人教版五年级数学下册 43最大公因数和约分 同步拓展讲与练 奥数培优无答案.docx
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人教版五年级数学下册43最大公因数和约分同步拓展讲与练奥数培优无答案
最大公因数和约分
知识引入：
一、最大公因数
1.公因数与最大公因数：
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
2.求最大公因数的方法
找最大公因数方法：
列举法、分解质因数法（公有质因数的积）、短除法（除数相乘）
（1）列举法：
先分别找出两个数的因数，从中找出公因数，再找出最大的一个。
例如：
8和12
8的因数（）；12的因数（）；
8和12的公因数（）；8和12的最大公因数是（）。
（2）分解质因数法：
把一个合数用质数相乘的形式表示出来，就是分解质因数。
先将这两个数分别分解质因数，再从分解的质因数中找出这两个数公有的质因数，公有的质因数相乘所得的积就是这两个数的最大公因数。
例如：
①16和40
16分解质因数（）；40分解质因数（）
16和40的最大公因数就是公有质因数的积（）。
②32和48
32分解质因数（）；48分解质因数（）；
32和48的最大公因数是（）。
（3）短除法：
把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。
例如：
①24和36的最大公因数是（）。
②45和15最大公因数是（）。
（4）特殊情况
①当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数。
②两个数只有公因数1时，它们的最大公因数也是1。
互质数
3.公因数只有1的两个数的最大公因数是1，这两个数叫做互质数。
（表示两个数的关系）
1和任意非0的自然数是互质数。
2和任何奇数都是互质数。
互质数的特殊情况相邻的两个非零自然数是互质数。
相邻的两个奇数是互质数。
不相同的两个质数是互质数。
一个合数与一个质数是互质数（合数是质数的倍数除外）。
二、约分
1.约分的意义和依据：
（1）约分的依据：
分数的基本性质（约分前后分数的大小不变）
（2）约分的意义：
把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数。
2.约分方法：
（1）逐步约分法：
用分数的分子和分母公有的质因数逐步去除分子和分母，直到得出一个最简分数。
（2）一次约分法：
用分数的分子和分母的最大公因数去除分子和分母，就得到最简分数。
最简分数的意义：
分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。
巩固练习：
1.判断。
（1）两个合数的最大公因数不能是1。
（）
（2）两个数的公因数的个数是有限的。
（）
（3）甲数和乙数都是它们的最大公因数的倍数。
（）
（4）最小质数和最小合数的最大公因数是1。
（）
（5）最简分数的分子和分母没有公因数。
（）
（6）因为24÷3=8，所以24和3的最大公因数是8。
（）
（7）两个数的最大公因数是1，那么这两个数一定都是质数。
（）
（8）奇数和奇数的最大公因数一定是1。
（）
2.求最大公因数。
48和2818和1925和4054和72
3.先约分，再比较每组中两个分数的大小。
和
和
4.把下面各分数化成最简分数。
5.约分后从小到大排序。
、
、
、
、
6.选择。
（1）甲数和乙数两个非零自然数，甲数是乙数的8倍，甲、乙两数的最大公因数是（）。
A、甲数B、乙数C、8D、无法确定
（2）下列各项中，两个数的最大公因数是1的是（）。
A、一个奇数和一个偶数B、一个质数和一个合数C、两个不同的奇数D、两个不同的质数
（3）两个不同的质数的积一定是（）。
A、奇数B、偶数C、公因数D、合数
7.填空。
（1）9的因数有（），18的因数有（），
9和18的公因数有（），其中最大的公因数是（）。
（2）16的因数有（），24的因数有（），
16和24的公因数有（），其中最大的公因数是（）。
（3）4和14的最大公因数是（）；
10和25的最大公因数是（）；
54和72的最大公因数是（）；
15和45的最大公因数是（）；
（4）
的分子和分母的最大公因数是（）；
的分子和分母的最大公因数是（）；
的分子和分母的最大公因数是（）；
的分子和分母的最大公因数是（）；
的分子和分母的最大公因数是（）；
的分子和分母的最大公因数是（）；
（5）A=2×3×7，B=2×5×3，那么A和B的最大公因数是（）。
（6）a÷b=13（a，b不为0），那么a和b的最大公因数是（）。
（7）A和B是两个相邻的非零自然数，它们的最大公因数是（）。
（8）所有非0的自然数的公因数是（）。
（9）所有非0偶数的最大公因数是（）。
（10）一个分数约分后，分数大小（）。
（11）
的分子和分母最大公因数是（），化成最简分数是（）。
（12）分母是10的所有最简真分数的和是（）。
（13）一个最简真分数，分子和分母的积是8，这个分数是（）。
（14）一个最简真分数分子和分母的和是9，这样的最简真分数有（）个。
（15）一个最简真分数，它的分子和分母的积是36，这个数可以是（）。
（16）45min=（）h28㎝=（）m220dm2=（）m2
8.按要求写出两个数，使它们的最大公因数是1。
（1）两个数都是合数：
（）和（）
（2）两个数都是奇数：
（）和（）
（3）一个偶数和一个奇数：
（）和（）
9.解答题。
（1）用一个数去除10、20、80，都能整除，这个数可以是多少？
（2）一个数除200余4，除300余6，除500余10，求这个数最大是多少？
（3）A、B、C三个数，A和B的最大公因数是15，B和C的最大公因数是9，A、B、C的最大公因数是多少？
（4）铁匠师傅要把一张长是18dm，宽是12dm的长方形铁皮裁成若干同样大小的小正方形，怎样裁能使得到的小正方形最大，又不会浪费材料？
（5）一个分数用2约分一次，用3约分一次，用5约分一次，得到最后结果是
，这个分数原来是多少？
（6）用下面两种花搭配成同样的花束（正好用完，没有剩余），最多能扎多少束？
48朵36朵
（7）同学们去野餐，把42瓶矿泉水和30瓶可乐平均分给几个小组，正好分完，最多可以分给几个小组？
每个小组分得两种饮料各多少瓶？
（8）水果店准备用200个橙子，120个火龙果，480个芒果装水果篮，最多可分成多少份同样的水果篮？
在每个水果蓝中，三种水果各多少个？
奥数思维拓展
（一）：
解决有关三个数最大公因数的实际问题
1.渗透两种数学思想：
推理思想、转化思想。
2.学习两类思维方法：
分析法、筛选法。
思维提升：
[例]用60元可以买一级茶叶144克或者买二级茶叶180克或买三级茶叶240克。
现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少钱？
[分析]因为144克以及茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克以及茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶分装的袋数应该相同，即分装的袋数应该是144,180,240的公因数。
当每袋的价格最低时，分装的袋数应最多，就需求出144,180,240的最大公因数。
[解答]144的因数：
1，2,3,4,6,8,9，12，16,18,24,36,48,72,144
圈出180和240的因数，所以144,180,240的公因数是1,2,3,4,6,12，最大公因数是12。
所以60元的茶叶最多分装成12袋。
[技巧]解决公因数问题，通常先求出几个数的最大公因数，再根据已知信息求出问题答案。
举一反三：
1.将长为25分米，宽为20分米，高为15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的正方体，不能有剩余，每个正方体的棱长是多少分米，一共可以锯成多少块？
2.小朋友们用60朵玫瑰花、48朵菊花、36朵天堂鸟做花束。
如果每束花中的玫瑰、菊花、天堂鸟的朵数都相等且没有剩余，最多可以做多少束花？
每束花中的玫瑰、菊花和天堂鸟各有多少朵？
3.有三根铁丝，长度分别为120厘米，180厘米和300厘米，现在要把它们截成长度相等的小段，且不能剩余，每小段最长多少厘米？
一共可以截成多少段？
奥数思维拓展
（二）：
用转化法解决分数问题
1.渗透两种数学思想：
推理思想、化归思想。
2.学习两类思维方法：
转化法、综合法。
思维提升：
[例]一个分数，分子比分母少18，约分后是，原来这个分数是多少？
[分析]
首先从约分后的分数入手，一个分数约分后大小不变，分子和分母的倍数关系不变，通过约分后的分数可以发现，分母比分子多3，因为分子比分母少18，所以可以利用差倍问题的解法先求出分子、分母缩小的倍数，在求出原来的分数。
[解答]
18÷（5－2）＝62×6＝125×6＝30
所以原来这个分数是
[技巧]已知约分后的分数和原来的分数的分子与分母的差，求原来的分数，利用差倍问题的解法解决。
举一反三：
1.一个分数，分子比分母少12，约分后是，原来这个分数是多少？
2.一个分数，分子比分母少25，约分后是，原来这个分数是多少？
3.一个分数，分母比分子少27，约分后是，原来这个分数是多少？
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