Wlm
m
WZl=送ajb1j
□
B2
W2
W22…
W2m
m
^V2=送ajb2j
F
a
SS
S
j=1
≡
Bn
Wni
Wn2…
Wnm
m
Wn=Σajbnj
jT
最大特征根
）（i）’-max
和法、根法、幕法
-（j）
max—n
一致性检验
Cl
CI—
ClCo∙1？
CIj—
n—1
一致性随机检验RI
RIj对照表
m
ΣajCIj/
/
CRCoi？
CI
一致性比率
CR
CR=——
=j/m
RI
A
ajR∣2j
j=
W1λ
②若通过一致性检验，则可按照组合权向量W=
…
的表示结果进行决策（W=
・
WnJ
WnJ
中Wi中最大者的最优），即:
W＊=maxW：
WiE（WI,…，Wn『｝
③若未能通过检验，则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率，CR较大的成对比较
矩阵
九、特征根的近似求法（实用算法）
层次分析法的基本思路是计算上层每个元素对下一层次各元素的权向量（即最大特征根
_∙Wι、
⅛ax对应的特征向量W=■■“）,以及组合权向量及一致性检验问题.
Wnj
计算判断矩阵最大特征根和对应阵向量，并不需要追求较高的精确度,这是因为判断矩阵本身有相当的误差范围。
而且优先排序的数值也是定性概念的表达，故从应用性来考虑也希望使用较为简单的近似算法。
常用的有以下求特征根的近似求法：
“和法”、“根法”、“幕法”，具
体如下:
1。
“和法”求最大特征根和对应特征向量（近似解）
（归一化后）的平均值作为近似特征向
此方法：
实际上是将A的列向量归一化后取平均值作为
解释:
打当A为一致矩阵时，它的每一列向量都是特征向量
■可以在A的不一致性不严重时，取A的列向量量是合理的（有依据的）。
2。
“根法”求最大特征根特征向量近似值:
步骤与“和法”相同，只是在（S2）时：
对归一化后的列向量按行“求和”改为按行“求
1
〜『n〜讦
积”再取n次方根，即:
Wi=IIWij。
j丿
即有具体步骤：
ιn
∏Wij
NJ
n
工∏Wij
i生
得到特征向量近似值：
W=
伽
W2
3.“幕法”求最大特征根:
（S1）任取n维归一化初始向量W（O）
（S2）计算v〜（kI）=AW（k）,k=0,1,2,
量；否则返回（S2）
（S1）将矩阵A=（aj）min的每一列向量归一化得：
以上用幕法求最大特征根∙max对应特征向量的迭代方法，其收敛性由TH1（教材P325）中
（证明：
可以将A化为标准形证明）保证。
W（O）任意选取，也可以取由“根法”、“和法”得
注：
在以上求特征根和特向量的方法中“和法”最简单。
1
丄
2
4
3
3
''1
0.5
4
3
3A
2
1
7
5
5
1
1
A
1
1
2
1
7
5
5
A=
4
7
1
2
3
=
0。
25
0。
143
1
0。
5
0.333
1
1
2
1
1
0。
333
0.2
2
1
1
3
1
5
1
©333
0。
2
3
1
1J
0312'
2.37
AWi）=0.273=W
0.493
2∙511J
WIA
利用“和法”求A的特征向量W=…和特征根：
max
叽
（S1）将A=Wjnxn的元素按列归一化得:
n
（S2）将AWjnxn中元素Wi
升级会员 