弹塑性理论模拟题.docx
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弹塑性理论模拟题
习题2
2-1受拉的平板，一边上有一凸出的尖齿，如图2.1。
试证明齿尖上完全没有应力。
p
p
图2.1
1
0
1
2-2
物体中某点的应力状态为（i,j）
0
1
0
，求三个不变量和三个
1
0
1
主应力的大小。
2-3
有两个坐标系，试证明
xy
z
x
y
z不变量。
2-4
M点的主应力为175N/cm2,
250N/cm2,3
50N/cm2。
一斜截面
的法线v与三个主轴成等角，求Pv、v及v。
0
2-5
已知某点的应力状态为
（ij）
0
，求该点主应力的大小和主
0
轴方向。
2-6已知某点的应力状态为（ij），求该主应力的大小和主轴方
向。
x
xy
xz
2-7已知某点的应力状态为（i,j）
xy
y
yz过该点斜截面法线
v的
xz
yz
z
方向余弦为（l,m,n）,试求斜截面上切应力
v的表达式。
1/14
0
0
xz
2-8
物体中某点的应力状态为（i,j）0
0
yz求该点主应力的大小
xz
yz
0
和主轴方向。
2-9
已知物体中某点的应力状态为ij
，斜截面法线的方向余弦为
1、1、1，试求斜截面上切应力的大小。
333
2-10
半径为a的球，以常速度v在粘性流体中沿xx轴方向运动。
球面上点
A（x,y,z）受到的表面力为px
xp0
3
v，py
yp0
，pz
zp0，式中p0
a
2
a
a
a
为流体的静水压力。
试求球所受的总力量。
2-11
已知物体中某点的应力状态为ij
，斜截面法线的方向余弦为
1、1、1
，试证明斜截面上的正应力
8
及剪应力
8分别为81
J1、
3
3
3
3
8
1
2J12
6J2
。
3
2/14
习题3
3-1若位移u、v、w是坐标的一次函数，则在整个物体中各点的应变都是
一样的，这种变形叫均匀变形。
设有以O为中心的曲面，在均匀变形后成为球
面，
x'2y'2z'2
r2
问原来的曲面f（x,y,z）0是怎样的一种曲面？
3-2
证明
xk（x2
y2），
yk（y2
z2），xyk'xyz
，
zyz
zx
0（其中k和k'是微小的常数），不是一个可能的应变状态。
3-3
将一个实体非均匀加热到温度
T，而T是x、y、z的函数。
如果假设
每一单元体的热膨胀都不受约束，那么各应变分量为xyz
xyyzzx0，其中是热膨胀系数，是常数。
试证明，这种情况只有当
是x、y、z的线性函数时才会发生。
3-4参照下图，
T，
T
3
E
D
D0
S
A0
C0
C
A
B
B0
O
2
1
设A0B0
dS0，AE
dS,而AEABAC
AD,试证:
dS2dS02
2E11d12
2E22d2
22E33d324E12d1d
24E23d2d34E31d3d
1
2Eijdij
3/14
3-5
已知欧拉应变eij
的6个分量，证明小变形的线应变和剪应变为
AB
A0B0
1
1
2e11，
x
AB
xy
A0B0
A0C0
2e12
A0B0A0C0
12e111
2e22
3-6
已知：
u
0.01
2
，
0，
0，求：
Eij.
3-7
试证：
dS2
dS0
2
2eijdxdxij.
100
3-8设某点的拉格朗日应变为Eij0
1.64
0.48
0
0.48
1.36
试求：
（a）主应变；
（b）最大主应变对应的主轴方向；
（c）最大剪应变分量En.
3-9刚性位移与刚体位移有什么区别？
3-10试用应力分量写出轴对称极坐标平面应变状态条件下的协调方程。
3-11如图3-11所示，试用正方体（a×a×a）证明不可压缩物体的泊松比
。
2
3-12将橡皮方块放在与它同样体积的铁盒内，在上面用铁盖封闭，使铁盖上面承受均匀压力p的作用，如图3-12所示。
假设铁盒与铁盖可以看作为刚体，在橡皮与铁之间没有摩擦力，试求铁盒内侧面所受到的压力以及橡皮块的体积应变。
若将橡皮块换成刚体或不可压缩体时，其体积应变将有什么变化？
ax
2a
a
p
axp
2
ay
铁盖
2
橡皮
px
铁盒
ay
2
图3-11图3-12
4/14
3-13设s1,s2,s3为主应力偏量，试证明用主应力偏量表示米泽斯屈服条件，
其形式为
3
2
2
2
（s1
s2
s3）s
2
3-14已知两端封闭的薄壁圆筒，半径为
r，厚度为t，承受内压及轴向拉应
力的作用，试求此时圆管的屈服条件，并画出屈服条件的图。
3-15已知半径为r，厚度为t的薄壁圆筒，承受轴向拉伸和扭转的联合作
用，设在加载过程中，保持r/z1，试求此圆管在按米泽斯屈服条件屈服时，
轴向拉伸力P和扭矩M的表达式。
3-16在如下两种情况下，试给出塑性应变增量的比值。
（a）单向受力状态，
（b）纯剪受力状态，
1s，
s
3。
3
1
3-17已知薄壁圆筒承受拉应力zs及扭矩的作用，若使用米泽斯屈服
2
条件，试求薄壁圆筒屈服时扭转应力应为多大？
并给出此时塑性应变增量的比
值。
3-18若有两向应力状态1
s
s
0，d1p
，2
，3
3
3
应变分量的值。
C，试求各
5/14
习题4
4-1设已知对各向同性材料的应力应变关系为
力主轴与应变主轴是一致的。
ijeij2Gij，试证其应
4-2设体积力为常量，试证明:
2e0,20。
式中e
x
y
z，
xyz。
4-3设体积力为常量，试证明:
4ui0,
4
ii
0,
4
ii
0。
4-4试推导，用应力法把有体积力问题化成无体积力问题的基本方程和边
界条件。
4-5用应力法解释弹性力学问题，基本方程为什么也是9个而不6个？
4-6推导密切尔——贝尔特拉米方程的过程中，曾用过平衡方程，为什么
解题时，用应力法，基本方程中还有平衡方程？
6/14
习题5
5-1已知理想弹塑性材料的受弯杆件，设计截面为：
（a）正方形，（b）圆
形，（c）内外径比为
a的圆环，（）正方形沿对角线受弯，（）工字型；其
d
e
b
Mp各为多少？
尺寸如图5-17所示。
试求塑性极限弯矩与弹性极限弯矩之比
Me
b
a
（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
图5-17
5-2
设有理想弹塑性材料的矩形截面杆件的高度为
2h，宽度为b受外力作
用，当弹性核heh时，试求此时弯矩值为多少？
2
5-3
已知矩形截面的简支梁，其高为
2h，宽为b,在梁上2d范围内承受均
布载荷的作用如图5-18
所示。
试求此梁中间截面开始进入塑型时的外载荷
q0以
及极限载荷q*的值，分别求出x
d和x
d两种情况时的弹塑性分界线的表达
式。
5-4
若已知理想弹塑性材料的剪切屈服极限为
k,如用此材料支撑半径为R
的受扭圆轴，试求当rs
R和rs
Rs时，扭矩M值的大小。
rs为弹塑性分解半
3
2
径。
x
he
cc
dd
ll
y
（a）
7/14
x
he
cc
dd
ll
y
（b）
图5-18
5-5试求外半径为b，内半径为a的圆管（如图5-19所示）。
在扭矩的作用
下，塑性极限扭矩和弹性极限扭矩之比为多大？
如为薄壁管，则扭矩之比又为多
大？
5-6已知理想弹塑性材料制成的空心圆轴（如图5-20所示），内半径为a，
外半径为b，若内外半径之比为，即,试求使截面最外层屈服时的Me和使截面
达到完全屈服时的扭矩Mp的值各为多少？
并写出使塑性区扩展到rrs时所需
的扭矩Mep的表达式。
b
b
a
a
r
图5-19图5-20
5-7在题5-6中，当MMep时，试给出卸载后，在弹性区和塑性区应力的
表达式。
5-8已知内半径为a,外半径为b的自由旋转环盘（如图5-21所示），材料的屈服极限为,试用特雷斯卡屈服条件求出此旋转环盘在极限状态时的表达式，并求出的最大值。
给出a趋近于零或趋近于b（薄环情况）的的最大值。
8/14
b
a
图5-21
5-9如已知材料的屈服极限按如下规律变化s（1r），试求此等厚度
b
自由旋转圆盘在极限状态下的转速p以及径向和环向的应力表达式。
5-10已知理想均质弹塑性材料制成的圆盘，此材料服从特雷斯卡屈服条
件，如p为极限状态时的转速，而e为盘中某一点进入塑性时的转速，试分别
求出带中心圆孔圆盘和不带中心圆孔圆盘的p/e值各为多少？
5-11已知半径为b的等厚度的实心旋转圆盘，由不可压缩材料制成，材料
服从特雷斯卡屈服条件，如盘中所有点都同时进入塑性状态，则屈服条件的表达
式应取何形式？
此时极限转速e应为多大？
5-12设有理想弹塑性材料制成的厚壁圆筒，内半径为a，外半径为b，承
受内压pi的作用，试求此后圆筒开始进入塑性状态时和完全进入塑性状态时的
压力比值为多少？
5-13已知理想弹塑性材料制成的厚壁圆筒，内半径为
a，外半径为b，承
受内压i的作用，若
为厚壁圆筒中弹塑性分界半径，试求
和内压
i之间的
p
rs
rs
p
关系，已知k为材料的剪切屈服极限。
5-14已知理想弹塑性材料制成的厚壁圆筒，内半径为a，外半径为b，材
料的屈服极限为s，试求筒内壁进入塑性状态时内压的值pi为多大？
（a）两端为封闭；（b）两端为自由，即0；（c）两端受刚性约束，即0。
zz
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习题6
6-1在薄中心O，加一对反向力Q，测得板两端A、B二点的伸长为l，
如在A、B二点作用一对拉力P，求板中心的厚度将减小多少。
见图6-4
Q
P
AB
h
P
Q
图6-4
10/14
习题8
8-1轴线水平的圆柱，由于自重产生的应力为xqy,wqy,xy0.
圆柱的两端被限制在两个光滑的固定刚性平面之间，以维持平面应变状态。
试用
草图表明作用于它表面（包括两端）的力。
见图8-9。
OXOZ
YY
图8-9
8-2悬臂梁（0≤x≤1，－c≤y≤c），左端固定，沿下边界受均匀分布剪力，
而上边界和右端不受载荷时，可用应力函数
1
xy2
xy3
ly2
ly3
S
xy
4c2
4c
4c2
4
4c
得出解答。
这个解答在哪些方面是不完善的？
将应力表达式与由拉伸和弯曲的初
等公式得到的表达式作一比较，见图8-10。
OX
S
Y
图8-10
8-3悬臂梁受均布荷重q的作用，梁长l，高2c，求应力分布。
见图8-11。
提示：
边界条件中出现x2项时，应设x2fyy。
11/14
Y
q
q
2c
O
c
X
X
O
c
l
l
l
Y
图8-11
图8-12
8-4
有简支梁长2l
，高2c，受均布荷重q的作用，求应力分布，见图8-12。
8-5
简支梁长2l，高2c，试证由于自重
g所产生的应力分布为
x
gcl2
x2y
gc2y3
2c2y，
Jz
Jz
3
5
y
gc
1y3
c2y
2c3
gcy，
Jz
3
3
xy
gc
c2
y2
x，
Jx
式中
Jz
2c3
。
3
提示：
'x
0，'y
gcy
，'xy0
是方程组的一组特解，然后把有
体积力的问题变为无体积力的问题求解。
8-6悬臂梁长l，高2c，求由于自重g所产生的应力。
8-7试从密切尔—贝尔特拉米方程推导平面应变问题的协调方程。
12/14
习题9
9-1尖劈顶角2，受轴向力P的作用，求应力分布，见图9-22。
9-2尖劈顶角2，受水平横向力P的作用，求应力分布，见图9-23。
9-3尖劈顶角2，受力偶矩M的作用，求应力分布，见图9-24。
PM
OP
OO
图9-22
图9-23
图9-24
9-4
半无限平面，边界上某切点受切力P的作用，求应力分布，见图9-25。
9-5
很大的矩形板，中央有一半径为的小圆孔，左右边界受均匀法向压力
p，
上下边界受均匀法向拉力
p，见图9-26，求小圆孔引起的应力集中。
9-6
有曲杆，内半径为r，外半径为R，一端固定，另一端面上收切力
P作
用，求杆中应力分布，见图
9-27。
P
P
O
P
X
R
P
P
r
2a
Y
P
图9-25
图9-26
图9-27
13/14
9-7开口圆环，内半径为a，外半径为b，内边界上有均匀法相压力P作用，
求应力分布，见图9-28。
9-8试从应力函数
P
x2
y2arctgy
xy导出应力分布
2
x
x
-P
arctyg
xy
x
x2
y2
y
P
arctgy
x2
xy
x
y2
xy
P
y2
x2
y2
并证明这是半无限大平板，原点右边无载荷，原点左边均匀压强P伸向无穷远问
题的解，见图9-29。
P
O
X
P
arctgy
x
P
Y
图9-28图9-29
14/14
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