全国大学生数学建模竞赛A题论文.docx
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全国大学生数学建模竞赛A题论文
车道被占用对城市道路通行能力的影响
摘要
本文是关于车道占用对城市道路通行能力方面的问题
具体分析了事故横截面车交通能力的变化过程和不同车道被占用对通行能力影响的差异
以及应用线性加权、交通流波动理论等统计学相关方法
结合spss、excel等软件
研究了事故发生后排队长度与事故横截面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量之间的关系
针对问题一
为了更加突出显示出交通流量的变化情况
考虑到上游路口红绿灯的相位时间为30秒
所以我们测量视频1中的交通流量时以30秒为一个时间间隔
计算每30秒通过横断面的标准车当量数
然后计算出正常情况下道路的实际通行能力[1378
1502]辆/小时
我们将计算值与观察到的通行能力加权得到事故发生后实际通行能力为[648
684]辆/小时
在此基础上
运用excel软件作出交通流量与实际通行能力的变化图
结合上游路口组织方案图与信号配时方案进行分析
得出实际通行能力变化过程为：
事故发生前道路的实际通行能力为[1378
1502]辆/小时
事故发生后
事故横断面出实际通行能力迅速降低为[648
684]辆/小时
事故撤离以后
断面处的实际通行能力由迅速恢复到正常水平下的[1378
1502]辆/小时
针对问题二
首先任然取30秒为一个时间间隔
测量出视频2中交通流量的变化情况
对于事故发生后横断面的实际通行能力仍然采用线性加权得到为[732
768]辆/小时
然后借助计算机软件作出视频2交通流量与实际通行量的变化图
对比视频1流量变化图
结合问题1结论及下游路口流量需求比例
我们得出如下结论：
事故车辆占用的车道越靠近道路中央
其对该横断面实际通行能力的影响越大
即车道3>车道2>车道1
针对问题三
我们利用从视频中得到的交通流量、车辆排队长度、交通密度等信息
结合二流理论建立数学模型得到如下关系：
其中）表示排队长度；表示初始时刻（即t=0）上、下游断面之间的车辆数；为第i条车道t时刻上游断面的车辆累计数；为第i条车道t时刻下游断面的实际通行能力；M为车道数；、平均单车道阻塞密度和最佳密度；之后运用模型求解选定时刻的车辆排队长度
并与视频中得到的实际车辆排队长度进行比较
验证了模型的可靠性
问题四要根据排队长度求解所需时间
我们交通流为理论依据建立模型结合视频中得到的信息得出时间与车辆排队长度的关系式
为：
其中（、为下上游通行能力；、为上下游车流密度）代入数据求解得到所需时间为4.8分钟到5.8分钟
关键词：
相位；交通流波动理论；车辆二流理论；交通流量；线性加权
一问题重述
本次建模要解决的实际问题是城市正常通行的车道一旦由于某种原因被占用
其对城市道路通行能力的影响
车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素
导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象
由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点
一条车道被占用
也可能降低路段所有车道的通行能力
即使时间短
也可能引起车辆排队
出现交通阻塞
如处理不当
甚至出现区域性拥堵
车道被占用的情况种类繁多、复杂
正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度
将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据
视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面
且完全占用两条车道
我们需要解决以下问题：
1、根据视频1（附件1）
描述视频中交通事故发生至撤离期间
事故所处横断面实际通行能力的变化过程
2、根据问题1所得结论
结合视频2（附件2）
分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异
3、构建数学模型
分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系
4、假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米
路段下游方向需求不变
路段上游车流量为1500pcu/h
事故发生时车辆初始排队长度为零
且事故持续不撤离
需要估算
从事故发生开始
经过多长时间
车辆排队长度将到达上游路口
二基本假设
1、事故路段的临近路段没有发生车道被占用的情况
2、各司机的驾驶水平的差异不影响交通流量的统计
3、车道宽度只能通过一辆车
三符号说明
路段单向通行能力第条车道的通行能力车道编号
从道路边缘至道路中心依次编号路段单向车道数1条车道的理论通行能力1条车道的理论通行能力交叉口折减系数车道宽度折减系数初始时刻（即t=0）上、下游断面之间的车辆数
t时刻通过上游断面的车辆累计数t时刻通过下游断面的车辆累计数t时刻上、下游断面之间的车辆数 ）t时刻上、下游断面之间的当量排队长度L为上、下游断面之间的距离 km上、下游断面之间的交通流最佳密度上、下游断面之间的交通流阻塞密度多车道路段t时刻上、下游断面间的平均当量排队长度第i条车道t时刻上游断面的车辆累计数第i条车道t时刻下游断面的实际通行能力M车道数平均单车道阻塞密度平均单车道最佳密度
四问题分析
4.1问题1分析
要得到事故所处横断面实际交通能力的变化过程
必不可少的步骤是要认真分析和记录视频1中的事故路段的各个时刻的交通流量
我们知道所谓实际通行能力是指在设计或评价某一具体路段时
根据该设施具体的公路几何构造、交通条件以及交通管理水平
对不同服务水平下的服务交通量（如基本通行能力或设计通行能力）按实际公路条件、交通条件等进行相应修正后的小时交通量
由于视频的时间只有20多分钟
而且从上游路口信号配时方案中可以看出
红绿灯的相位时间均为30秒
为了更好地反应交通流量的的变化过程
我们计算每30秒内的通过的标准车当量作为交通流量或通行能力
道路通行能力是表示道路所能承担车辆通过的能力
当道路上实际交通量小于其通行能力时
道路上行驶车辆处于自由行驶状态
车速较高
交通密度较小
车头时距分布规律符合负指数分布
车辆能实行超车；当道路上实际交通量接近或等于其通行能力时
道路上行驶的车辆用接近匀速的车速跟踪行驶
出现车队行驶现象
车头时距分布接近均数值；当道路上实际交通量超过其通行能力时
道路上行驶车辆密度增大
车速降低
出现交通拥挤和阻塞现象
因此
事故发生前和事故车辆撤离以后的实际通行能力相同
并且可用公式
计算得到
对于事故发生后到撤离期间的道路实际通行能力先用上述公式计算得出一个理论值
然后观察视频中当交通流量接近或等于实际通行能力时
用此时的交通流量作为事故发生后实际通行能力的观察值
最后用线性加权的方法
对理论值和观察值加权得到实际通行能力的修正值
将各个时间区间的交通流量与道路实际通行能力在同一折线图中作出
然后结合附件中资料
定性地描述通行能力的变化过程
4.2问题2分析
处理该题的首要步骤就是分析和记录视频2中每30秒的交通流量
由实际通行能力的定义知
在事故发生之前和事故撤离以后的道路实际通行能力相同
并且
事故2与事故1的发生路段相同
该道路的实际通行能力与问题1计算的实际通行能力相同
对于事故发生后到事故撤离期间
由于车道被占用
该道路的实际通行能力将发生改变
所以先用公式计算出事故发生后的实际通行能力理论值
我们知道当道路上实际交通量接近或等于其通行能力时
道路上行驶的车辆用接近匀速的车速跟踪行驶
出现车队行驶现象
车头时距分布接近均数值
所以我们可以借助以上规律估计出事故持续期间的道路实际通行能力的观察值
为了更加准确地确定事故发生后的实际通行能力
仍然采用线性加权得到实际通行能力的准确值
对视频2进行观察和记录
作出流量变化的表格后
画出实际通行能力与交通流量变化的折线图
将该折线图与问题1的折线图进行对比
分析其不同之处
然后结合上游路口交通组织方案和上游路口信号配时方案
分析出上述差异发生的原因
4.3问题3分析
问题三要求针对视频一建立模型求解交通事故所影响的路段车队排队长度与实际交通能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系
对此我们参考了关于交通流量的集中研究理论
经过分析我们认为二流模型较适合题目要求的情况
为了使模型最准确
我们根据从视频中得到的信息种类以及题目要求对模型进行了修正
建立好模型后
我们在视频一中找出标注出的车辆排队长度为120的几个点
在视频中找出车队的长度
之后运用我们建立的模型求解出相应的车辆排队长度
与从视频中得到的实际长度进行比较
4.4问题4分析
问题四求解出新给定条件下车辆排队长度达到给定值时所需时间
针对该问题
我们结合交通流理论
找出上下游流量、密度与时间和排队长度的关系式
从视频一中得到相关数据
代入公式中即可求得所需时间
五模型的建立与求解
5.1问题1模型的建立与求解
我们知道所谓实际通行能力是指在设计或评价某一具体路段时
根据该设施具体的公路几何构造、交通条件以及交通管理水平
对不同服务水平下的服务交通量（如基本通行能力或设计通行能力）按实际公路条件、交通条件等进行相应修正后的小时交通量
因此
事故发生前和事故车辆撤离以后的实际通行能力相同
并且可用公式：
（5-1）
其中各字母含义如下：
--路段单向通行能力；
--第条车道的通行能力；
--车道编号
从道路边缘至道路中心依次编号；
--路段单向车道数
--1条车道的理论通行能力
根据道路设计速度取附录表2中对应的建议值
根据市区公路的设计规则
我们取汽车的设计速度为50km/h
--车道折减系数
自道路边缘起第一条车道的折减系数为0.65～0.78
第二条车道的折减系数为0.80～0.89
第三条为1.00
--交叉口折减系数
根据道路设计速度和路段两交叉口之间的距离确定
详情见附件表3
--车道宽度折减系数
与车道宽度的关系见附录表4
结合车祸发生路段的实际情况
得到各个系数的具体取值情况
见下表：
表1：
、、、的具体取值
车道116900.65-0.780.42860.94366-439车道216900.8-0.890.42860.94450-501车道316901.00.42860.94563
得到各个车道的通行能力以后
由公式5-1得到路段单向通行能力：
=++=[1378
1502]辆/小时
由此我们得到事故道路实际通行能力区间为[1378
1502]辆/小时
上面公式计算的单向实际通行能力是在路段处于正常情况下
无任何车道被占用的情况下的通行能力
一旦道路建成
在正常情况下的道路实际通行能力就是一个固定的值
它反映着该条道路的道路所能承担车辆通过的能力
与道路上行驶多少辆汽车无关
但是
当出现非正常情况时
出现车道被占用的现象
此时由于可行车道数变少
道路变窄等原因
道路的实际通行能力就会降低
当道路上实际交通量小于其通行能力时
道路上行驶车辆处于自由行驶状态
车速较高
交通密度较小
车头时距分布规律符合负指数分布
车辆能实行超车；当道路上实际交通量接近或等于其通行能力时
道路上行驶的车辆用接近匀速的车速跟踪行驶
出现车队行驶现象
车头时距分布接近均数值；当道路上实际交通量超过其通行能力时
道路上行驶车辆密度增大
车速降低
出现交通拥挤和阻塞现象
所以为了反映道路实际交通能力的变化过程
我们用发生车祸后道路的交通流量来近似地估算实际交通能力
由于附件1中视频的时间只有20多分钟
而且从上游路口信号配时方案中可以看出
红绿灯的相位时间均为30秒
为了更好地反应交通流量的的变化过程
我们计算每30秒内的通过的标准车当量作为交通流量或通行能力
通过仔细分析观察视频1中的事件过程
得到各个时间段的在事故发生断面的各种车辆数
见附表
得到各个时间点的车辆种类和数量以后
需要将其转换成标准车当量
其转换系数如下表：
表2：
车辆折算系数
车类 轿车大客车电瓶车折算系数11.50.2
根据以上系数计算出各个观察时间点的交通流量
值得注意的是
有一些观测区间不慢30秒
对于这种数据我们采用加权的方法
估计出满30秒的交通流量
权值L的大小按如下公式计算：
L=30/（观测的时间）
然后计算出完整的交通流量变化表：
表3：
交通流量变化表
时间区间1234567车祸发生91011流量（辆/半分钟）8.18.94118.79.7109.212.1111213141516171819202122239.58.47.29.69.78.27.610.71099.2112425262728293031323334359.111.29.79.89.59.58.511.5109.3911.2363738车祸撤离404142911.610.721.121.714.6
上面我们已经计算了正常通车情况下的道路实际通行能力=[1378
1502]辆/小时
为了将实际通行能力与我们所测量的交通流量进行对比
必须将它们的单位转换为一致
所以道路实际通行能力可变为=/120=[11.5
12.5]辆/半分钟
事故发生后
道路的车道2和车道3被事故车辆堵塞
只有车道1可以正常通行
此时道路的实际通行能力可用公式（5-1）计算得到
由于只有车道1通行
所以只需计算
用上面计算相同的方法得到=[3.1
3.7]辆/半分钟
化为标准单位为[372
444]辆/小时
为了检验上述方法计算得到的事故后的通行能力是否符合实际情况
我们知道理论：
当道路上实际交通量小于其通行能力时
道路上行驶车辆处于自由行驶状态
车速较高
交通密度较小
车头时距分布规律符合负指数分布
车辆能实行超车；当道路上实际交通量接近或等于其通行能力时
道路上行驶的车辆用接近匀速的车速跟踪行驶
出现车队行驶现象
车头时距分布接近均数值；当道路上实际交通量超过其通行能力时
道路上行驶车辆密度增大
车速降低
出现交通拥挤和阻塞现象
我们经过判断视频中当车辆呈现交通量接近通行能力的现象的时间区间有：
14、18、30
它们对应的交通流量为：
7.2、7.6、8.5
它们的平均值=7.7
可以看出
观察值与上面算得的理论值[3.1
3.7]有一定出入
为了更加准确地确定事故后横断面的通行能力
我们将理论与实际观察情况结合在一起
采用线性加权的方法
即
=0.5+0.5
得到准确实际通行能力=[5.4
5.7]辆/小时
标准单位为[648
684]辆/小时
为了反映出事故所处横断面实际通行能力的变化过程及交通流量与原道路实际通行能力的关系
将交通流量与原道路实际通行能力在同一折线图中画出
见下图：
图1：
视频1交通流量变化图与原通行能力对比图
上图中折线图的第一个缺口表示事故发生时刻
第二个缺口表示事故车辆撤离时刻
从上图可以看出
在事故发生之前
该横截面处的交通流量具有很大的波动性
数据上下呈一高一低交错的周期性分布
分析原因
我们认为这和上游路段的红绿灯有显著关系
此时
交通顺畅
无车道占用情况
道路上行驶车辆处于自由行驶状态
车速较高
交通密度较小
车头时距分布规律符合负指数分布
车辆能实行超车
所以它的交通流量小于道路的最小通行能力
道路的通行能力不变为[11.5
12.5]辆/半分钟
事故发生后
由于车道被占用
道路的实际通行能力肯定会降低
其减小后的理论值已在图中画出
其交通流量还是呈现周期性分布
而且全都高出最大通行能力
数值趋于平缓
并且逐渐远离最小通行能力
这表示受交通事故的影响
交通流量高出最小通行流量的值趋于稳定
在事故发生后的2个观察区间内
交通流量的变化情况与事故发生前衔接得比较好
通过分析视频资料可知
这主要是因为事故刚发生时
其它车辆的整体行驶速度不会迅速下降
大致1分钟过后
由于事故带来的交通堵塞就逐渐严重起来
交通流量呈现迅速升高
有立马逐渐降低的周期性变化（受上游路段的绿灯放行的影响）
而且数据有趋于平缓的趋势（因为事故车辆起到了一个限流的作用）
道路的实际通行能力逐渐降低为[5.4
5.7]辆/半分钟
事故撤离后
交通流量在短时间内急剧增大
车流量犹如决堤之洪
经过一段时间的卸力后
交通流量便迅速降低
道路的实际通行能力恢复正常
为[11.5
12.5]辆/半分钟
从图中数据可以看出
短时间内交通流量任然大于道路的最大通行能力
但在逐渐降低
而且从视频中可以看出
上游路段的车流量较事故发生前要大得多
且有增大的趋势
这就意味着交通流量即使迅速降低也不会降低到事故发生前的水平
稍微分析视频资料可知
事故撤离后
视频中资料记录的时间是下午5点
到了下班的时间
交通流量自然会增大
甚至出现交通流量大于道路的实际通行能力的现象
这也属于正常现象
与事故的影响无关
综上所述
事故所处的横断面实际通行能力的变化过程可简述为：
事故发生后
断面实际通行能力由正常水平下的[1378
1502]辆/小时逐渐降低为[648
684]辆/小时
事故撤离后
横断面的实际通行能力又逐渐恢复到正常水平下的[1378
1502]辆/小时
5.2问题2模型的建立和求解
对于该题
要想得到同一横断面交通事故所占车道不同对横断面实际通行能力影响的差异
就必须对视频2中的实际通行能力进行定量地统计
因此
方法与问题1相似
对于正常通行的道路
即事故发生前和事故撤离后
道路的通行能力恢复正常
并且值相同
由于事故发生路段与问题1中事故相同
所以此时道路实际交通能力=[1378
1502]辆/小时
=/120=[11.5
12.5]辆/半分钟
对于事故发生后的实际通行能力
由于车道被占用
肯定会减小
至于它的变化过程
我们只有观察实际的交通流量
从交通流量的变化中找出实际通行能力的变化过程
为此我们经过认真地分析和记录数据得到每30秒的交通流量
得到各时刻通过横断面车辆的数量和种类
见附录表5
然后把各车辆的数量转换成标准车当量
得到各时间区间的实际交通流量
数据见下表：
表4：
视频2各个观察区间的交通流量
时间区间12345车祸发生78910111213交通流量3.415.8318.56.89.413.213.910.18.613.313.214151617181920212223242526279.912.89.911.18.2148.811.211.71515.910.87.19.228293031323334353637383940419.910.61211.64.69.811.611.97.912.612.110.410.411.1424344454647484950515253545510.210.710.89.611.212.110.611.411.513.611.19.910.19.4565758596061626364事故撤离6667685.99.211.29.910.19.41110.512.912.918.320.3
对于事故发生至事故撤离期间的道路实际通行能力
我们先用理论公式（5-1）计算
由于事故2中被占车道为1和2
计算时只考虑车道3
采用与问题1求相同的方法得到理论通行能力区间=[4.7
5.4]辆/半分
标准单位为[564
648]辆/小时
为了检验上述方法计算得到的事故后的通行能力是否符合实际情况
我们知道理论：
当道路上实际交通量小于其通行能力时
道路上行驶车辆处于自由行驶状态
车速较高
交通密度较小
车头时距分布规律符合负指数分布
车辆能实行超车；当道路上实际交通量接近或等于其通行能力时
道路上行驶的车辆用接近匀速的车速跟踪行驶
出现车队行驶现象
车头时距分布接近均数值；当道路上实际交通量超过其通行能力时
道路上行驶车辆密度增大
车速降低
出现交通拥挤和阻塞现象
我们经过判断视频中当车辆呈现交通量接近通行能力的现象的时间区间有：
11、18、26、32、36、56、20
它们代表的交通流量为：
8.6、8.2、7.1、5、7.9、5.9、8.8
它们的平均值为=7.4
可以看出
观察值与上面算得的理论值[4.7
5]有一定出入
为了更加准确地确定事故后横断面的通行能力
我们将理论与实际观察情况结合在一起
采用线性加权的方法
即
=0.5+0.5
得到准确实际通行能力=[6.1
6.4]辆/半分
标准单位为[732
768]辆/小时
为了反映出事故所处横断面实际通行能力的变化过程及交通流量与道路实际通行能力的关系
将交通流量与原道路实际通行能力在同一折线图中画出
并且为了比较同一横断面所占车道不同对横断面实际通行能力影响的差异
将视频1交通流量变化图与原通行能力对比图与视频2交通流量变化图与原通行能力对比图放到一起
见下图:
图2：
视频2交通流量变化图与原通行能力对比图
图3：
视频1交通流量变化图与原通行能力对比图
首先
我们来分析图2能带给我们什么样的信息
上图中交通流量折线图的第一个缺口表示事故发生时刻
第二个缺口表示事故车辆撤离时刻
从上图可以看出
在事故发生之前
该横截面处的交通流量具有很大的波动性
数据在道路的实际通行能力上下呈一高一低交错的周期性分布
分析原因
我们认为这和上游路段的红绿灯有显著关系：
当观测时间区间为绿灯放行时间时
再加上视频上显示的时间是下午5点半左右
正处于下班的高峰时期
此时的交通流量会超过道路的实际通行能力；当观测时间为红灯限行时间时
道路上车辆较少
行驶车辆处于自由行驶状态
车速较高
交通密度较小
车头时距分布规律符合负指数分布
车辆能实行超车
所以它的交通流量小于道路的最小通行能力
此时道路的通行能力不变为[11.5
12.5]辆/半分钟
事故发生后
由于车道1和2被占用
只有车道3能正常通车
此时道路的实际通行能力肯定会降低
其减小后的准确值已在图中画出
可以看出其交通流量还是呈现周期性上下分布
而且基本上全都高出最大通行能力
折线图的前半段波动较大
周期性较强
而到后半段数值趋于平缓
这表示受交通事故的影响
交通流量高出最大通行流量的值趋于稳定
并且
可以看出
事故期间的交通流量的各个峰值均小于事故发生前流量的峰值
而各个周期的最小值又普遍大于事故发生前流量的最小值
这是因为事故车辆起到了一个限流的作用
即降低最大流量
提高最小流量
这个时候
道路的实际通行能力逐渐降低为[6.1
6.4]辆/半分
事故撤离后
交通流量在短时间内急剧增大
车流量犹如决堤之洪
经过一段时间的卸力后
交通流量便迅速降低
道路的实际通行能力恢复正常
为[11.5
12.5]辆/半分钟
从图中数据可以看出
短时间内交通流量任然大于道路的最大通行能力
但在逐渐降低
这是由于事故造成的交通堵塞不可能在很短的时间内便消散
此时
道路的实际通行能力会逐渐地恢复到事故之前
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