1432公式法单元教案04.docx

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1432公式法单元教案04

14.3.2　公式法

1.了解公式法分解因式的意义及其与整式的乘法之间的关系.

2.会用公式法（直接应用公式不超过两次）进行因式分解.

通过了解公式法分解因式的意义及其与整式的乘法之间的关系,从中体会事物之间可以互相转化的辩证思想.

培养学生接受矛盾的对立统一观点,独立思考、勇于探索的精神和实事求是的科学态度.

【重点】　用公式法分解因式.

【难点】　对公式的结构特征做出具体分析,掌握公式法的特点,灵活运用公式法分解因式.

第

课时

1.能说出平方差公式的特点.

2.能比较熟练地应用平方差公式进行因式分解.

1.在运用平方差公式进行因式分解的同时培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力,用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.

2.进一步体会“整体”思想,培养“换元”的意识.

培养学生的观察、联想能力,进一步了解换元的思想方法.

【重点】　应用平方差公式分解因式.

【难点】　灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式,并理解因式分解的要求.

【教师准备】　预设学生练习中易错的地方.

【学生准备】　复习提公因式法和平方差公式.

导入一:

【问题1】　你能叙述多项式因式分解的定义吗?

【问题2】　运用提公因式法分解因式的步骤是什么?

【问题3】　你能将a2-b2分解因式吗?

你是如何思考的?

[设计意图]　通过复习引入新课,让学生体会知识间的必然联系,认识到了除了用提公因式法进行因式分解,还有其他的因式分解的方法.

导入二:

1.什么是因式分解?

2.判断下列各式由左边到右边的变形是否为因式分解.

（1）a2-1=（a+1）（a-1）;

（2）（a+1）（a-1）=a2-1;

（3）x-1=x

;

（4）ab+ac+d=a（b+c）+d.

3.将下列各式因式分解.

（1）8m2n-2mn;

（2）-9x2y2+12xyz.

[设计意图]　让学生通过判断、计算,循序渐进地体会利用平方差公式进行因式分解的方法,发现利用平方差公式进行因式分解的特点.

一、问题探究

思路一

　　[过渡语]　下面请同学们回答导入中的三个问题.

问题1.多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用,也就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式.

问题2.提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式,如果没有公因式,就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解.

问题3.对不能使用提公因式法分解因式的多项式,不能说不能进行因式分解.要将a2-b2进行因式分解,可以发现它没有公因式,不能用提公因式法分解因式,但我们还可以发现这个多项式是两个式的平方差形式,所以用平方差公式可以写成如下形式:

a2-b2=（a+b）（a-b）.

这种分解因式的方法称为运用公式法.今天我们就来学习利用平方差公式分解因式.

【说明】　学生回答教师的问题,小组讨论问题3.

[设计意图]　多项式的乘法公式的逆向应用,就是多项式的因式分解公式,如果被分解的多项式符合公式的条件,就可以直接写出因式分解的结果,由问题3学生比较容易想到前面所学的平方差公式.

观察平方差公式:

a2-b2=（a+b）（a-b）的项、指数、符号有什么特点?

学生加以分析,教师归纳总结:

（1）左边是二项式,每项都是平方的形式,两项的符号相反;

（2）右边是两个多项式的积,一个因式是两数的和,另一个因式是这两数的差;

（3）在乘法公式中,“平方差”是计算结果,而在因式分解中,“平方差”是分解因式的多项式,由此可知如果多项式是两数差的形式,并且这两个数又都可以写成平方的形式,那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式.

[知识拓展]　把一个多项式分解因式,一般可按下列步骤进行:

（1）如果多项式的各项有公因式,那么先提取公因式.

（2）如果多项式的各项没有公因式（或已提取公因式）,那么可尝试用公式法来分解.

（3）分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止.

填空:

（1）4a2=（　　）2;

（2）

b2=（　　）2;

（3）a4=（　　）2;（4）121a2b2=（　　）2;

（5）

x4=（　　）2;（6）x4y6=（　　）2.

[设计意图]　填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平方的形式.也可以对积的乘方、幂的乘方运算法则给予一定时间复习,避免出现4a2=（4a）2这一类错误.

思路二

　　[过渡语]　刚才同学们回答了这三个问题,下面我们对问题3加以分析.

在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）（如图

（1）所示）.把余下的部分恰好剪拼成一个矩形（如图

（2）所示）,通过计算两个图形（阴影部分）的面积,可以得到一个怎样的等式?

【师讲】　通过图形可以知道,图

（2）是由图

（1）拼成的,它们的面积相等,图

（1）中阴影部分的面积为a2-b2;图

（2）中阴影部分为矩形（长为a+b,宽为a-b）,面积为（a+b）（a-b）.因此（a+b）（a-b）=a2-b2或a2-b2=（a+b）（a-b）,（a+b）（a-b）=a2-b2是乘法公式,而反过来a2-b2=（a+b）（a-b）这是因式分解的另一种方法——公式法.

（板书）知识点:

平方差公式.

【师讲】　把乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2反过来就可得到分解因式中的平方差公式:

a2-b2=（a+b）（a-b）

【语言叙述】　（板书）两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.

【师问】　此公式有何特点?

学生探究分析、交流,在充分讨论基础上教师做出总结形成结论.

【板书结论】　

（1）左边是二项式,两项均能写成完全平方的形式,且符号相反;

（2）右边是这两个数的和与这两个数的差的积.

仿照练习:

（体验用平方差公式分解因式的过程）

（1）x2-4=x2-22=（x+2）（x-2）;

（2）x2-16=（　　　　）2-（　　　　）2=（　　　　）（　　　　）; 

（3）9-y2=（　　　　）2-（　　　　）2=（　　　　）·（　　　　）; 

（4）1-a2=（　　　　）2-（　　　　）2=（　　　　）·（　　　　）. 

【师】　你能由以上知识分解下列几个多项式吗?

（1）p2-16;

（2）y2-4;（3）x2-

.

学生口答,老师给予肯定或点拨.

二、例题讲解

　分解因式.

（1）4x2-9;　　

（2）（x+p）2-（x+q）2.

可以通过多媒体课件演示

（1）中的2x,

（2）中的x+p相当于平方差公式中的a;

（1）中的3,

（2）中的x+q相当于平方差公式中的b,进而说明公式中的a与b可以表示一个数,也可以表示一个单项式,甚至是多项式,渗透换元思想.

解:

（1）4x2-9

=（2x）2-32

=（2x+3）（2x-3）.

（2）（x+p）2-（x+q）2

=[（x+p）+（x+q）][（x+p）-（x+q）]

=（2x+p+q）（p-q）.

　分解因式.

（1）x4-y4;　　

（2）a3b-ab.

〔解析〕　

（1）x4-y4可以写成（x2）2-（y2）2的形式,这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.但分解到（x2+y2）（x2-y2）后,部分学生不会继续分解因式,针对这种情况,可以回顾因式分解定义后,让学生理解因式分解的要求是必须进行到多项式的每一个因式都不能再分解为止.

（2）不能直接利用平方差公式分解因式,但通过观察可以发现a3b-ab有公因式ab,应先提出公因式,再进一步分解.

学生解题中可能发生如下错误:

（1）系数变形时计算错误;

（2）结果不化简;

（3）化简时去括号发生符号错误.

最后教师提出:

（1）多项式分解因式的结果要化简;

（2）在化简过程中要正确应用去括号法则,并注意合并同类项;

（3）分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止.

1.公式:

a2-b2=（a+b）（a-b）.

2.法则:

两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.

3.注意:

（1）左边是二项式,每项都是平方的形式,两项的符号相反;

（2）右边是两个多项式的积,一个因式是两数的和,另一个因式是这两数的差;

（3）在乘法公式中,“平方差”是计算结果,而在因式分解中,“平方差”是要分解因式的多项式;

（4）平方差公式的使用条件:

如果多项式是两数差的形式,并且这两个数又都可以写成平方的形式,那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式.

1.将a2-9分解因式的结果是（　　）

　　A.（a+9）（a-9）B.（a+3）（a-3）

C.（a+3）2D.（a-3）2

解析:

a2-9=（a+3）（a-3）.故选B.

2.将（a-1）2-1分解因式,结果正确的是（　　）

A.a（a-1）B.a（a-2）

C.（a-2）（a-1）D.（a-2）（a+1）

解析:

原式=（a-1+1）（a-1-1）=a（a-2）.故选B.

3.计算552-152的结果是（　　）

A.40B.1600

C.2400D.2800

解析:

552-152=（55+15）×（55-15）=70×40=2800.故选D.

4.用平方差公式分解因式.

（1）36-x2;

（2）-a2+b2;

（3）x2-16y2;

（4）x2y2-z2;

（5）（x+2）2-92;

（6）（x+a）2-（y+b）2;

（7）25（a+b）2-4（a-b）2;

（8）a2-16.

解析:

直接利用平方差公式进行因式分解.

解:

（1）原式=（6+x）（6-x）.　

（2）原式=（b+a）（b-a）.　（3）原式=（x+4y）（x-4y）.　（4）原式=（xy+z）（xy-z）.　（5）原式=[（x+2）+9][（x+2）-9]=（x+11）（x-7）.　（6）原式=[（x+a）+（y+b）][（x+a）-（y+b）]=（x+a+y+b）（x+a-y-b）.　（7）原式=[5（a+b）+2（a-b）][5（a+b）-2（a-b）]=（7a+3b）（3a+7b）.　（8）原式=（a+4）（a-4）.

第1课时

一、问题探究

二、例题讲解

例1

例2

一、教材作业

【必做题】

教材第117页练习第1,2题.

【选做题】

教材第119页习题14.3第2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.分解因式（x+1）2-1的结果是（　　）

A.（x-2）2B.x2

C.（x-1）2D.x（x+2）

2.下列各式中,能用平方差公式分解因式的是（　　）

A.x2+4y2B.x2-2y2+1

C.-x2+4y2D.-x2-4y2

3.分解因式x4-1的结果为（　　）

A.（x2-1）（x2+1）B.（x+1）2（x-1）2

C.（x-1）（x+1）（x2+1）D.（x-1）（x+1）3

4.对于任何整数a,多项式（3a+5）2-4都能（　　）

A.被9整除B.被a整除

C.被a+1整除D.被a-1整除

5.（a+2b）2-（x-3y）2分解因式为（　　）

A.（a+2b+x-3y）（a+2b-x-3y）

B.（a+2b+x-3y）（a+2b-x+3y）

C.（a+2b+x+3y）（a+2b-x-3y）

D.（a+2b+x+3y）（a+2b-x+3y）

【能力提升】

6.分解因式.

（1）-4x2+（2x-3y）2;

（2）16（a+b）2-9（a-b）2;

（3）（a2-b2）+（3a+3b）.

7.计算:

×…×

（n是正整数）.

【拓展探究】

8.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”,如4=22-02,12=42-22,20=62-42.因此4,12,20都是“神秘数”.

（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗?

为什么?

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数）,由这两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数吗?

为什么?

【答案与解析】

1.D（解析:

（x+1）2-1=[（x+1）+1][（x+1）-1]=x（x+2）.故选D.）

2.C（解析:

A.x2+4y2两平方项符号相同,不能用平方差公式分解因式,故错误;B.x2-2y2+1有三项,不能用平方差公式分解因式,故错误;C.-x2+4y2符合平方差公式的特点,可用平方差公式分解因式,故正确;D.-x2-4y2两平方项符号相同,不能用平方差公式分解因式,故错误.故选C.）

3.C（解析:

x4-1=（x2-1）（x2+1）=（x+1）·（x-1）（x2+1）.故选C.）

4.C（解析:

原式=（3a+5+2）（3a+5-2）=3（3a+7）（a+1）,则对于任何整数a,多项式（3a+5）2-4都能被a+1整除.故选C.）

5.B（解析:

（a+2b）2-（x-3y）2=（a+2b+x-3y）·（a+2b-x+3y）.故选B.）

6.解:

（1）-4x2+（2x-3y）2=（2x-3y+2x）（2x-3y-2x）=-3y（4x-3y）.　

（2）16（a+b）2-9（a-b）2=[4（a+b）+3（a-b）][4（a+b）-3（a-b）]=（7a+b）（a+7b）.　（3）（a2-b2）+（3a+3b）=（a+b）（a-b）+3（a+b）=（a-b+3）（a+b）.

7.解:

×…×

×…×

×…×

.

8.解:

（1）∵28=82-62,2012=5042-5022,∴28和2012这两个数是“神秘数”.　

（2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数.理由如下:

（2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=2（4k+2）=4（2k+1）,∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数.