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土体性质空间变化对斜坡稳定性的影响
土体性质空间变化对斜坡稳定性的影响
发表日期：
2008年1月10日
[韩国]SungEunCho
边坡稳定性分析是存在很多不确定因素的岩土工程问题，一些不确定因素与土体性质变化有关。
在本文中，提出了基于蒙特卡罗模拟（考虑土体性质的空间变化）的数值方法，该方法采用一阶可靠度分析方法来确定临界滑动面，并进行初步敏感性分析。
通过Spencer的极限平衡方法，计算可靠性指标来表示功能函数，例如，采用概率稳定性评价方法来研究由于土体性质变化对层状斜坡稳定性造成的不确定性，通过该实例，说明了如何应用不确定性来分析边坡稳定性问题，同时也说明土体特性的空间变化对于概率评价结果的重要性。
一、概 述
由于沉积和后期沉积过程的差异，即使是在同一土层，土体的性质也可能会有很大差异（Lacasse和Nadim，1996）。
在大多数岩土分析工作中，都采用基于某一土体参数的确定性方法，来对不同的土层进行分析。
在分析地面不均匀性时，通常都是采用基于安全系数、经验和判断的传统手段（Ekateb等，2002）。
然而，现在已经认识到安全系数并不是一个可靠的风险指标，这是由于即使安全系数相同的斜坡，也会表现出不同的风险水平，这与斜坡性质有关（Li和Lumb，1987）。
因此，近年来开展了许多研究工作，开发出了概率边坡稳定性分析方法，应用于土体性质不确定的情况（Alonso，1976；Vanmarcke，1977b；Li和Lumb，1987；Christian等，1994；Griffiths和Fenton，2004）。
对这些研究的系统总结可以参见文献（Mostyn和Li，1993；El-Ramly等，2002；Baecher和Christian，2003）。
概率边坡稳定性分析方法并没有考虑到边坡的所有组成部分，而在分析过程中需要考虑这些因素，另外这一方法也没有指出需要达到的可靠程度（D'Andrea，2001）。
而这一方法的优点在于系统的可靠性，可以视作一种合乎逻辑的方式。
因此，概率模型可以促进关于风险和可靠性分析的发展，这与常规的确定性模型有所不同。
在这项研究工作中，提出了概率边坡稳定性分析方法，该方法是基于蒙特卡罗模拟来计算安全因素的概率分布。
在分析过程中，在根据当地平均值将连续随机场进行离散的基础上，考虑了土壤特性空间变异。
这一方法的一个重要组成部分是确定临界破坏面。
该方法提出采用一阶可靠度分析方法（FORM）来确定临界破坏面，并进行初步的敏感性分析。
后者主要是用来确定对稳定性具有重要贡献的输入参数，通过基于Spencer（1967）提出的稳定性模型，来表示功能函数，计算Hasofer和Lind（1974）定义的可靠性指数。
该指数给出了一个固定的风险量，这样所有相同格式的功能函数会产生相同的可靠性指标（Li和Lumb，1987）。
Low和Tang（1997）及Low等（1998）在将任意变量进行椭球透视的基础上，采用了电子数据表格式的可靠性评价方法，计算了Hasofer–Lind可靠度指标。
该研究主要集中分析了固有的土体变异性，概率分析可以用来评价这种类型的变异性对斜坡稳定性的影响，强调了土体理化特性的空间相关结构的重要性，并研究了其对边坡稳定性的影响。
二、斜坡稳定性分析
（一）极限平衡分析法
通常都是采用极限平衡条分法，来分析边坡稳定问题。
将破坏土体分成若干垂直块体，计算出安全系数，定义单元的抗剪强度和剪应力之比为单元的安全系数，以保持静力平衡。
然而，所有的条分法都具有统计学上的不确定性，因此，需要采用一些假设来解决这个问题。
斯宾塞（1967）在同时满足物质受力和运移平衡的条分法基础上，开发了边坡稳定性分析方法。
本文提出的办法采用了斯宾塞的方法，适用于任意形状的失稳面。
（二）确定临界面
极限平衡法需要确定临界破坏面，这是分析过程的一部分。
确定临界面的问题，可以表示为一个约束优化问题，并通过一系列直线（其顶点被视为形变量）生成非圆形滑动面。
（1）
受一些运动学约束，其中F（x）是目标函数，x是确定滑动面位置的形变矢量。
在找出临界面这个问题上，目标函数定义为相关变量（表示滑动面的几何形状和土体参数的平均值）的安全要素。
在以前的工作中，已经采用了多种优化技术来寻找临界面。
近年来，一些全局优化方法也被应用到边坡稳定性分析工作中来（Bolton等，2003；Cheng，2003；Zolfaghari等，2005）。
采用一种经过改进的研究方法来确定非圆形滑动面，这一方法由Li和White（1987年）以及Greco（1996年）提出的。
这一方法最初是寻找圆形临界面，这是因为在初步猜测过程中，会用到大量的变量，通常导致结果较差。
寻找圆形临界面过程中，在连接相邻顶点的直线中点，继续引入新的顶点，这些点在二维空间中移动，会受到一些运动学约束，从而使滑动面较为光滑。
把前一步确定的临界滑动面，作为下一步的试验滑动面，开始新的寻找过程。
Kim和Lee（1997）对这一方法进行了详细介绍。
三、边坡稳定性概率分析
边坡稳定性问题，可视为一种具有许多潜在滑动表面的系统。
然而，不可能准确确定边坡稳定性问题的系统可靠性，因此，通过采用最可能的临界滑动面概率作为估计该系统的失稳概率。
这一方法假定沿不同滑动面发生的边坡失稳概率具有高度相关性（Mostyn和Li，1993；Chowdhury和Xu，1995）。
通常采用概率分析方法确定临界面，然后计算相应于该临界面的边坡失稳概率。
然而，安全系数最低的表面不一定就是失稳概率最大的表面（Hassan和Wolff，1999）。
作为一种替代办法，考虑采用与最大失稳概率或最小可靠度相关的临界面（Li和Lumb，1987；Chowdhury和Xu，1995；Liang等，1999；Bhattacharya等，2003）。
寻找这一临界面与前一临界面在概率上没有什么不同，确定这一临界面，可以通过与土体力学参数相关的可靠性指标β为最小化来实现。
关于确定与最大失稳概率相关的确定临界面问题，已经有过许多讨论（Hassan和Wolff，1999；Li和Cheung，2001；Bhattacharya等，2003）。
（一）功能函数
概率分析问题用一个矢量来表示，X=[X1,X2,X3,…,Xn]（表示一些任意变量）。
根据不确定变量，采用功能函数g（X）来表示在空间X中的极限状态。
在基本变量的n维空间，g（X）=0是超过和没有超过安全要素区域的边界，之后通过以下积分给出边坡的失稳概率：
（2）
式中，fX（X）是联合概率密度函数，在整个失稳场内进行积分。
对于边坡稳定性问题，几乎不可能对n重积分进行直接评价。
困难之处在于，没有完整的土体性质概率信息，积分场是一个极为复杂的函数。
因此，开发了近似方法，对这一积分进行评价。
边坡稳定性的功能函数通常定义为：
g（X）=Fs-10 （3）
Spencer所提出的稳定性分析方法用来表示上述功能函数，采用Fs来计算失稳面。
（二）一阶可靠度分析方法
通过将不确定性变量X变换为不相关的标准正态分布变量Y，可以对式
（2）的一阶可靠度进行评价。
式
（2）中概率积分的主要贡献来自于靠近原点的部分失稳区域（G（Y）≤0，G（Y）是变换正态空间中的功能函数）。
设计点定义为位于功能函数（G（Y）=0）中标准正态空间的点Y*，具有最大概率密度。
因此，设计点（这是距失稳区（G（Y）≤0）原点的最近点），是接近极限状态表面的一个最佳点。
设计点的概率近似为：
（4）
式中β是可靠性指标，由从原点到设计点的距离确定，φ是标准正态累积密度函数。
在一阶可靠度分析方法中，切线超平面符合设计点的极限状态曲面，因此，对于这一方法，最重要而且也是必要的一步是寻找设计点。
设计点可以解决以下非线性约束优化问题：
（5）
已经有几种方法来解决这一问题（Hasofer和Lind，1974；Rackwitz和Fiessler，1978；Liu和DerKiureghian，1990）。
根据一阶可靠度分析方法，可以评价可靠性指标对基本随机变量的敏感度，其后可以确定对边坡失稳概率影响最大的随机变量。
单位向量α，极限状态曲面设计点的法线，是描述可靠性指标敏感性的最基本敏感度研究方法。
已经有几种方法来解决这一问题（Hasofer和Lind，1974；Rackwitz和Fiessler，1978；Liu和DerKiureghian，1990）。
根据一阶可靠度分析方法，可以评价可靠性指标对基本随机变量的敏感度，其后可以确定对边坡失稳概率影响最大的随机变量。
单位向量α，极限状态曲面设计点的法线，是描述可靠性指标敏感性的最基本敏感度研究方法。
（6）
对于一阶可靠度分析方法，采用了由Haukaas和DerKiuregian开发的FERUM算法（有限元可靠度分析算法，http:
//www.ce.berkeley.edu/FERUM），通过由FORTRAN语言编写的斜坡稳定性分析进行直接耦合来实现。
（三）蒙特卡罗模拟
另一种可选择的确定式
（2）中多重积分的方法是采用利用蒙特卡罗模拟。
在蒙特卡罗模拟时，以一种与概率分布相一致的方式生成随机变量的离散值，并计算每一个生成集的功能函数，多次重复这一过程，得到功能函数的近似离散概率密度函数。
目前已经开发了几种抽样技术，也称为方差减少技术，通过减少蒙特卡罗方法的固有统计学误差，保持样本最小，以提高方法的计算效率，Baecher和Christian（2003）对此进行过详细总结。
其中拉丁方抽样（LatinHyperCubesampling）可以视为分层抽样方法，这样只需较少的模拟来获得同样的精度。
当模型较为复杂时，一般推荐采用拉丁方抽样方法进行简单的随机抽样。
在本研究工作中，采用拉丁方抽样技术来生成随机的土体性质。
四、离散的随机场
土体性质具有高度的可变性，自然界很少存在均质土体。
土体异质性的一个主要原因是土体的固有空间变异性，即由于不同的沉积条件和不同的填埋历史，从空间的一点到另一点，土体的性质存在差异（Elkateb等，2002）。
土体性质的空间变异性，可以通过随机场中相关的组成进行有效地描述（Vanmarcke，1983）。
大部分数值求解算法要求对所有的连续参数场进行离散。
在将空间不确定性的影响直接列入分析过程中时，利用随机场来代表变化性是合理的。
参数的空间波动并不能说明参数是否只能由一个单一的随机变量来模拟。
中点法是最简单的离散化方法，已被用来处理土体性质的空间变化（Auvinet和González，2000；Low，2003）。
在此方法中，通过单一的随机变量来表示参数场的某一段，它代表了这一段质心的场值。
因此，离散场是一个渐近的常量，在这些段的界限存在不连续性。
边坡的稳定性通常受平均土体强度而非沿滑动面特定点的土体强度的控制，这是由于土体一般表现为塑性（Li和Lumb，1987）。
在一些区域中，土体强度的空间变异性一般小于采用中点法确定的某些点的变异性。
在区域范围内，土体性质均质性增加，变异性减小（El-Ramly，2002）。
在一些文献中已经提到了土体性质的空间平均值和对于边坡稳定性的空间自相关性（Vanmarcke，1977；Li和Lumb，1987；El-Ramly等，2002）。
对于局部平均法，采用场的空间平均值进行表示，离散场仍是恒定不变的，但是由于是一个取平均值过程，这样可更好地拟合。
在本研究工作中，采用了将局部平均法与数值积分相结合的方法，将各向同性和各向异性的土体性质随机场在二维空间内进行离散。
（一）方差函数
根据连续的双参数稳定随机场U（x,y），可以表示参数之间的线性关系。
（7）
式中，L表示平均长度；平均过程不会改变U的平均值，移动平均过程的方差
可以表示为：
（8）
式中，
是随机场U的点方差，
是介于0和1之间的方差函数，也就是说，平均土体性质的方差小于随机点的方差（Li和Lumb，1987）。
方差函数与相关函数之间的关系可以表示如下：
（9）
Vanmarcke（1977）注意到当L值较大时，
与L成反比，而且在波动范围内涉及到比例常数δ：
（10）
这是一种表示空间范围内土体性质具有高度相关性的方法，δ值较大，说明土体性质在较大的空间范围内有高度相关性，在土壤剖面上变化平稳；而δ值较小，说明土体性质的波动较大（Li和Lumb，1987）。
在本研究工作中，用到了两种常用的相关性函数（表1）。
表1两个自相关函数的空间方差函数
自相关函数
类型
自相关函数
方差函数
各向同性指数
各向异性指数
δlnX（x）是波动的水平比例，δlnX（y）是波动的垂直比例
（二）局部平均值的相关性
在概率统计分析时，采用相关函数来表示土体性质的空间变化。
通过对任意段Li和Lj的随机场取平均值，可以确定局部平均值，见图1。
通过对两段所有点的随机变量相关性取平均值，可以计算这些变量之间的相关性。
图1在水平方向倾斜长度为L的直线段
（11）
由于很难得到式（11）的分析结果，因此，必须通过数值的方式来进行积分（Knabe等，1998；Rackwitz，2000）。
在这项研究工作中，采用了由Knabe（1998）提出的数值积分方法来计算相关性。
对于已知坐标终点的两个段，直线向水平方向倾斜的角度α'和β'可以表示如下：
（12）
式中，xp和yp是该段起点的坐标，xk和yk是该段终点的坐标。
两个任意点之间的距离z（其中一点在i段，另一点在j段）可以表示为：
（13）
式（11）则可以表示为：
（14）
五、实例分析
在本节中，通过实例来说明如何采用这一方法来分析问题，评价土体参数的空间变化对失稳概率的影响。
假定所有变量都可以用统计学上对数正态分布平均值μX和标准偏差σX来表示，对数正态分布介于零与无限大，适合于分析非负值的参数。
通过无量纲的变异系数（COV）来表示均值和标准偏差，即VX=σX/μX，则可以通过下式给出对数正态分布的平均值和标准偏差：
（15）
（16）
如果内聚力和摩擦角呈负相关，所有的随机变量都可以视为独立变量，这一假定可以简化概念模型，同时也可以得到较为保守的结果（Li和Lumb，1987）。
基本的正态对数场的统计学分析，包括局部平均值，可以表示为（Griffiths和Fenton，2004）：
（17）
（18）
式中，μlnXA和σlnXA分别是lnX的局部平均值和局部平均标准偏差。
在目前的研究工作中，波动范围δlnx视为对数正态分布随机场的空间离散化程度。
虽然对于每一个随机变量，都可以采用不同的波动范围，但在本研究工作中，假定这些范围相同。
失稳面上的局部平均值μXA和标准偏差σXA可以表示为：
（19）
（20）
空间分布随机场的离散化，可以通过将边坡分为几个段来进行离散来实现，并指定一些相关的随机变量，每个随机变量都表示特定段的随机场。
（一）实例1：
在双层斜坡中的应用
在该实例中，采用一系列参数对一个双层斜坡进行研究（见图2）。
与边坡稳定性相关的基本土体参数，包括容重、摩擦角和内聚力等，被视为随机变量。
表2对土体参数的统计学性质进行了总结。
根据土体性质的平均值，与临界面相关的最小安全系数是1.592，临界面通过下部土层（图2）。
根据寻找FORM来确定的临界概率面，通过上部土层，此处的抗剪强度变化较大，由于该表面与最大失稳概率相关，两种方法寻找到的概率曲面几乎位于同一位置。
表3列出了根据FORM得出的结果，即敏感性、可靠性指标和失稳概率。
敏感性表示每个随机变量不确定性的相对重要性。
表2实例1：
土壤参数的统计学性质（根据Hassan和Wolff,1999）
μX
COV
第1种情况
第2种情况
γ1
18
0.05
0.05
c1
38.31
0.2
0.4
φ1
0.0
–
–
γ2
18
0.05
0.05
c2
23.94
0.2
0.2
φ2
12
0.1
0.1
图2实例1：
横截面和寻找到的临界面
表3实例1：
FORM的结果
敏感性
可靠性指标β
失稳概率Pf
αγ1
αc1
αγ2
αc2
αφ2
第1种情况
0.2439
−0.9698
0.0002
−0.0011
0.0050
2.604
4.61e−3
第2种情况
0.1522
−0.9883
0.0005
−0.0023
0.0033
1.227
1.10e−1
表4实例1：
假定空间相关性理想情况下的蒙特卡罗模拟结果
临界概率表面
临界确定性表面
第1种情况
第2种情况
第1种情况
第2种情况
μFS
1.7364
1.7350
1.5954
1.5948
σFS
0.3582
0.7001
0.1917
0.3152
Pf
4.64e−3
1.10e−1
2.00e−5
3.17e−3
偏斜
0.627
1.277
0.448
1.089
对于以前确定的界面，在假定空间相关性理想的情况下，表4给出了根据蒙特卡罗模拟计算的结果。
尽管临界确定性表面的平均安全因子较低，但是在临界概率表面的失稳概率较高。
图3和图4表示了相关临界概率表面的结果，与根据FORM获得的结果比较吻合。
图3（a）和4（a）表示了模拟结果收敛，以防出现小的失稳概率，进行了多次试验。
在下一步工作中，对于第2种情况的临界概率界面，在进行蒙特卡罗模拟时考虑到了土体参数的空间变异。
临界概率界面的长度为28.5m，表面被分为几段，根据式（9）计算每一段的方差函数，根据式（14）计算段间的相关系数。
在统计学资料的基础上，采用抽样数据集进行蒙特卡罗模拟。
图5是一个各向同性随机场中变异的波动范围内安全因子的概率分布情况，根据该图，说明随着δlnX增加，安全因子分布在较为宽泛的范围，这是由于土体性质的空间变异对安全因子的平均值影响不大，但是对安全因子的标准偏差影响较大。
图6表示了对于固定的δlnX（=10m）的垂直变化波动范围内，安全因子的概率分布情况，此时考虑到了各向异性自相关函数，与各向同性随机场的结果相似。
当δlnX（x）/δlnX（y）为1.0时，几乎与各向同性情况的曲线相同。
图3实例1：
蒙特卡罗模拟结果（第1种情况）
图4实例1：
蒙特卡罗模拟结果（第2种情况）
图5实例1：
安全因子随δlnX的概率分布 图6实例1：
安全因子随δlnX（x）/δlnX（y）的概率分布
各向同性和各向异性随机场波动范围对失稳概率的影响分别见图7和图8。
如图所示，随着波动范围减小，失稳概率减小，这是由于较小的波动范围对沿失稳面的平均强度值造成的不确定性较小，相关性较差说明沿滑动面的土体性质波动较大。
因此，由于波动平均值相当于沿整个失稳面的平均值，安全因子小于1.0的试验的失稳概率减小，相应地，随着波动范围增加，失稳概率也会增加。
波动范围较大说明随机变量的相关性较好，这样如果波动范围无限大，会表示一个相关性极好的随机场或任一个随机变量，可以给出最大的失稳概率。
图7波动范围对失稳概率的影响 图8波动范围对失稳概率的影响
（各向同性随机场） （各向异性随机场）
（二）实例2：
在SugarCreek筑堤土坡中的应用
该实例主要分析了White等（2005）报导的SugarCreek筑堤土坡稳定性。
在现场进行了土工调查和描述，以确定地下土层和土壤的剪切应力，土壤剖面和水位见图9。
地下土层基本上可以分为冲积层和下伏页岩，根据风化程度将页岩分为3层：
高度风化层、中度风化层和轻度风化层，所有的页岩都根据USCS划分为低塑性粘土（CL）或高塑性粘土（CH）。
图9SugarCreek筑堤的横截面和寻找到的临界滑动面
根据钻孔剪切试验（现场在未扰动土层中确定剪切应力）获得的剪切应力参数值，用于边坡稳定性分析。
在分析过程中没有考虑孔隙水压力的不确定性，将水压坡降线作为确定值，这是由于在White等（2005）给出的敏感性分析结果表明，在河水水位变化范围内，安全因子的变化对于斜坡稳定性影响不大。
土体参数性质的统计见表5，与临界确定性表面相关的安全因子为1.615。
图9表示了寻找到的临界面，位置有一点不同，但是穿过了相对脆弱的高风化页岩层。
表6是FORM的分析结果。
尽管内聚力变化很大，但是中等风化页岩和轻度风化页岩对于边坡稳定性影响不大，这是由于这些土层比其上覆的土层剪切应力要大，表6中的敏感性分析结果也支持这一结论。
表5实例2：
SugarCreek筑堤的土体参数性质的统计
土体
φ
c
γ
μ
COV
μ
COV
μ
COV
压实填土
12.0
0.2
29
0.22
20.4
0.08
冲积物
16.5
0.21
33.0
0.62
19.0
0.11
高度风化页岩
12.8
0.38
33.2
0.60
20.0
0.1
中度风化页岩
21.6
0.44
97
1.38
20.0
0.1
轻度风化页岩
23.3
0.48
675
1.86
21.0
0.10
表6实例2：
SugarCreek筑堤的FORM结果
敏感性
β
Pf
αγ
αc
αϕ
0.0002
−0.2309
−0.0940
冲积物
−0.1629
−0.3726
−0.2986
高度风化页岩
−0.0788
−0.5787
−0.5850
2.053
2.01e−2
中度风化页岩
0.0
0.0
0.0
轻度风化页岩
0.0
0.0
0.0
第二步，在根据空间平均随机变量进行蒙特卡罗模拟时，考虑到了土体参数的空间变异。
根据FORM结论，与其
升级会员 