三角形的面积课堂实录.docx
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三角形的面积课堂实录
三角形的面积课堂实录
三角形的面积
一、复习引入：
（4分钟）
师：
首先大家看一下大屏幕，这是一个什么样的图形？
展示课件：
平行四边形
师：
谁来说一下？
好，你来说一下。
生齐答：
平行四边形。
师：
这是个平行四边形，那大家会不会计算这个平行四边形的面积呢？
教师板书：
平行四边形的面积= 师：
好，哪位同学来说一下？
生：
平行四边形的面积等于底乘高。
师：
好请坐，回答的非常好，看来大家记得还是比较牢固的。
教师板书：
底×高
师：
哪位同学能用字母表示一下这个平行四边形的面积？
生：
S等于ah
师：
好，请坐。
也就是说S就等于ah 教师板书：
S=ah 课件展示：
S=ah
师:
我们知道这个平行四边形的面积就等于底乘高，用字母表示是S等于ah。
接下来，大家看一下你胸前的红领巾，大家知不知道有关红领巾的知识？
生：
红领巾就是一个三角形。
师：
红领巾是一个三角形，还有么？
生：
是一个钝角三角形。
师:
大家知道红领巾的含义么？
红领巾是红旗的一角，也是少先队员的象征。
刚才有两位同学说了这个红领巾是一个三角形，那么大家会不会计算这个三角形的面积呢？
哪位同学有办法？
生：
面积等于底乘高除以二。
师：
看来这个同学预习的非常好，她已经知道了计算三角形面积的公式。
哪位同学还能再说一说是怎么样，用什么样的方法来求这个三角形的面积？
生：
底乘高除以二。
师：
对，你说得对。
你说的是用底乘高除以二。
你是用什么样的方法得到的？
生未回答。
师：
也就说我们以前没有学过求三角形的面积？
生齐答：
是。
师：
那我们能不能想办法求它的面积？
那有什么办法？
生：
把一个平行四边形剪成两个三角形，这是两个完全一样的三角形。
师：
好请坐。
这位同学说的是可以把一个已经学过的平行四边形剪成两个完全一样的三角形，根据平行四边形的面积求出三角形的面积。
这叫什么方法大家知道么？
生齐答：
割补法。
二、学习新课（35分钟）
师：
割补法。
在数学上这种思想就是转化的思想。
教师板书：
转化
师：
什么叫转化的思想，也就说，我们把这个三角形转化成什么，转化成学过的图形来求出它的面积。
接下来大家拿出你手中的这一个平行四边形的学具。
现在给大家一个问题：
你能不能把这个平行四边形分成两个三角形呢？
下面呢就前后四个同学为一组来讨论一下。
生分组讨论。
教师巡视辅导，个别询问。
（活动约2分半） 师：
前后四个同学为一组，怎么样把这个平行四边形分成两个三角形？
想到方法的同学可以用剪刀剪一剪。
师：
好，剪好的同学可以做好了。
那个小组的同学来说一下这个问题，发表一下自己的意见？
谁来说一下，大胆举手。
上来展示一下，说一下怎样把平行四边形分成两个三角形？
生：
这个本来是一个完整的平行四边形，然后把它对折，对折变成两个完全一样的三角形，然后再把这个三角形剪开，再把这个平行四边形对折，沿着虚线剪开就变成两个完全一样的三角形了。
师：
好，非常好。
那个同学还能再展示一下，说一下你的剪法。
你来说一下，上来说。
生：
用一个一样的，用一个平行四边形对折，沿虚线对折，然后用剪刀剪下来，展开就会发现是两个一样的三角形。
师：
非常好，大家是不是这样剪得？
生齐答：
是。
师：
刚才大家都说了，沿着一条虚线。
大家说这条线叫什么线？
对于平行四边形来说叫什么线？
你来说。
生：
虚线。
生：
对角线。
师：
好，很好。
这个同学说的非常好。
这条线叫什么线？
平行四边形的对角线。
大家是不是沿着平行四边形的对角线对折之后，然后再剪开，它就变成了两个三角形。
大家有没有发现这两个三角形它们有什么特点么？
生齐答：
一模一样的。
师：
看来大家观察的非常仔细的。
剪得这两个三角形是一模一样的三角形，对吧？
好。
接下来大家把你准备好的三角形的学具拿出来。
大家根据大屏幕的要求还是在小组内讨论一下，有三个要求，大家一个一个的做。
首先呢大家拿出你的两个完全一样的直角三角形，我们现在只要直角三角形拼一拼、摆一摆、看一看这两个完全一样的直角三角形能拼成什么样的图形呢？
小组内可以讨论讨论。
前后可以讨论讨论，都说一下自己的想法。
（活动约一分半钟） 师：
都拼完了么？
那个同学说一说你的想法？
生：
正方形。
师：
可以拼成正方形，那你的三角形是什么样的？
学生展示手中图形。
师：
好，是一个正方形。
好请坐。
你再说一下。
生：
长方形和三角形。
师：
长方形和三角形。
好请坐。
还有么？
你来说。
生：
平行四边形。
师：
平行四边形，你是怎么拼的？
生展示拼的过程。
师：
好。
通过刚才同学们回答可以知道两个完全一样的直角三角形可以拼成长方形、平行四边形，还有三角形。
如果三角形特殊还可以拼成正方形。
那位同学来上台演示演示你是怎么样拼成的，这个过程说一说。
生：
平行四边形是用两个一样的三角形，一个是用直角三角形它的直角一个边还有另一个直角三角形边对齐就是。
师：
对齐就变成一个平行四边形是吧？
哪位同学展示一下你拼成的三角形是什么样的？
生：
找到一个跟它相同的边，然后呢对齐，然后就变成一个大的三角形了。
师：
哪位同学再来展示一下你拼成的长方形？
生：
找到直角三角形两个同样的边，然后把它两，这两个同样的边对齐就成了一个长方形。
（教师引导）
师：
通过刚才同学们的拼摆，我们已经知道了可以拼成这三种图形。
那么你会不会求出我们拼成的这样图形的面积呢？
会不会求呢？
生：
长方形的就是长加宽乘二，长方形的面积是长乘宽。
师：
长乘与宽。
好你来说一下。
生：
长方形的面积是边乘边。
师：
边长乘与边长。
还有没有，你来说。
生：
平行四边形的面积就是底乘高。
师：
刚才这个同学说了平行四边形的面积就等于底乘与高。
还有拼成的三角形的面积会不会求呢？
我们再来看一下第三个问题。
根据刚才我们的拼摆发现拼出的图形与原来的三角形有什么关系呢？
生：
拼成的图形可以分成两个三角形。
师：
对，可以分成两个完全一样的三角形。
好，还有别的关系么？
生：
如果用两个„„（表述不清）必须用相同的三角形。
师：
我明白你的意识了。
这个同学是说要想拼成平行四边形、长方形就必须用两个完全一样的三角形，是不是这个意识？
生：
拼出来的图形除以二，把它分开也就是原来那个三角形了。
师：
把这拼出来的图形分开，除以二，就是原来的„„ 生：
就是三角形的面积。
师：
面积是吧。
好请坐。
哪位同学能表达清楚一点，对于这个面积关系。
生：
三角形的面积乘以二就等于拼出来的图形的面积。
师：
你是说三角形的面积乘与二就等于拼出来的图形的面积。
还可以怎么来表达？
生：
拼出来的图形面积除以二，也可以等于三角形的面积。
师：
通过同学们的拼摆，我们可以得到他们的面积关系怎么样。
拼成的图形的面积除以二就等于原来的那个三角形的面积。
大家来看一下大屏幕。
教师展示课件。
（三角形变平行四边形）
师：
这是一个直角三角形，大家主要看这个过程，这是一个旋转和平移的过程。
大家看这一个图形。
生齐答：
长方形。
师：
继续看。
生齐答：
平行四边形。
生齐答：
另一个平行四边形。
师：
由此可以得到这样一个结论“两个完全一样的直角三角形可以拼成一个平行四边形。
”还有么？
还可以拼成什么图形？
生齐答：
大三角形。
师：
对还可以拼成大三角形，我们看一下过程。
（课件展示过程）
小结：
师：
通过同学们的拼摆我们知道“两个完全一样的直角三角形可以拼成长方形、平行四边形还有三角形”。
师：
接下来大家拿出你手中两个完全一样的锐角三角形。
看一下两个完全一样的锐角三角形可以拼成什么样的图形呢？
学生活动（约2分钟）
师：
那个同学来上台展示一下你拼成的图形？
生：
拿出两个完全一样的锐角三角形，找出一个它们两个完全一样的一条边，然后就可以拼成一个平行四边形。
师：
这位同学说的怎么样？
非常好。
哪位同学再来说一下？
生：
拿出两个完全一样的锐角三角形，然后再把他们的两个，找出两个相同的边，对齐，就可以拼成一个菱形。
师：
同学们拼成什么样的图形？
平行四边形。
还有其他的么？
生齐答：
菱形。
师:
菱形是不是四边形？
菱形是一种特殊的四边形。
师：
大家看一下大屏幕。
看一下锐角三角形是怎么样拼成平行四边形的。
（展示课件—锐角三角形）
师：
先把两个三角形重合，然后绕最右边的顶点旋转180度，然后再平移，就变成一个平行四边形。
由此我们可以得出这样一个结论“两个完全一样的锐角三角形，也可以拼成一个平行四边形”。
师：
大家想想在三角形当中除了锐角三角形和直角三角形，还有什么样的三角形？
生齐答：
钝角三角形。
师：
对，大家想一想两个完全一样的钝角三角形，能不能拼成一个平行四边形呢？
生齐答：
能。
师：
能，那么大家动手操作一下，看看能够拼成什么样的平行四边形？
学生活动（大约1分40秒）
师：
大家拼完了么？
谁来给大家展示一下？
生：
拿出两个一样的钝角三角形，然后找出两个一样的边，然后对齐，然后就拼成一个平行四边形。
师：
大家是不是这样来拼摆的？
生：
是。
师：
也就是说两个完全一样的钝角三角形，也可以拼成一个平行四边形。
大家再来感受一下旋转和平移的过程。
（展示课件—钝角三角形）
师：
通过刚才我们做的这三组实验，大家能够发现什么规律了么？
谁来总结一下？
生：
不管是直角还是锐角、钝角，只要是两个一样的三角形都能平成一个平行四边形。
师：
好，请坐。
哪位同学来补充一下？
你还有什么样的发现？
生：
两个一样的三角形可以拼成一个平行四边形和一个三角形。
师：
好，请坐。
还有么？
生：
两个三角形拼成的图形的面积是两个三角形面积的二倍。
师：
请再说一边。
生：
两个同样的三角形拼成的这个图形的面积是这两个三角形其中一个的二倍。
师：
好，大家听明白她的意识了么？
生齐答：
听明白了。
师：
两个完全一样的三角形拼成的图形的面积是原来的一个三角形二倍。
哪位同学再来说一说还能有什么样的发现？
生：
直角三角形可以拼成多种图形，但不论什么图形都是四边形。
师：
好。
这个同学说的比较细致。
接下来我们再来看拼成的这个平行四边形和原来的三角形它们的底和高有什么关系？
大家看我手中的这个平行四边形它是有两个完全一样的三角形组成的，那么这个三角形的底和高平行四边形的底和高有什么关系么？
大家发现没有，平行四边形的底和三角形的底„„平行四边形的高和这个三角形的高„„是一样吧？
生齐答：
一样。
是一样的。
师：
大家看一看、做一做。
拼成的平行四边形底和高是不是和这个三角形的底和高是一样的？
生齐答：
是。
师：
大家看，这个平行四边形的底其实就是这个三角形的底，还有这个三角形的高就是这个平行四边形的高。
我们知道了平行四边形的底和高就和这个三角形的底和高是一样的。
是这样吧？
生齐答：
是。
师：
好。
大家看这几个问题（展示课件）通过以上实验发现什么？
我找同学来说一下。
这几个问题。
生：
可以拼成长方形、正方形，还有三角形、平行四边形。
生：
两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形。
师：
平行四边形。
刚才同学说的比较多。
因为在这里是两个完全一样的三角形，没有说那个比较特殊的，不光是直角三角形，还可以指的是锐角和钝角对吧？
看第二问题，每个三角形的面积等于什么？
生：
每个三角形的面积等于所拼成的图形的两倍。
师：
拼成的图形叫什么？
生：
平行四边形。
生：
所拼成的图形的两倍。
师：
两倍？
？
是两倍么？
三角形的面积等于所拼成的图形，也就是我们所说 的这个平行四边形的两倍么？
生：
除以二。
师：
好。
大家仔细思考一下应该等于什么?
等于拼成的平行四边形的面积的多少？
生多数回答：
一半。
师：
一半吧。
是不是一半。
对。
看这是一个平行四边形，它可以分成两个完全一样的三角形，是它的一半么？
对不对？
好。
每个三角形的面积就等于拼成的平行四边形的面积的一半。
接着看第三个问题。
你来说一下，这个平行四边形的底等于什么？
生：
面积除以高。
师：
面积除以高？
那和三角形有什么关系？
生：
这个平行四边形的底等于这个三角形的底。
师：
它的底等于什么？
就等于三角形的底。
下一个平行四边形的高等于什么？
生齐答：
三角形的高。
师：
就等于三角形的高。
大家明白了吧？
好了。
再给大家一个问题，通过我们得到的这几个结论看能不能推导出三角形的面积公式呢？
生：
S等于ah除以二。
师：
S等于ah除以二，你能不能说一下你的推导过程？
教师板书“三角形的面积=” 生：
底乘高除以二。
师:
底乘高除以二,对。
底和高是什么?
生齐答：
平行四边形的底和高。
师：
大家来看一下第二个，看一下第二问题“每个三角形的面积等于拼成的平行四边形的面积的一半”，平行四边形的面积等于什么？
生齐答：
底乘高。
师：
再求三角形的面积，除以二对吧？
三角形的面积就等于底乘高除以二。
教师板书“底×高÷2”
师：
那个同学能用字母来表示一下。
生：
S等于ah除以2。
师：
他说的对不对？
S就等于ah除以二。
教师板书“S=ah÷2” 师：
我们在大屏幕上看一下这个公式的推导过程。
大家看这是两个完全一样的三角形拼成的一个平行四边形，我们还知道三角形的面积就等于平行四边形的面积除于二。
平行四边形的面积就等于底乘以高。
由此我们得到三角形的面积就等于底乘高除以二。
用字母表示就是S等于ah除以2。
大家明白这个推导过程了么？
生齐答：
明白了。
教师展示课件（红领巾）
师：
我们来看一下红领巾的问题。
红领巾的底是100厘米，高是33厘米，问他的面积是多少平方厘米？
大家在练习本上做一做。
学生独立完成。
生：
S等于ah除以2，等于100乘33除以2，等于1650平方厘米。
师：
大家和她做的一样吧？
生齐答：
一样。
师：
我们来看，做面积的问题首先干什么？
师生齐答：
写出面积的字母公式。
S等于ah除以2，第二步把数字带入，就等于100乘33除以2，最后算出结果1650平方厘米。
最后写上答“它的面积是1650平方厘米”。
师：
大家做对了没有？
看来大家学的还是比较好的。
三、巩固练习（大约3分钟）
师：
接下来我们看一下课本上的练习题“做一做”（多媒体） 师生共同分析问题有一个三角形的形状如右图，它的面积是多少？
我们来看这种三角形是什么样的三角形？
------直角三角形。
直角三角形底和高知道么？
知道。
师引导：
直角三角形的底和高就是什么？
生：
直角边。
师：
这样就好求了。
学生独立做题教师巡视。
师：
同学们做完了么？
那个同学说一下你的结果如何?
生：
S等于ah除以2，等于7.2乘12.5除以2，等于45平方厘米. 师：
非常好。
结果是45平方厘米。
（大屏幕展示）。
其实我国的数学家早在2000多年前求过三角形的面积公式，有兴趣的同学可以看一看。
四、小结（大约1分半钟）
师：
最后我们来总结一下，通过这节课的学习，大家都学到哪些知识？
谁能概括的说一说。
生：
通过这节课我知道了如何求三角形的面积。
三角形的面积就等于底乘高除以二。
生：
我学了平行四边形的面积，还有三角形的情况，钝角三角形，直角三角形能拼成什么图形。
生：
我知道了两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形。
师：
刚才这几个同学都说了自己的收获。
我最后来总结一下，在这里我们主要学习了三角形的面积，我们知道三角形的面积怎么样来求得来？
是通过拼成的平行四边形的面积来求的吧？
根据平行四边形的面积来求三角形的面积。
课下大家一定要好好复习掌握这一课。
下课。
“三角形的面积”教学实录与评析
彭娅 执教 （广东省广州市越秀区小北路小学）
曾令鹏 评析 （广东省教育厅教研室）
教学内容：
九年义务教育六年制小学数学第九册第84、85页“三角形的面积”。
教学目标：
1、引导学生用多种方法推导三角形面积的计算公式，理解长方形、平行四边形和三角形之间的内在联系。
2、通过操作使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题。
3、理解三角形的面积与形状无关，与底和高有关，会运用面积公式求三角形面积。
4、引导学生积极探索解决问题的策略，发展动手操作、观察、分析、推理、概括等多种能力，并培养学生的数学思维。
教学重点：
理解并掌握三角形面积的计算公式。
教学难点：
理解三角形面积的推导过程。
教学准备：
每两人一袋三角形卡片、多媒体课件
教学过程：
一、回顾旧知。
师：
同学们，你们已经认识了哪些平面图形？
生：
三角形、长方形、正方形、平行四边形、圆形、梯形
生边回答老师边将图形竖贴于黑板左边，但调整了顺序：
师：
你学过的知识掌握得真好，一个人就说完了。
师：
那你们会计算哪些图形的面积呢？
生：
正方形
师：
想一想，它的面积怎样求？
生：
边长乘边长
师边说（哦，正方形的面积等于边长乘边长），边在正方形图片的右边板下（=边长×边长）。
面积
=边长×边长
师：
长方形的面积呢？
生：
长方形的面积等于长乘宽。
=长×宽
师在长方形图片的右边板下（=长×宽）。
=底×高
师：
就学过这两个图形是吧？
生：
不是，还有平行四边形。
生齐声：
平行四边形的面积等于底乘高。
师在平行四边形图片的右边板下（=底×高）。
师：
平行四边形是不是刚学呀？
那你们还记得它的面积公式是怎样推导出来的呢？
生：
把一个平行四边形，沿着它的高剪开，再把其中的一部分平移到另一边，就拼成了一个长方形，长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽就是平行四边形的高，所以平行四边形的面积就是底乘高。
生边回答，师边演示课件，加深学生对平行四边形面积公式推导的理解和内化。
师：
哦，同学们把一个新的图形转化成一个旧的学过的图形，就推导出了平行四边形的面积公式，大家真聪明。
板：
转化
=边长×边长
=长×宽
=底×高
师：
那今天我们能不能采用这样的方法来推导出三角形的面积公式呢?
（师手指三角形图片）
揭题：
今天我们就一起来探究三角形面积的计算方法。
（板书课题“三角形的面积”于黑板上方）
师：
请大家先猜一猜，三角形的面积跟它的什么有关呢？
生：
底和高。
师：
三角形的面积跟它的底和高有没有关系呢？
有什么关系呢？
今天我们一起来研究。
[评析：
课始开门见山，回顾学过的平面图形的面积公式为三角形的转化做好铺垫，并快速重播平行四边形面积的推导过程，为转化思想的进一步运用起到启发的作用，板书设计精心。
]
二、探究新知。
（一）实践活动。
1、师：
请同学们拿出桌面上的信封，数一数里面有几个什么图形？
（两人一套，同桌合作）
生：
一个正方形，一个长方形，一个平形四边形，6个三角形。
[评析：
精心设计了3个基本图形，正方形、长方形、平行四边形，并与之相对应的三角形，无论形状和颜色都做到了一一对应。
让学生在后面的开放性思维中能够思者有依。
不同形状的图形都编上了编号，在后面的教学过程中方便称呼，同时教会学生数学地思考问题。
]
师：
其中有三个图形的面积你们已经会求了，现在我给你们这三个图形的数据。
师将贴于黑板的 翻面，显示出数据。
=边长×边长
=长×宽
=底×高
师：
请你们快速回答它们的面积应该如何计算？
生：
1号正方形的面积=4×4=16（cm2）
3号长方形的面积=6×4=24（cm2）
5号平行四边形的面积=6×4=24（cm2）
面积（cm2）
师板：
=边长×边长
=4×4=16（cm2）
=长×宽
=6×4=24（cm2）
师：
这三个图形的面积同学们轻而易举的算出来了，现在的问题是你们能不能借助已经算出的面积，求出2号、4号、6号三角形的面积呢？
[评析：
这里的借助，让学生学会科学严谨的学数学，要学生认真去摆去比1号与2号图形，3号与4号图形，5号与6号图形，暗藏了它们都分别是等底等高”这一概念的。
设计精妙绝伦。
]
2、学生同桌动手操作，老师提示，操作一定要科学严谨，可将算式写在图形上。
师：
你们求出了哪号图形的面积？
借助的是几号图形？
生：
我们求出了2号图形的面积是4×4÷2=8（cm2）
师：
为什么？
生：
我们把两个2号图形拼成了1号图形，所以它的面积就是1号图形的一半。
师将两个2号图形拼成的正方形贴于黑板，并在它的右边板出=4×4÷2=8（cm2）。
学生用同样的方式汇报了4号图形和6号图形的面积都是=6×4÷2=12（cm2）
（过程略）
师：
请大家观察，为什么三个算式都有“÷2”？
生：
因为都是用两个完全一样的三角形拼成的正方形、长方形或平行四边形，一个三角形的面积都只是它们的一半。
老师板：
完全一样的两个三角形
师把三个所拼的图形都拿走一个三角形，只保留其中的一个三角形，并用虚线画出拿走的部分，补充完整正方形、长方形或平行四边形。
[评析：
用虚线补充完整正方形、长方形或平行四边形。
目的是让学生将此图形形状储存在大脑中，实现从平行四边形到三角形的自然过渡。
培养学生“用图形说话”的基本数学素养。
]
师：
（手指图形）你们发现三角形的面积是不是跟你们刚才所猜测的底和高有关系呢？
有什么关系呢？
师：
需不需要同桌讨论？
生：
要
学生对这个问题表现出浓厚的兴趣，即兴安排学生短时讨论。
生：
三角形的面积可以用边长×边长÷2，长×宽÷2，底×高÷2。
师：
这三种方法有没有共通之处，可不可以归纳成为一种方法呢？
生自觉聚头再短时讨论。
生：
都可以用“底×高÷2”
师：
真聪明，长方形的长和宽相当于平行四边形的底和高，因为长方形是（生接：
特殊的平行四边形），正方形的边长边长是不是也相当于平行四边形的底和高？
（生：
是）因为正方形也是（生接：
特殊的平行四边形）。
所以三者可以统一成为“底×高÷2”，看来刚才那个同学的猜测跟我们现在的推理是完全一致的。
师用红笔板：
底×高÷2
[评析：
充分尊重学生，根据学生课堂学习现状，当学生需要交流时即时安排同桌讨论。
打破当前为小组讨论而小组讨论的唯形式论风气。
]
4
转
化
=边长×边长
=4×4=16（cm2）
=长×宽
=6×4=24（cm2）
=底×高
=6×4=24（cm2）
面积（cm2）
=4×4÷2=8（cm2）
=6×4÷2=12（cm2）
=6×4÷2=12（cm2）
师：
刚才大家把两个完全一样的三角形拼成正方形、长方形、平行四边形，初步得出了三角形的面积的计算公式是（生齐说：
底×高÷2）。
你们在思考三角形的时候，脑子里浮现出的应该是（师手指黑板）
[评析：
老师非常注重对学生空间想象能力的培养，多次让学生在思考三角形时，脑子里先想象出长方形、正方形、平行四边形。
同时也是对课一开始时板出的“转化”的数学思想的强化。
]
3.验证。
师：
我给你提供两个完全一样的三角形你可以推，如果我只给你一个三角形又如何呢？
你还能用刚才掌握的转化的方法，推导出三角形的面积公式吗？
师：
有需要拿三角形去尝试的请举手（全班都举了）。
老师每四人小组发了两张如下图三角形纸片。
（如剪坏一张还有一张备用）
要求四人小组先讨论方法，再动手。
（师边巡视边提示：
可以用剪刀）
小组操作，课堂呈现一派思考的景象。
组1汇报：
生：
先把三角形沿着它的高对折，再剪成一个三角形和一个梯形，把这个三角形放下来就拼成了一个平行四边形，这个平行四边形的底没变，高变成了原来的一半，所以得出三角形的面积=底×高÷2。
师：
这里的“÷2”是指？
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