届一轮全国通用版文 第42讲两条直线的位置关系 学案.docx
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届一轮全国通用版文第42讲两条直线的位置关系学案
第42讲 两条直线的位置关系
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．
2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
2016·全国卷Ⅰ，5
2016·全国卷Ⅱ，4
2015·湖南卷，13
确定两条直线的位置关系，已知两条直线的位置关系求参数，求直线的交点和点到直线的距离，对称问题，过定点的直线系问题.
分值：
3～5分
1．两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔！
！
！
！
__k1＝k2__####；
②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为！
！
！
！
__平行__####.
（2）两直线平行或重合的充要条件
直线l1：
A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：
A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是！
！
！
！
__A1B2－A2B1＝0__####.
（3）两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔！
！
！
！
__k1k2＝－1__####；
②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1与l2的关系为！
！
！
！
__垂直__####.
（4）两直线垂直的充要条件
直线l1：
A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：
A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是！
！
！
！
__A1A2－B1B2＝0__####.
2．两条直线的交点
3．三种距离
点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离
＝
！
！
！
！
__
__####
点P0（x0，y0）到直线l：
Ax＋By＋C＝0的距离
d＝！
！
！
！
__
__####
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝！
！
！
！
__
__####
1．思维辨析（在括号内打“√”或“”）．
（1）若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．（ × ）
（2）点P（x0，y0）到直线y＝kx＋b的距离为
.（ × ）
（3）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．（ √ ）
（4）两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．（ √ ）
（5）若点A，B关于直线l：
y＝kx＋b（k≠0）对称，则直线AB的斜率等于－
，且线段AB的中点在直线l上．（ √ ）
解析
（1）错误．当方程组有唯一解时两条直线相交，若方程组有无穷多个解，则两条直线重合．
（2）错误．应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即点P到直线的距离为
.
（3）正确．因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离．
（4）正确．两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长，即两条直线上各取一点的最短距离．
（5）正确．根据对称性可知直线AB与直线l垂直且直线l平分线段AB，所以直线AB的斜率等于－
，且线段AB的中点在直线l上．
2．已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P（－2，－1），Q（3，m），若l1⊥l2，则实数m＝（ B ）
A．6 B．－6 C．5 D．－5
解析 由已知得k1＝1，k2＝
.
∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，∴1×
＝－1，即m＝－6.
3．点（0，－1）到直线x＋2y＝3的距离为（ B ）
A．
B．
C．5 D．
解析 d＝
＝
.
4．点（a，b）关于直线x＋y＋1＝0的对称点是（ B ）
A．（－a－1，－b－1） B．（－b－1，－a－1）
C．（－a，－b） D．（－b，－a）
解析 设对称点为（x′，y′），则
解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.
5．直线l1：
x－y＝0与直线l2：
2x－3y＋1＝0的交点在直线mx＋3y＋5＝0上，则m的值为（ D ）
A．3 B．5C．－5 D．－8
解析 由
得l1与l2的交点坐标为（1,1），
所以m＋3＋5＝0，m＝－8.
一 两条直线的平行与垂直问题
判断两条直线平行与垂直的注意点
（1）当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
（2）在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
【例1】已知两条直线l1：
ax－by＋4＝0和l2：
（a－1）x＋y＋b＝0，分别求出满足下列条件的a，b的值．
（1）l1⊥l2，且l1过点（－3，－1）；
（2）l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解析
（1）由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a.
若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.
∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.
又∵l1过点（－3，－1），∴－3a＋4＝0，即a＝
（矛盾），
∴此种情况不存在，∴k2≠0，即k1，k2都存在．
∵k2＝1－a，k1＝
，l1⊥l2，
∴k1k2＝－1，即
（1－a）＝－1.（*）
又∵l1过点（－3，－1），∴－3a＋b＋4＝0.（**）
由（*）（**）联立，解得a＝2，b＝2.
（2）∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，
k1＝k2，即
＝1－a.①
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即
＝b，②
联立①②，解得
或
∴a＝2，b＝－2或a＝
，b＝2.
二 两条直线的交点问题
常用的直线系方程
（1）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0（m∈R，且m≠C）．
（2）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0（m∈R）．
（3）过直线l1：
A1x＋B1y＋C1＝0与l2：
A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R），但不包括l2.
【例2】求经过直线l1：
3x＋2y－1＝0和l2：
5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：
3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
解析 解方程组
得l1，l2的交点坐标为（－1,2）．
由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1，l2的交点（－1,2），故5×（－1）＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1.
故直线l的方程为5x＋3y－1＝0.
三 距离公式的应用
利用距离公式应注意的问题
（1）点P（x0，y0）到直线x＝a的距离d＝
，到直线y＝b的距离d＝
.
（2）应用两平行线间的距离公式的前提是把两直线方程中x，y的系数化为相等．
【例3】已知点P（2，－1）．
（1）求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；
（2）求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
解析
（1）过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为（2，－1），显然，过P（2，－1）且垂直于x轴的直线满足条件，
此时直线l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设直线l的方程为y＋1＝k（x－2），即kx－y－2k－1＝0.
由已知得
＝2，解得k＝
.
此时直线l的方程为3x－4y－10＝0.
综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
（2）作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．
由l⊥OP，得klkOP＝－1，
所以kl＝－
＝2.
由直线方程的点斜式得y＋1＝2（x－2），
即2x－y－5＝0.
所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为
＝
.
四 对称问题及其应用
两种对称问题的处理方法
（1）关于中心对称问题的处理方法
①若点M（x1，y1）及点N（x，y）关于点P（a，b）对称，则由中点坐标公式得
②直线关于点的对称，其主要方法是：
在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求的直线方程．
（2）关于轴对称问题的处理方法
①点关于直线的对称
若两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）关于直线l：
Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在l上，而且连接P1P2的直线垂直于l，由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标（x2，y2）（其中B≠0，x1≠x2）．
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：
一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
【例4】
（1）已知直线l：
x＋2y－2＝0.
①求直线l1：
y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；
②求直线l关于点A（1,1）对称的直线方程．
（2）光线由点A（－5，
）入射到x轴上的点B（－2,0），又反射到y轴上的点M，再经y轴反射，求第二次反射线所在直线l的方程．
解析
（1）①由
解得交点P（2,0）．
在l1上取点M（0，－2），
M关于l的对称点设为N（a，b），
则
解得N
，∴kl2＝
＝7，又直线直l2过点P（2,0），
∴直线l2的方程为7x－y－14＝0.
②直线l关于点A（1,1）对称的直线和直线l平行，所以设所求的直线方程为x＋2y＋m＝0.
在l上取点B（0,1），则点B（0,1）关于点A（1,1）的对称点C（2,1）必在所求的直线上，∴m＝－4，即所求的直线方程为x＋2y－4＝0.
（2）点A（－5，
）关于x轴的对称点A′（－5，－
）在反射光线所在的直线BM上，
可知lBM：
y＝
（x＋2），∴M
.
又第二次反射线的斜率k＝kAB＝－
，∴第二次反射线所在直线l的方程为y＝－
x＋
，
即x＋
y－2＝0.
1．“C＝5”是“点（2,1）到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的（ B ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析 点（2,1）到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3等价于
＝3，解得C＝5或C＝－25，所以“C＝5”是“点（2,1）到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件．故选B．
2．（2018·湖北部分重点中学期中）已知A（4，－3）关于直线l的对称点为B（－2,5），则直线l的方程是（ B ）
A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0
解析 由题意得AB的中点C为（1,1），又A，B两点连线的斜率为kAB＝
＝－
，所以直线l的斜率为
，因此直线l的方程为y－1＝
（x－1），即3x－4y＋1＝0.故选B．
3．设不同直线l1：
2x－my－1＝0，l2：
（m－1）x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的（ C ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有
＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．故选C．
4．已知直线l1与直线l2：
4x－3y＋1＝0垂直且与圆C：
x2＋y2＝－2y＋3相切，则直线l1的方程是！
！
！
！
__3x＋4y＋14＝0或3x＋4y
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