35 构造与论证一汇总.docx

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35构造与论证一汇总

各种探讨给定要求能否实现，设计最佳安排和选择方案的组合问题．这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．

1.5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?

【分析与解】因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；

现在将第4卷调至此时第l卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；

现在将第3卷调至此时第l卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；

最后将第l卷和第2卷对调即可．

所以，共需调换4+3+2+1=10次．

2.有3堆小石子，每次允许进行如下操作：

从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：

（1某2堆石子全部取光?

（23堆中的所有石子都被取走?

【分析与解】（1可以，如（1989，989，89

（1900，900，0

（950，900，950

（50，0，50

（25，25，50

（O，0，25．

（2因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．

现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．

3.在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?

【分析与解】最少要1997次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改变一次状态，由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮．

如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态．

4.在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：

开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：

一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?

【分析与解】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9（分．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13（分．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．

当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12（分．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34（分，其中专业选手之间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=11

，推知，必有人得分不超过11分.

也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.

5.n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：

（1）n=4是否可能？

（2）n=5是否可能？

【分析与解】

（1）我们知道4个队共进行了

场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为

×2=12.

因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n=4不可能.

（2）我们知道5个队共进行

场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为

×2=20.

因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以5个队得分最少为2+3+4+5+6=20，满足.即n=5有可能.但是我们必须验证是否存在实例.

如下所示，A得2分，C得3分，D得4分，B得5分，E得6分.

其中“A

B”表示A、B比赛时，A胜B；“B--C”表示B、C比赛时，B平C，余下类推.

6.如图35-1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图.

【分析与解】要使M最小，就要尽量平均的填写，因为如果有的连续5个圆圈内的数特别小，有的特别大，那么M就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的．

因为每个圆圈内的数都用了5次，所以10次的和为5×（1+2+3+…+10=275．

每次和都小于等于朋，所以IOM大于等于275，整数M大于28．

下面来验证M=28时是否成立，注意到圆圈内全部数的总和是55，所以肯定是一边五个的和是28，一边是27．因为数字都不一样，所以和28肯定是相间排列，和27也是相问排列，也就是说数组每隔4个差值为l，这样从1填起，容易排出适当的填图.

7．（1将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字排列在圆周上，使得任意相邻两数的差（大减小不小于3且不大于5．

（2对于1至11这11个数字，

（3对于1至12这12个数字，

（4对于l至14这14个数字，

满足上述要求的排列方法是否存在?

【分析与解】（1对于l至9这九个数，注意到可与1相邻的数是4、5、6，可与9相邻的数也是4、5、6，而1、9又不可相邻，从而4、5、6这三个数只可能分别在1、9之间及1和9的另一侧．以此为突破口，构造一种合题意的填法即可．例如：

可以在圆周上依次填入1、6、2、7、3、8、4、9、5．

（2对于1至11这十一个数，1、2,3、9、10、11这六个数中任意两数不能相邻，余下4、5、6、7、8这五个数要填在前六个数的六个空隙中，显然是不可能的．

（3对于1至12这十二个数，1、2、3、10、11、12这六个数中任意两数不能相邻，余下4、5、6、7、8、9这六个数要填在前六个数的六个空隙中，恰好一个空隙填一个数．又注意到9不与1、2、3、10、11相邻，所以9只能一侧与12相邻，可另一侧必与11、10、3、2、1中的某一个相邻，这是不符合要求的.

（4对于1至14这十四个数，1,2、3、12、13、14这六个数中任意两个数不能相邻，余下4,5、6、7、8、9、10、11这八个数要填在前六个数的六个空隙中，必有两个空隙均填了两个数或有一个空隙中填了三个数．再具体构造一种填法即可，例如在圆周上依次放置1、5、2、6、3、7、12、9、13、10、14、11、8、4即符合要求．

8.1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数．现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积．那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人?

【分析与解】我们很自然的想到把用得比较多的乘数去掉，因为它们参与的乘式比较多，把它们去掉有助于使剩下的构不成乘式，比较小的数肯定是用得最多的，因为它们的倍数最多，所以考虑先把它们去掉，但关键是除到何处?

考虑到44的平方为1936，所以去到44就够了，因为如果剩下的构成了乘式，那么乘式中最小的数一定小于等于44，所以可以保证剩下的构不成乘式．因为对结果没有影响，所以可以将1保留，于是去掉2，3，4，…，44这43个数．

但是，是不是去掉43个数为最小的方法呢?

构造2×97，3×96，4×95，…，44×45，发现这43组数全不相同而且结果都比1998小，所以要去掉这些乘式就至少要去掉43个数，所以43位最小值，即为所求.

9.组互不相同的自然数，其中最小的数是l，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和.问：

这组数之和的最小值是多少?

当取到最小值时，这组数是怎样构成的?

【分析与解】首先把这组数从小到大排列起来，那么最小的肯定为1，1后面只能是1的2倍即2，2后面可以是3或4，3的后面可以是4，5，6；4的后面可以是5，6，8．最大的为25．

下面将所有的可能情况列出：

l，2，3，4，…，25所有的和是35；

l，2，3，5，…，25所有的和是36；

1，2，3，6，…，25所有的和是37；

1，2，4，5，…，25所有的和是37；

1，2，4，6，…，25所有的和是38；

1，2，4，8，…，25所有的和是40.

25是奇数，只能是一个偶数加上一个奇数．在中间省略的数中不能只有1个数，所以至少还要添加两个数，而且这两个数的和不能小于25，否则就无法得到25这个数．

要求求出最小值，先看这两个数的和是25的情况，因为省略的两个数不同于前面的数，所以从20+5开始．

25=20+5=19+6=18+7=17+8=16+9=15+10=14+11=13+12．

这些数中20，19，18，17太大，无法产生，所以看：

16+9=15+10=14+11=13+12．

看这些谁能出现和最小的l，2，3，4，…，25中，检验发现没有可以满足的：

再看l，2，3，5，…，25，

发现1，2，3，5，10，15，25满足，所以：

1+2+3+5+10+15+25=36+25=61

10.在10×19方格表的每个方格内，写上0或1，然后算出每行及每列的各数之和．问最多能得到多少个不同的和数?

【分析与解】首先每列的和最少为0，最多是10，每行的和最少是0，最多是19，所以不同的和最多也就是0，1，2，3，4，…，18，19这20个．

下面我们说明如果0出现，那么必然有另外一个数字不能出现．

如果0出现在行的和中，说明有1行全是0，意味着列的和中至多出现0到9，加上行的和至多出现10个数字，所以少了一种可能．

如果0出现在列的和中，说明在行的和中19不可能出现，所以0出现就意味着另一个数字不能出现，所以至多是19，下面给出一种排出方法.

11．在8×8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子，使得棋盘上每行、每列及每条斜线上都有偶数枚棋子?

【分析与解】因为8×8的国际象棋盘上的每行、每列都正好有偶数格，若某行（某列有空格，必空偶数格．而斜线上的格子数有奇也有偶，不妨从左上角的斜线看起：

第一条斜线只有1格，必空；第三条有3格，必至少空1格；第五、七条分别有5、7格，每条线上至少空1格．由对称性易知共有16条斜线上有奇数格，且这16条斜线没有共用的格子，故至少必空出16格．其实，空出两条主对角线上的16个格子就合题意．

此时，最多可放置48枚棋子，放在除这两条主对角线外的其余格子中，如右图所示．

12．在1000×1000的方格表中任意选取n个方格染为红色，都存在3个红色方格，它们的中心构成一个直角三角形的顶点．求n的最小值．

【分析与解】首先确定1998不行．反例如下：

其次1999可能是可以的，因为首先从行看，1999个红点分布在1000行中，肯定有一些行含有2个或者以上的红点，因为含有0或1个红点的行最多999个，所以其他行含有红点肯定大于等于1999-999=1000，如果是大于1000，那么根据抽屉原理，肯定有两个这样红点在一列，那么就会出现红色三角形；

如果是等于1000而没有这样的2个红点在一列，说明有999行只含有1个红点，而剩下的一行全是红点，那也肯定已经出现直角三角形了，所以n的最小值为1999．

13．若干箱货物总重19.5吨，每箱重量不超过353千克．那么最少需要多少辆载重量为1.5吨的汽车，才能保证把这些箱货物一次全部运走?

【分析与解】至少需要16辆车．15辆车不一定能一次运完．

例如这批货物共有65只箱子，64只箱子都是301千克，1只箱的重量是236千克，那么总重量为301×64+236=19500（千克，

恰好符合19.5吨的要求．由于301×5=1505（千克．

超过1.5吨．因此，每辆汽车最多只能装4只重量为301千克的箱子，15辆汽车最多只能装4×15=60（只重量为301千克的箱子．这样，必然有4只重量为30l千克的箱子无法再装运了．

16辆汽车一定能一次运完全部箱子：

首先让12辆汽车装到刚刚超过1.5吨，即若取下最后装的一只箱子就不超过1.5吨．再从这12辆汽车上把每辆车最后装的那只箱子卸下来，并把这12只箱子分别装上另外3辆空车，每车4箱，由于每车4箱总重量不超过4×353=1412（千克

因此也不超过1.5吨．这时，12+3=15辆车就装完原来前12辆车上的全部货物，总重量超过1.5×12=18（吨．

而且每辆车载重不超过1.5吨．于是，剩下未装车箱子总重量不足19.5-18=1.5（吨

可以把它们全部装在第16辆车上运走．

14．在图35-2中有16个黑点，它们排成了一个4×4的方阵．用线段连接其中4点，就可以画出各种不同的正方形．现在要去掉某些点，使得其中任意4点都不能连成正方形，那么最少要去掉多少个点?

【分析与解】至少要除去6个点，如下所示为几种方法：

15．在正方体的8个顶点处分别标上1，2，3，4，5，6，7，8，然后再把每条棱两端所标的两个数之和写在这条棱的中点．问：

（1各条棱中点处所写的数是否可能恰有5种不同的数值?

（2各条棱中点处所写的数是否可能恰有4种不同的数值?

【分析与解】如下图所示．

各棱中点处所写的数恰有五种不同数值是可能的，如在4、B、…、H依次填1、5、3、7、8、4、6、2，则中点处恰有五个不同数值6、8、9、10、12．

不可能少于五种不同数值，这是因为：

以1所在顶点为端点的棱有三条，不妨设这三条棱的另一端点所填写的数是a、b、c，满足a，则这三条棱的中点处的数为1+a，1+b，1+c，满足1+a<1+b．

以8所在顶点为端点的棱也有三条，不妨设这三条棱的另一端点所填写的数为x、y、z满足x

又c≤8，1+c≤9；x≥1，8+y>9，所以

1+a<1+b<1+c<8+x<8+y<8+z．

从而这六条棱中点的六个数不可能少于五种不同的值，因此在各条棱中点处所写的数能恰有5种不同

的数值，不能使各条棱中点处所写的数恰有4种不同的如：

，对应5种不同的取值为6，8，9，10，12．