版高中数学第二章函数22函数的表示法一学案北师大版必修1.docx
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版高中数学第二章函数22函数的表示法一学案北师大版必修1
2.2 函数的表示法
（一）
学习目标
1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图像上获取有用的信息．
知识点一 解析法
思考 一次函数如何表示？
梳理 一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式（简称解析式）表示出来，这种方法称为解析法．
知识点二 图像法
思考 要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？
梳理 用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图像法．
知识点三 列表法
思考 在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？
能否用解析式表示？
梳理 用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法．
函数三种表示法的优缺点：
类型一 解析式的求法
例1 根据下列条件，求f（x）的解析式．
（1）f（f（x））＝2x－1，其中f（x）为一次函数；
（2）f（x＋
）＝x2＋
；
（3）f（x）＋2f（－x）＝x2＋2x.
反思与感悟
（1）如果已知函数类型，可以用待定系数法．
（2）如果已知f（g（x））的表达式，想求f（x）的解析式，可以设t＝g（x），然后把f（g（x））中每一个x都换成t的表达式．
（3）如果条件是一个关于f（x）、f（－x）的方程，我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f（x）、f（－x）的方程，然后消元消去f（－x）．
跟踪训练1 根据下列条件，求f（x）的解析式．
（1）f（x）是一次函数，且满足3f（x＋1）－f（x）＝2x＋9；
（2）f（x＋1）＝x2＋4x＋1；
（3）2f（
）＋f（x）＝x（x≠0）．
类型二 图像的画法及应用
例2 试画出函数y＝
的图像．
反思与感悟 描点法作函数图像的三个关注点
（1）画出函数图像时首先应关注函数的定义域，即在定义域内作图．
（2）图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像．
（3）要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
跟踪训练2 作出下列函数的图像并求出其值域．
（1）y＝2x＋1，x∈[0,2]；
（2）y＝
，x∈[2，＋∞）；
（3）y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
例3 已知f（x）的图像如图所示，则f（x）的定义域为________，值域为________．
反思与感悟 函数图像很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，寻求最优解．
跟踪训练3 函数f（x）＝x2－4x＋3（x≥0）的图像与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．
类型三 列表法及函数表示法的选择
例4 下表是某校高一
（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
测试序号成绩
姓名
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
王伟
98
87
91
92
88
95
张城
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6
（1）选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；
（2）根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．
反思与感悟 函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示．
跟踪训练4 若函数f（x）如下表所示：
x
0
1
2
3
f（x）
3
2
1
0
则f（f
（1））＝________.
1．已知函数f（x）由下表给出，则f（f（3））等于（ ）
x
1
2
3
4
f（x）
3
2
4
1
A.1B．2C．3D．4
2．如果二次函数的图像开口向上且关于直线x＝1对称，且过点（0,0），则此二次函数的解析式可以是（ ）
A．f（x）＝x2－1
B．f（x）＝－（x－1）2＋1
C．f（x）＝（x－1）2＋1
D．f（x）＝（x－1）2－1
3．已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为（ ）
A．y＝
xB．y＝
x
C．y＝
xD．y＝
x
4．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑步，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）
5．画出y＝2x2－4x－3，x∈（0,3]的图像，并求出y的最大值，最小值．
1．如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点（对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关），应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：
待定系数法、换元法、解方程组法（消元法）．
2．如何作函数的图像
一般地，作函数图像主要有三步：
列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再根据所列表中的点描出图像，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．
3．如何用函数图像
常借助函数图像研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图像交点问题．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 y＝kx＋b（k≠0）．
知识点二
思考 一张二寸照片．
知识点三
思考 对于任意一个人的序号x，都有一个他写的数字y与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系．
题型探究
例1 解
（1）由题意，设f（x）＝ax＋b（a≠0），
∵f（f（x））＝af（x）＋b＝a（ax＋b）＋b
＝a2x＋ab＋b＝2x－1，
由恒等式性质，得
∴
或
∴所求函数解析式为f（x）＝
x＋1－
或f（x）＝－
x＋1＋
.
（2）∵f（x＋
）＝x2＋
＝（x＋
）2－2，
∴f（x）＝x2－2.
又x≠0，∴x＋
≥2或x＋
≤－2，
∴f（x）中的x与f（x＋
）中的x＋
取值范围相同，
∴f（x）＝x2－2，x∈（－∞，－2]∪[2，＋∞）．
（3）∵f（x）＋2f（－x）＝x2＋2x，
将x换成－x，得f（－x）＋2f（x）＝x2－2x，
∴联立以上两式消去f（－x），
得3f（x）＝x2－6x，
∴f（x）＝
x2－2x.
跟踪训练1 解
（1）由题意，设f（x）＝ax＋b（a≠0），
∵3f（x＋1）－f（x）＝2x＋9，
∴3a（x＋1）＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得
∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f（x）＝x＋3.
（2）设x＋1＝t，则x＝t－1，
f（t）＝（t－1）2＋4（t－1）＋1，
即f（t）＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为f（x）＝x2＋2x－2.
（3）∵f（x）＋2f（
）＝x，
将原式中的x与
互换，
得f（
）＋2f（x）＝
.
于是得关于f（x）的方程组
解得f（x）＝
－
（x≠0）．
例2 解 由1－x2≥0解得函数定义域为[－1,1]．
当x＝±1时，y有最小值0.当x＝0时，
y有最大值1.
x＝±
时，y＝
.
利用以上五点描点连线，
即得函数y＝
的图像如下：
跟踪训练2 解
（1）列表：
x
0
1
2
y
1
2
3
4
5
当x∈[0,2]时，图像是直线的一部分，
观察图像可知，其值域为[1,5]．
（2）列表：
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2，＋∞）时，图像是反比例函数y＝
的一部分，观察图像可知其值域为（0,1]．
（3）列表：
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
图像是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
例3 [－2,4]∪[5,8] [－4,3]
解析 函数的定义域对应图像上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．
跟踪训练3 解 f（x）＝x2－4x＋3（x≥0）图像如图，
f（x）与直线y＝m图像有2个不同交点，
由图易知－1例4 解
（1）不能用解析法表示，用图像法表示为宜．
在同一个坐标系内画出这四个函数的图像如下：
（2）王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．
跟踪训练4 1
解析 ∵f
（1）＝2，∴f（f
（1））＝f
（2）＝1.
当堂训练
1．A 2.D 3.A 4.C
5．解 y＝2x2－4x－3（0由图易知，当x＝3时，
ymax＝2×32－4×3－3＝3.
由y＝2x2－4x－3
＝2（x－1）2－5，
∴当x＝1时，
y有最小值－5.
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