高考全国卷1理科数学试题及答案.docx
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高考全国卷1理科数学试题及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1i
1.设z——2i,则|z|
1i
A.0B.1C.1D./2
2
2
2.已知集合Axxx20,则eRA
A.x1x2B.x1x2
C.x|x1Ux|x2d.x|x1Ux|x2
3•某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经
济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4.设Sn为等差数列an的前n项和,若3S3S2S4,312,则
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为
A.P1=P2B.P1=P3C.P2=P3D.P1=P2+P3
2
x2
11.已知双曲线C:
—y1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分
3
别为M、^若厶OMN为直角三角形,则|MN|=
A.3
2
B.3
C.23
D.4
12.已知正方体的棱长为
1,每条棱所在直线与平面
a所成的角相等,贝U
a截此止方体所得截面面积的最
大值为
33
2.3
32
3
A.-
B.-
C.-
D.
4
3
4
2
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
x2y20
13•若x,y满足约束条件xy10,则z3x2y的最大值为.
y0
14•记Sn为数列an的前n项和,若Sn2an1,则S6•
15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有
种.(用数字填写答案)
16.已知函数fx2sinxsin2x,贝Ufx的最小值是.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
60分。
17.(12分)
在平面四边形ABCD中,ADC90°,A45°,AB2,BD5.
(1)求cosADB;
(2)若DC22,求BC.
18.(12分)
如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF.
(1)证明:
平面PEF平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
19.(12分)
X22
设椭圆C:
y1的右焦点为F,过F的直线I与C交于代B两点,点M的坐标为(2,0).
2
(1)当丨与x轴垂直时,求直线AM的方程;
20.(12分)
某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不
合格品,则更换为合格品•检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余
下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0p1),且各件产品是否为不合格品
相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以
(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验
21.(12分)
1
已知函数f(x)—xalnx.
x
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)存在两个极值点X1,X2,证明:
-—a2.
%x2
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为yk|x|2•以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐
标系,曲线C2的极坐标方程为22cos30.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若G与C2有且仅有三个公共点,求G的方程.
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
已知f(x)|x1||ax1|•
(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案:
1
2
3
4
5678
9
10
11
12
C
B
A
B
DABD
C
A
B
A
17.(12分)
解:
(1)在△ABD
中,由正弦定理得
BD
AB
sin
AsinADB
由题设知,
5
2
2,所以sin
ADB2.
sin45
sinADB
5
由题设知,
ADB
90,所以cos
ADB
12皂
■,255
(2)由题设及
(1)
知,cosBDC
sin
ADB二.
在厶BCD中,由余弦定理得
BC2BD2DC22BDDCcosBDC
_2
5
25.
所以BC5.
18.(12分)
解:
(1)由已知可得,BF丄PF,BF丄EF,所以BF丄平面PEF
又BF平面ABFD,所以平面PEF丄平面ABFD.
(2)作PH丄EF,垂足为出由
(1)得,PH丄平面ABFD
uuiruuu
Hxyz.
以H为坐标原点,HF的方向为y轴正方向,|BF|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系
由
(1)可得,DE丄PE又DP=2,DE=1,所以PE=v/3.又PF=1,EF=2,故PE丄PF.
可得pH子,EH|.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为—3.
4
19.(12分)
解:
(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.
则X12,x22,直线MA,MB的斜率之和为kMAkMB」亠
x12x22
由y1kx1k,y2kx2k得
2
将yk(x1)代入—y21得
2
2222
(2k1)x4kx2k20.
综上,OMAOMB.
20.(12分)
解:
(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)C;0p2(1p)18.因此
f(p)C;°[2p(1p)1818p2(1p)17]2C;°p(1p)17(110p).
所以f(p)的最大值点为p00.1.
(2)由
(1)知,p0.1.
即X4025Y.
所以EXE(4025Y)4025EY490.
400元.
(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为
由于EX400,故应该对余下的产品作检验
21.(12分)
aVa4af(x)0.所以f(x)在(0,-
2
ava24aJa24
调递减,在(aa―,aa一4)单调递增.
22
(2)由
(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a2.
由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2ax10,所以x1x21,不妨设x-ix2,则x21.由于
X2X2
由题设知,G是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为11,y轴左边的射线为
12•由于B在圆C2的外面,故G与C2有且仅有三个公共点等价于11与C2只有一个公共点且12与C2有
两个公共点,或12与C2只有一个公共点且11与C2有两个公共点.
当11与C2只有一个公共点时,A到11所在直线的距离为2,所以12,故k
Vk1
4
12与C2有两个公
经检验,当k0时,11与C2没有公共点;当k上时,11与C2只有一个公共点,
3
共点.
|k2|
当12与C2只有一个公共点时,A到12所在直线的距离为2,所以2,故k
Vk21
4
经检验,当k0时,h与C2没有公共点;当k-时,・与C2没有公共点.
4
综上,所求C1的方程为y-|x|2.
3
23.[选修4-5:
不等式选讲](10分)
2,x1,
【解析】
(1)当a1时,f(x)|x1||x1|,即f(x)2x,1x1,2,x1.
1
故不等式f(X)1的解集为{XIX-}.
2
(2)
当X
(0,1)时|x1||ax1|
x成立等价于当
x(0,1)时|ax1|1成立
若a
0,
则当x(0,1)时|ax1|1
;
若a
0,
|ax1|1的解集为0x
2
2
所以一
1,故0a2.
a
a
综上,
a的取值范围为(0,2].