高中数学《任意角》导学案.docx
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高中数学《任意角》导学案
1．1.1 任意角
1.角的概念
（1）角可以看成
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
（2）角的表示：
如图，OA是角α的
始边，OB是角α的
终边，O是角的
顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
按旋转方向可将角分为如下三类：
2．象限角
（1）象限角：
若角的顶点在
原点，角的始边与
x轴非负半轴重合，则
角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角．
（2）轴线角：
若角的终边在
坐标轴上，则这个角
不属于任何象限．
3．终边相同的角
设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．（ ）
（2）锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．（ ）
（3）象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．（ ）
答案
（1）×
（2）√ （3）×
2．做一做
（1）下列说法正确的是（ ）
A．最大角是180°B．最大角是360°
C．角不可以是负的D．角可以任意大小
答案 D
解析 由角的定义，角可以是任意大小的．故选D.
（2）下列哪个角是第三象限角（ ）
A．15°B．105°C．215°D．315°
答案 C
解析 ∵215°＝180°＋35°，∴215°是第三象限的角．故选C.
（3）（教材改编P5T4）下列各角中，与60°角终边相同的角是（ ）
A．－300°B．－60°
C．600°D．1380°
答案 A
解析 与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°.故选A.
探究1 正确理解角的概念
例1 下列命题正确的是（ ）
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D．小于90°的角是锐角
解析 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，A错误；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，B错误；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，D错误．故选C.
答案 C
拓展提升
理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
【跟踪训练1】
（1）经过2个小时，钟表上的时针旋转了（ ）
A．60°B．－60°C．30°D．－30°
（2）射线OA绕端点O顺时针旋转90°到OB位置，接着逆时针旋转100°到OC位置，然后再顺时针旋转240°到OD位置，求∠AOD的大小．
答案
（1）B
（2）见解析
解析
（1）钟表的时针旋转一周是－360°，其中每小时旋转－
＝－30°，所以经过2个小时应旋转－60°.故选B.
（2）如图，∠AOB＝－90°，∠BOC＝100°，∠COD＝－240°，∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝（－90°）＋100°＋（－240°）＝－230°.
探究2 终边相同的角的表示
例2
（1）写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来；
（2）分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
解
（1）与角α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝－1910°＋k·360°，k∈Z}．
∵－720°≤β<360°，
∴－720°≤－1910°＋k·360°<360°，
3
≤k<6
.
故k＝4,5,6，
k＝4时，β＝－1910°＋4×360°＝－470°，
k＝5时，β＝－1910°＋5×360°＝－110°，
k＝6时，β＝－1910°＋6×360°＝250°.
（2）①{β|β＝k·180°，k∈Z}．
②{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
[变式探究] 在与角1030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
（1）最小的正角；
（2）最大的负角．
解 1030°÷360°＝2……310°，
所以1030°＝2×360°＋310°，
所以与角1030°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．
（1）所求的最小正角为310°.
（2）取k＝－1得所求的最大负角为－50°.
拓展提升
在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
（1）把任意角化为α＋k·360°（k∈Z且0°≤α<360°）的形式，关键是确定k.可以用观察法（α的绝对值较小），也可用除法．
（2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
【跟踪训练2】 已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.
答案 －960°
解析 ∵α与120°角终边相同，
故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.
又∵－990°即－1110°，
故当k＝－3时，α＝（－3）·360°＋120°＝－960°.
探究3 象限角的判定
例3
（1）已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①－75°；②855°；③－510°；
（2）若角α是第一象限角，问－α，2α，
是第几象限角？
解
（1）作出各角，其对应的终边如图所示：
①由图a可知：
－75°是第四象限角．
②由图b可知：
855°是第二象限角．
③由图c可知：
－510°是第三象限角．
（2）∵α是第一象限角，
∴k·360°<α①－k·360°－90°<－α<－k·360°（k∈Z），
∴－α所在区域与（－90°，0°）范围相同，
故－α是第四象限角．
②2k·360°<2α<2k·360°＋180°（k∈Z），
∴2α所在区域与（0°，180°）范围相同，
故2α是第一、二象限角或终边落在y轴的正半轴．
③k·120°<
解法一（分类讨论）：
当k＝3n（n∈Z）时，
n·360°<
∴
是第一象限角；
当k＝3n＋1（n∈Z）时，
n·360°＋120°<
∴
是第二象限角；
当k＝3n＋2（n∈Z）时，
n·360°＋240°<
∴
是第三象限角．
综上可知：
是第一、二或第三象限角．
解法二（几何法）：
如图，
先将各象限分成3等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为
终边所落在的区域，故
为第一、二或第三象限角．
拓展提升
象限角的判定方法
（1）根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．
（2）将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．
（3）nα所在象限的判断方法
确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．
（4）
所在象限的判断方法
已知角α所在象限，要确定角
所在象限，有两种方法：
①用不等式表示出角
的范围，然后对k的取值分情况讨论：
被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论．
②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域就是
的终边所落在的区域．如此，
所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．
【跟踪训练3】 若φ是第二象限角，那么
和90°－φ都不是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
答案 B
解析 ∵φ是第二象限角，∴k·360°＋90°<φ终边是第一或第三象限角，而－φ显然是第三象限角，∴90°－φ是第四象限角．故选B.
探究4 区域角的表示
例4 写出终边落在阴影部分的角的集合．
解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
①{α|k·360°＋30°≤α②{α|k·360°＋210°≤α∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|（2k＋1）·180°＋30°≤α<（2k＋1）·180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或（2k＋1）·180°＋30°≤α<（2k＋1）·180°＋105°，k∈Z}
＝{α|k·180°＋30°≤α[条件探究] 将例4改为下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合（包括边界）．
解
（1）{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}∪{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}．
（2）先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
拓展提升
区域角的写法可分三步
（1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
（2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；
（3）用不等式表示区域内的角，组成集合．
【跟踪训练4】 写出终边落在图中阴影区域内（不包括边界）的角的集合．
解
（1）先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|k·360°＋135°<α（2）{α|k·360°－60°<α1.角的概念的理解
（1）弄清角的始边与终边．
（2）结合图形明确这个角从始边到终边转过了多少度．
（3）注意逆时针旋转与顺时针旋转的区别．
2.研究象限角时应注意的问题
（1）前提条件：
角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
（2）并不是任何角都是象限角，如终边落在坐标轴上的角叫轴线角，轴线角的表示如下表：
终边所在的位置
角的集合
x轴非负半轴
{α|α＝k·360°，k∈Z}
x轴非正半轴
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
y轴非负半轴
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
y轴非正半轴
{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
3.表示与α终边相同的角时应注意的问题
（1）k是整数，这个条件不能漏掉．
（2）α是任意角．
（3）k·360°与α之间是“＋”号，如k·360°－30°应看成k·360°＋（－30°）（k∈Z）．
（4）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．
（5）终边相同的角的表示不唯一.
1．－215°是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
答案 B
解析 ∵－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，∴－215°是第二象限角，故选B.
2．下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角一定相等
B．钝角一定是第二象限角
C．第一象限角一定不是负角
D．小于90°的角都是锐角
答案 B
解析 A项，因30°和390°的终边相同，但两个角不相等，故A项错误；B项，钝角一定是第二象限角，故B项正确；C项，因－280°是第一象限角，但此角为负角，故C项错误；D项，因－60°是小于90°的角，但它不是锐角，故D项错误．综上，选B.
3．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．
答案 －5 －60
解析 将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×
＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×
＝60°，所转成的角度是－60°.
4．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________.
答案 150°＋k·360°（k∈Z）
解析 ∵角α，β的终边关于y轴对称，α＝30°，
∴β＝180°－30°＋k·360°＝150°＋k·360°（k∈Z）．
5．试写出终边在直线y＝－
x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．
解 终边在直线y＝－
x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z）∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.
A级：
基础巩固练
一、选择题
1．下列说法正确的个数是（ ）
①终边在x轴非负半轴上的角是零角；②钝角一定大于第一象限的角；③第二象限的角一定大于第一象限的角；④第四象限角一定是负角．
A．0B．1C．2D．3
答案 A
解析 ①错，终边在x轴非负半轴上的角为k·360°，k∈Z，显然不只是零角；②错，390°是第一象限的角，大于任一钝角α（90°<α<180°）；③错，第二象限角中的－210°小于第一象限角中的30°；④错，285°角为第四象限角，但不是负角．故选A.
2．已知角α，β的终边相同，则角（α－β）的终边在（ ）
A．x轴的非负半轴上B．y轴的非负半轴上
C．x轴的非正半轴上D．y轴的非正半轴上
答案 A
解析 ∵角α，β的终边相同，∴α＝k·360°＋β，k∈Z.∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴α－β的终边在x轴的非负半轴上，故选A.
3．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝（ ）
A．150°B．－150°C．390°D．－390°
答案 B
解析 各角和的旋转量等于各角旋转量的和．∴120°＋（－270°）＝－150°.故选B.
4．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为（ ）
A．k·360°＋β（k∈Z）B．k·360°－β（k∈Z）
C．k·180°＋β（k∈Z）D．k·180°－β（k∈Z）
答案 B
解析 因为角α和角β的终边关于x轴对称，所以α＋β＝k·360°（k∈Z），所以α＝k·360°－β（k∈Z）．故选B.
5．若角α为第二象限角，则
的终边一定不在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案 C
解析 因为角α为第二象限角，所以k·360°＋90°<α的取值范围分别为（n·360°＋30°，n·360°＋60°），（n·360°＋150°，n·360°＋180°），（n·360°＋270°，n·360°＋300°），n∈Z，所以
的终边落在第一或二或四象限，故选C.
二、填空题
6．从13：
00到14：
00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．
答案 －30° －360°
解析 经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.
7．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.
答案 k·360°＋60°，k∈Z
解析 先求出β的一个角，β＝α＋180°＝60°.
再由终边相同角的概念知：
β＝k·360°＋60°，k∈Z.
8．若集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则M________N．（填“”“”）
答案
解析 M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}
＝{x|x＝45°·（2k＋1），k∈Z}，
N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}
＝{x|x＝45°·（k＋2），k∈Z}，
∵k∈Z，∴k＋2∈Z，且2k＋1为奇数，∴MN.
三、解答题
9．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．
解
（1）{x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．
（2）{x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或（2k＋1）·180°＋30°≤x≤（2k＋1）·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}．
10．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
解 由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°.②
由①②，得α＝15°，β＝65°.
B级：
能力提升练
1．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，
（1）有几种终边不同的角？
（2）写出区间（－180°，180°）内的角；
（3）写出第二象限的角的一般表示法．
解
（1）在α＝k·90°＋45°中，令k＝0,1,2,3知，
α＝45°，135°，225°，315°.
∴在给定的角的集合中，终边不同的角共有4种．
（2）由－180°.
又k∈Z，故k＝－2，－1,0,1.
∴在区间（－180°，180°）内的角有－135°，－45°，45°，135°.
（3）其中第二象限的角可表示为k·360°＋135°，k∈Z.
2．已知角β的终边在直线
x－y＝0上．
（1）写出角β的集合S；
（2）写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．
解
（1）如图，直线
x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋（2k＋1）·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
（2）由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n·180°<720°，n∈Z.解得－
，n∈Z，所以n＝－2，－1，0,1,2,3.
所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素为：
60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；
60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.
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