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平面三次Bzier曲线间的一种延拓方法

第34卷第6期2011年6月

合肥工业大学学报（

自然科学版

JOURNALOFHEFEIUNIVERSITYOFTECHNOLOGY

Vol.34No.6Jun.2011

收稿日期:

20100601

基金项目:

合肥工业大学大学生创新实验计划资助项目（2009CXSY183作者简介:

曹德才（1989-,男,安徽六安人,合肥工业大学硕士生;

郭清伟（1968-,男,安徽濉溪人,合肥工业大学副教授,硕士生导师.

Doi:

10.3969/j.issn.10035060.2011.06.037

平面三次Bzier曲线间的一种延拓方法

曹德才1,周全2,郭清伟1

（1.合肥工业大学数学学院,安徽合肥230009;2.合肥工业大学计算机与信息学院,安徽合肥230009

摘要:

文章在保持G1连续的条件下,将一条已知的平面三次Bzier曲线延拓到另一条与其不相邻接的三次Bzier曲线,其中的过渡曲线也为三次Bzier曲线,而且中间的过渡曲线形状可以由用户加以调整,进而对近似于曲线弧长、曲线能量、曲率变化率的几类目标函数分别极小化,以生成各种光顺的曲线;利用所给方法做了一些2条不相连接的平面三次Bzier曲线延拓的实例,并与已有结果进行比较,结果表明所提出的方法优于已有的方法。

关键词:

Bzier曲线;G1连续;控制顶点;过渡

中图分类号:

TP39172文献标识码:

A文章编号:

10035060（201106095704

AnextensionmethodforplanecubicBziercurves

CAODecai1,ZHOUQuan2,GUOQingwei1

（1.SchoolofMathematics,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China;2.SchoolofComputerandInformation,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,China

Abstract:

ThispaperpresentsamethodtoextendagivenplanecubicBziercurvetoanothernonadjacentcubicBziercurveunderG1continuousconditions.ThetransitioncurvesarealsocubicBziercurves.Theshapeofthetransitioncurvescanbeadjustedbytheuserandvariousfairingcurvesareconstructedbyminimizingtheobjectivefunctionsofapproximatearclength,energyandcurvaturevariationofthecurvesrespectively.SomeexamplesoftheextensionoftwononadjacentplanecubicBziercurvesaregivenandtheobtainedresultsarecomparedwiththeknownones.Itisprovedthatthepresentedmethodisbetterthantheknownones.

Keywords:

Bziercurve;G1continuity;controlvertex;transition

0引言

Bzier曲线/曲面、Bspline曲线/曲面、NURBS曲线/曲面在曲线/曲面造型中被广为应用,其中Bzier曲线/曲面和Bspline曲线/曲面是CGAD中最基本和最重要的造型工具,有着广泛的应用。

而在实际工程中,三次Bzier曲线/曲面和Bspline曲线/曲面应用最为广泛。

在CAD系统中,经常会遇到如下问题:

将2条不相连接的平面Bzier曲线拼接起来,其中间过渡曲线也是Bzier曲线,并且在连接点处要达到某种程度的光滑度。

文献[1]提出了对于Bspline曲线的一种延拓方法,其所延拓的曲线同原曲线在拼接点处达到了曲线的最大连续性,即对于三次Bspline曲线,在拼接点处可以达到

C2连续;文献[2]则采用了G2

连续为约束条件对三次Bzier曲线进行延拓;文献[3]利用几何方法给出了平面三次Bzier曲线的一种过渡方法,所构造的过渡曲线与原曲线在拼接点处达到G1

或G2

连续;文献[4]定义了带2个参数的多项式曲

线,分析了其几何意义并给出了曲线的几何作图法;文献[5]提出了一种带1个形状参数的二次Bzier曲线的扩展;文献[6]则将其推广成n次Bzier曲线的扩展。

本文利用文献[7]中的带2个形状参数的三次Bzier曲线的扩展曲线作为中间媒介,在保持G1连续的条件下,将2条不相邻接的平面三次Bzier曲线拼接起来。

根据2条平面三次Bzier曲线的相对位置的不同,其媒介曲线可以是1条,也可以为2条。

同时,本文给出了媒介曲线的具体生成方法,并与文献[3]中的方法进行比较。

1过渡曲线的构造

假设有2条平面三次Bzier曲线P（u和R（v,其控制顶点为Pi和Ri（i=0,1,2,3,如图

1所示。

令Bi,2=2

i

ti（1-t2-i,0t1（i=0,

1,2为二次Bernstein多项式[8]。

现引入带有形状参数、的调配函数[7]bi（t（i=0,1,2如下:

b0（t=B0,2（t（1-t=

-t3+（2+1t3-（+2t+1,

b1（t=B1,2（t1+（1-t

2

+

ut

2

=

（-t3+（-2-2t2+（+2t,

b2（t=B2,2（t[1-（1-t]=t3+（1-t2,其中,-2,1,则称曲线r（t=

P3b0+Qb1+R3b2是控制顶点为P3、Q、R3的带有形状参数、的三次Bzier曲线的扩展。

图12条不相邻接的平面三次Bzier曲线

11使用1段曲线进行拼接

如图1所示,此时P2P3与R2R3不平行,显然延长P2P3与R2R3必交于一点Q,以P3、Q、R3为控制顶点构造带有形状参数、的三次Bzier曲线的扩展曲线r（t=P3b0+Qb1+R3b2,由文献[7]可知,r（t与P（u和R（v相连,并且在拼接点处显然为G1连续。

为了确定形状参数、的值,引入曲线弧长、曲线能量[9]、曲线变化率的近似表达式为:

E1=10r（t2dt（1

E2=10r（t2dt（2

E3=10r（t2dt（3通过极小化目标函数（1~（3式确定自由变量、的值,由Ei/=0,Ei/=0（i=1,2,3分别得到:

（4P23-4P3Q+16Q2+10P3R3-20QR3+10R23+（4Q2-8P3Q-10QR3=

20P3Q+20QR3-10P3R3-5P23-20Q2,

（4Q2-8P3Q-10QR3+16Q2=10P3Q-20Q2

（4

2（P3-Q2+（P3-Q（Q-R3+（P3-Q2-（P3-Q（Q-R3=0,

（P3-Q（Q-R3+2（Q-R32+（Q-R32-（P3-Q（Q-R3=0

（5

（P3-Q2+（P3-Q（Q-R3=0,

（P3-Q（Q-R3+（Q-R32=0

（6

由（4式系数矩阵的行列式值为:

D1=

4P23-4P3Q+16Q2+10P3R3-20QR3+10R234Q2-8P3Q-10QR34Q2-8P3Q-10QR316Q2

=64[P23Q2-（P3Q2]+100[Q2R23-（QR32]+60Q2（2Q-R32>0,

可得:

=D2/D1,=D3/D1（7

其中:

D2=20P3Q+20QR3-10P3R3-5P23-20Q24Q2-8P3Q-10QR310P3Q-20Q216Q2

D3=4P23-4P3Q+16Q2+10P3R3-20QR3+10R2320P3Q+20QR3-10P3R3-5P23-20Q24Q2-8P3Q-10QR310P3Q-20Q2

。

因为（5式、（6式系数矩阵显然是满秩的,直接得:

958合肥工业大学学报（自然科学版第34卷

=2（P3-Q2

（Q-R32

-3（Q-R32

（P3-

Q（Q-R3+[（P3-Q（Q-

R3

]2

4（P3-Q2（Q-R32-[（P3-Q（Q-R3]2,

=

2（P3-Q2

（Q-R32

-3（P3-Q2

（P3-Q（Q-R3+[（P3-Q（Q-R3]2

4（P3-Q2（Q-R32-[（P3-Q（Q-R3]2

（8

=0,=0

（9

根据以上结果,易画出满足曲线能量、曲线变化率最小的三次Bzier曲线的扩展,如图2所示。

图2

本文方法所得过渡曲线

如果用文献[3]所给的方法,对应同样情况的过渡曲线如图3所示。

图3对应图2的文献[3]中方法所得过渡曲线

显然,本文所提供的计算方法要比文献[3]中的方法简单一些。

12使用2段Bzier曲线进行拼接

如图4所示,此时P2P3与R2R3平行,分别延长P2P3和R2R3至Q1和Q2,连接Q1和Q2,在Q1Q2上任意取一点Q。

则由P3、Q1、Q为控制顶点的带有形状参数的三次Bzier曲线的扩展曲线和由Q、Q2、R3为控制顶点的带有形状参数的三次Bzier曲线的扩展曲线将曲线P（u和R（v拼接起来,且在连接点处P3、Q、R3为G1

连续。

其形状参数的确定方法与11中相仿,结果如图

5所示。

在此种情形下,不能用文献[3]中计算方法来生成拼接曲线,而用本文所提供的方法较简单。

图4不相邻接的平面三次Bzier曲线

959

第6期

曹德才,等:

平面三次Bzier曲线间的一种延拓方法

图5本文方法所得的2条过渡曲线

2结束语

在保持G1连续的条件下,将2条不相邻接的三次Bzier曲线连接起来,其中间媒介也为Bzier曲线。

根据2条三次Bzier曲线的相对位置,其媒介Bzier曲线可以是1条,也可以为2条。

同时,本文给出拼接Bzier曲线的具体生成方法,并与文献[3]中的方法作了比较。

本文直接用文献[7]中的曲线作为过渡曲线的方法比文献[3]用几何方法生成过渡曲线的方法要简单,且可以处理文献[3]不能处理的情况。

但本文没有给出平行情况时,应如何取线段延长的长度和Q,才能使过渡曲线令人满意。

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（责任编辑张秋娟

（上接第847页

法,增加6个方向模板,提高了边缘定位精度,并且对于边缘检测后的钢管表面裂纹进行阈值分割和形态学膨胀,提取裂纹边缘并且进行连接。

实验表明,该算法能够有效地对钢管表面裂纹进行提取,对于实际工程中的裂纹检测与量化具有重要意义。

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960合肥工业大学学报（自然科学版第34卷