二次根式全章教案.docx
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二次根式全章教案
21.3二次根式的加减（3）
第三课时
教学内容
含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．
教学目标
含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．
复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
重难点关键
重点：
二次根式的乘除、乘方等运算规律；
难点关键：
由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
教学过程
一、复习引入
学生活动：
请同学们完成下列各题:
1．计算
（1）（2x+y）·zx
（2）（2x2y+3xy2）÷xy
2．计算
（1）（2x+3y）（2x-3y）
（2）（2x+1）2+（2x-1）2
老师点评：
这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有
（1）单项式×单项式；
（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．
二、探索新知
如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？
以上的运算规律是否仍成立呢？
仍成立．
整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．
例1．计算:
（1）（
+
）×
（2）（4
-3
）÷2
分析：
刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．
解：
（1）（
+
）×
=
×
+
×
=
+
=3
+2
解：
（4
-3
）÷2
=4
÷2
-3
÷2
=2
-
例2．计算
（1）（
+6）（3-
）
（2）（
+
）（
-
）
分析：
刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．
解：
（1）（
+6）（3-
）
=3
-（
）2+18-6
=13-3
（2）（
+
）（
-
）=（
）2-（
）2
=10-7=3
三、巩固练习
课本P20练习1、2．
四、应用拓展
例3．已知
=2-
，其中a、b是实数，且a+b≠0，
化简
+
，并求值．
分析：
由于（
+
）（
-
）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．
解：
原式=
+
=
+
=（x+1）+x-2
+x+2
=4x+2
∵
=2-
∴b（x-b）=2ab-a（x-a）
∴bx-b2=2ab-ax+a2
∴（a+b）x=a2+2ab+b2
∴（a+b）x=（a+b）2
∵a+b≠0
∴x=a+b
∴原式=4x+2=4（a+b）+2
五、归纳小结
本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．
六、布置作业
1．教材P21习题21．31、8、9．
2．选用课时作业设计．
作业设计
一、选择题
1．（
-3
+2
）×
的值是（）．
A．
-3
B．3
-
C．2
-
D．
-
2．计算（
+
）（
-
）的值是（）．
A．2B．3C．4D．1
二、填空题
1．（-
+
）2的计算结果（用最简根式表示）是________．
2．（1-2
）（1+2
）-（2
-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．
3．若x=
-1，则x2+2x+1=________．
4．已知a=3+2
，b=3-2
，则a2b-ab2=_________．
三、综合提高题
1．化简
2．当x=
时，求
+
的值．（结果用最简二次根式表示）
课外知识
1．同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．
练习：
下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）．
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
2．互为有理化因式：
互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：
如x+1-
与x+1+
就是互为有理化因式；
与
也是互为有理化因式．
练习：
+
的有理化因式是________；
x-
的有理化因式是_________．
-
-
的有理化因式是_______．
3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．
练习：
把下列各式的分母有理化
（1）
；
（2）
；（3）
；（4）
．
4．其它材料：
如果n是任意正整数，那么
=n
理由：
=
=n
练习：
填空
=_______；
=________；
=_______．
答案:
一、1．A2．D
二、1．1-
2．4
-243．24．4
三、1．原式＝
=
=
=-（
-
）=
-
2．原式＝
=
=
=2（2x+1）
∵x=
=
+1原式＝2（2
+3）=4
+6.
第二十二章一元二次方程
教材内容
1．本单元教学的主要内容．
一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．
2．本单元在教材中的地位与作用．
一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．
教学目标
1．知识与技能
了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．
2．过程与方法
（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．
（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．
（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．
（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：
b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．
（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．
（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．
3．情感、态度与价值观
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．
教学重点
1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．
3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．
教学难点
1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．
3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．
教学关键
1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．
3．解一元二次方程公式法的推导．
课时划分
本单元教学时间约需16课时，具体分配如下：
22．1一元二次方程2课时
22．2降次──解一元二次方程7课时
22．3实际问题与一元二次方程4课时
教学活动、习题课、小结3课时
22．1一元二次方程
第一课时
教学内容
一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．
教学目标
了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．
2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．
3．解决一些概念性的题目．
4．态度、情感、价值观
4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
重难点关键
1．重点：
一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
2．难点关键：
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
教学过程
一、复习引入学生活动：
列方程．
问题
（1）《九章算术》“勾股”章有一题：
“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？
”
大意是说：
已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？
如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为_______尺，根据题意，得________．
整理、化简，得：
__________．
问题
（2）如图，如果
，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．
如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：
________．整理得：
_________．
问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：
_______．
整理，得：
________．
老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．
二、探索新知
学生活动：
请口答下面问题．
（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？
（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
（3）有等号吗？
或与以前多项式一样只有式子？
老师点评：
（1）都只含一个未知数x；
（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
分析：
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：
去括号，得：
40-16x-10x+4x2=18移项，得：
4x2-26x+22=0
其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
例2．（学生活动：
请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次
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