207华师数学建模作业.docx

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207华师数学建模作业

数学建模作业

一、教材76页第1章习题1第7题（来自高中数学课本的数学探究问题，满分10分）

表1.17是某地一年中10天的白昼时间（单位：

小时），请选择合适的函数模型，并进行数据拟合.

表1.17某地一年中10天的白昼时间

日期

1月1日

2月28日

3月21日

4月27日

5月6日

白昼时间

5.59

10.23

12.38

16.39

17.26

日期

6月21日

8月14日

9月23日

10月25日

11月21日

白昼时间

19.40

16.34

12.01

8.48

6.13

解：

根据地理常识，某地的白昼时间是以一年为周期而变化的，以日期在一年中序号为自变量x，以白昼时间为因变量y，则根据表1.17的数据可知在一年（一个周期）内，随着x的增加，y大约在6月21日（夏至）达到最大值，在12月21日（冬至）达到最小值，在3月21日（春分）或9月21日（秋分）达到中间值。

选择函数

作为函数值。

根据表1.17的数据，推测A,b和

的值，作非线性拟合得

，预测该地12月21日的白昼时间为5.49小时。

二、教材100页第2章习题2第1题（满分10分）

继续考虑第2.2节“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？

“两秒准则”是否足够安全？

对于安全车距，你有没有更好的建议？

解

（1）按照2.2节中的“汽车刹车距离”案例，“两秒准则”和“一车长度准则”在模型分析与模型建立差不多相同，只是K1的取值不同。

D～前后车距（m）；

v～车速（m/s）；

K1～按照“两秒准则”，D与v之间的比例系数（s）.

于是“两秒准则”的数学模型为：

D=K1*v；（K1=2.0）;（1.0）

已经知道，刹车距离的数学模型为

d=

v+

;;（1.1）

比较（1.0）与（1.1）式得

d-D=（

+

v-

）v;

所以当

+

v-

>0时，即前后车距大于刹车距离的理论值，可以为是足够安全；

+

v-

<0时，可以为是不够安全。

代入

=0.75，

=0.082678，

=2.0，计算得到当车速超过15.11889m/s时，“两秒准则"就不够安全了。

（2）

下面的程序及图像也是很好的证明。

源程序：

v=（20:

5:

80）.*0.44704;

d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334

22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418

20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376];

d2=0.3048.*d2;

K1=1.1185;k1=0.75;k2=0.082678;d=d2+d1;

plot（[0,40],[0,2*40],'--k',[0,40]）,holdon

plot（0:

40,polyval（[k2,k1,0],0:

40）,':

k'）

plot（[v;v;v],d,'ok','MarkerSize',2）,holdoff

title（'比较刹车距离实测数据、理论值、两秒准则'）

legend（'两秒准则','刹车距离理论值',...

'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2）

xlabel（'车速v（m/s）'）,ylabel（'距离（m）'）

（3）

根据汽车的最高速度一般不超过120km/h（约33.3m/s），k2=0.082678,k1=0.75,

33.3*k2+k1=2.753177s+0.75s=3.5s,所以我认为可以采取“3.5秒准则"。

这在理论上和实际上都是比较安全的。

三、教材100页第2章习题2第3题（满分10分）

继续考虑第2.3节“生猪出售时机”案例，做灵敏度分析，分别考虑农场每天投入的资金对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响.

解：

（1）考虑每天投入的资金c发生的相对为

，则生猪饲养的天数t发生的相对变化

是

的多少倍，即定义t对c的灵敏度为

S（t,c）=

因为△c→0，所以重新定义t对c的灵敏度为

S（t,c）=

=

×

①

由课本上可知t=

②

所以t=

-

所以t是c的减函数

为了使t﹥0，c应满足rp（0）-gω（0）-c>0

结合①②

可得S（t,c）=—

=－

=－2这个结果表示的意思是如果农场每天投入的资金c增加1%，出售时间就应该提前2%。

（2）同理

（1）总收益Q对每天投入资金c的灵敏度为

S（Q,c）=

×

③

Qmax=

④

结合③④得

Qmax=－

=－

=－4这结果表示的意思是如果每天投入的资金c增加1%，那么最大利润就会减少4%

四、教材143页第3章习题3第2题（满分10分）

某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为1.68%、0.55%和-4.5%.假设开始时有100只山猫，按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势：

（1）三种自然环境下25年的变化过程，结果要列表并图示；

（2）如果每年捕获3只，山猫数量将如何变化？

会灭绝吗？

如果每年只捕获1只呢？

（3）在较差的自然环境下，如果要使山猫数量稳定在60只左右，每年要人工繁殖多少只？

解：

①解记第k年山猫xk,设自然坏境下的年平均增长率为r，则列式得

xk+1=（1+r）xk,k=0,1,2…

其解为等比数列

xk=x0（1+r）k,k=0,1,2…

当分别取r=0.0168,0.0055和-0.0450时，山猫的数量在25年内不同的环境下的数量演变为

年较好中等较差

0100100100

110210196

210310191

310510287

410710283

510910379

611110376

711210472

811410469

911610566

1011810663

1112010660

1212210758

1312410755

1412610852

1512810950

1613110948

1713311046

1813511044

1913711142

2014011240

2114211238

2214411336

2314711335

2414911433

2515211532

（1）在较好的自然环境下即r=0.0168时，xk单调增趋于无穷大，山猫的数量将无限增长；

（2）在中等的自然环境下即r=0.0055时，xk单调增并且趋于稳定值；

（3）在较差的环境中即r=-0.0450时，xk单调衰减趋于0，山猫将濒临灭绝。

②若每年捕获3只,b=－从上可以得出结论：

3，则列式为

Xk+1=（1+r）xk－b

则山猫在25年内的演变为

年较好中等较差

0100100100

1999893

2979585

3969378

4959072

5938866

6928560

7908354

8898049

9877743

10867539

11847234

12837029

13816725

14796421

15786217

16765913

17745610

1873546

1971513

2069480

216746-3

226543-6

236340-9

246137-11

255935-14

由图上可知，无论在什么环境下，如果每年捕获山猫3只，单调减趋于0，那么最终山猫的数量都会灭绝，在较差的环境中第20年就会灭绝。

同理，如果每年人工捕获山猫1只，那么山猫在不同环境中的演变为

年较好中等较差

0100100100

110110095

21019989

31029984

41039879

51049875

61049770

71059766

81069662

91079659

101079555

111089551

121099448

131109445

141119342

151119339

161129236

171139234

181149231

191159129

201169126

211179024

221189022

231198920

241208818

251218816

如果每年人工捕获山猫一只，在较好的环境下山猫的数量仍然会一直增加，在中等的环境下，山猫的数量趋于稳定，但会慢慢减少，在较差的环境下，山猫的数量一直在减少，很快就会灭绝。

③若要使山猫的数量稳定在60只左右，设每年需要人工繁殖b只，到第k年山猫的数量为xk=（1+r）xk-1+b,k=0,1,2…

这时xk=xk-1=60，r=-4.5%，代入上式得b≈3

五、教材143页第3章习题3第4题（满分10分）

某成功人士向学院捐献20万元设立优秀本科生奖学金，学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行，第二年一到期就支取，取出一部分作为当年的奖学金，剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行……请你研究这个问题，并向学院领导写一份报告.

报告：

摘要：

本文主要研究的是基金的最佳使用方案，通过最佳的基金使用计划来提高每年发给学生的奖金。

首先，计算在只有银行存款的条件下，按照收益最大化原则，把基金存入银行使每年发放的奖金数目尽可能多，由于银行存款的期限最长为五年，所以把奖金发放制定成为期五年的发放计划，第六年即可划入下一个五年周期的奖金发放计划中。

在满足基金使用要求的情况下，每年存入银行的各种存款的数目可以根据约束条件计算，然后分析银行存款和投资并存情况下各种资金的分配情况。

存款与投资同时存在的情况。

在不考虑风险的情况下，将投资看作是特殊的存款，其利率用平均收益率近似代替，按照第一步的方法计算此时奖学金发放所产生的资金分配，通过灵敏度分析得出：

奖学金发放对投资的灵敏度较高。

根据投资越分散风险越低，可知应将基金分散用于投资和存款，不应将基金大量用投资。

在考虑风险的情况下，应保证基金收益能够满足奖学金的发放要求，期末基金余额应大体与基金初始金额相等。

鉴于学校奖学金基金承担风险能力小，应采取谨慎的投资态度，因此应将学校奖学基金分为两部分：

一部分用于保证奖学金的发放；一部分用于投资。

20万可分为两部分，分别作为存款和投资资本。

一方面银行存款以20万递减的趋势进行分析得出存款奖学金发放曲线，另一方面投资0万元开始以递增趋势进行分析得出投资奖学金发放曲线，两者的步长值相等且均为0.1万元，然后将存款奖学金曲线和投资奖学金曲线在同一图中合并为一条曲线，即得出总的奖学金发放曲线，存款奖学金曲线和投资奖学金曲线