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第64讲极限和导数教案

极限和导数

相关知识

1.导数的有关概念。

（1）定义：

函数y=f（x）的导数f（x），就是当?

0时，函数的增量?

y与自变量的增量?

x的比极限，即f（x）?

lim//

y的?

yf（x?

x）?

f（x）?

lim。

（2）实际背景：

瞬时速度，加速度，角速度，电流等。

（3）几何意义：

函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0,f（x0））处的切线的斜率。

2．求导的方法：

（1）常用的导数公式：

C=0；（x）=mx（m∈Q）;（sinx）=cosx;（cosx）=-sinx;（e）=e;（a）=alna

x//

m-1

（lnx）/?

1;x1（logax）/?

logae.

（2）两个函数的四则运算的导数：

（u?

v）/?

u/?

v/;（uv）/?

u/v?

uv/;/

u/v?

uv/?

（v?

0）.2v?

（3）复合函数的导数：

y3.导数的运用：

（1）判断函数的单调性。

当函数y=f（x）在某个区域内可导时，如果f（x）>0，则f（x）为增函数；如果f（x）用心爱心专心

-1-

/x?

y/u?

u/x

（2）极大值和极小值。

设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f（x）A类例题例1求函数的导数

（1）y?

（2）y?

（ax?

bsin2?

x）3（3）y?

f（x2（1?

x2）cosx?

1）

（1）解:

（1?

x）?

（1?

x2）cosx?

（1?

x）[（1?

x2）cosx]?

（1?

x2）2?

cos2x?

（1?

x2）cosx?

（1?

x）[（1?

x2）?

cosx?

（1?

x2）（cosx）?

]（1?

x2）2cos2x?

（1?

x2）cosx?

（1?

x）[2xcosx?

（1?

x2）sinx]（1?

x2）2cos2x

（x2?

2x?

1）cosx?

（1?

x）（1?

x2?

）sinx（1?

x2）2cos2x

（2）解y=μ3

μ=ax－bsin2

ωx,μ=av－byv=x,y=sinγγ=ωx

y′=（μ3）′=3μ2·μ′=3μ2（av－by）′

=3μ2（av′－by′）=3μ2

（av′－by′γ′）

=3（ax－bsin2ωx）2

（a－bωsin2ωx）（3）解法一设y=f（μ）,μ=v,v=x2

+1,则

y′x=y′′x=f′（μ）·1－1μμ′v·v2v2·2x

=f′（x2?

1）·

112

x2·2x?

xf?

（x2?

1）,

x2?

1解法二y′=［f（x2?

1）］′=f′（x2?

1）·（x2?

1）′

11=f′（x2?

1）·2?

2（x+1）2·（x2

+1）′

用心爱心专心-2-

=f′（x?

1）·（x+1）2·2x

212=

xx2?

1f′（x2?

1）

说明本题3个小题分别涉及了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法这是导数中比较典型的求导类型

解答本题的关键点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数

本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错

例2．观察（xn）?

nxn?

1，（sinx）?

cosx，（cosx）sinx，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。

f（x?

x）?

f（x）?

（x）

xf（?

x）?

f（?

x）f（x?

x）?

f（x）?

lim　　f?

（?

x）?

lim

xf（x?

x）?

f（x）?

（x）　　?

lim?

解：

若f（x）为偶函数　　f（?

x）?

f（x）　　令lim∴可导的偶函数的导函数是奇函数

另证：

[f（?

x）]?

（?

x）?

（?

x）f?

（x）

∴可导的偶函数的导函数是奇函数

例3已知曲线Cy=x－3x+2x,直线l:

y=kx,且l与C切于点（x0,y0）（x0≠0），求直线l的方程及切点坐标

解l过原点，知k=

y032

（x0≠0）,点（x0,y0）在曲线C上，y0=x0－3x0+2x0,x0∴

y02

=x0－3x0+2x0y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2

又k=

y022

∴3x0－6x0+2=x0－3x0+2x02x0－3x0=0,∴x0=0或x0=x≠0,知x0=

3232333233∴y0=（）－3（）+2·=－

2228∴k=

y01=－x04用心爱心专心

-3-

∴l方程y=－

133x切点（，－）428情景再现?

x21．y?

f（x）ax?

bx?

1在x?

1处可导，则a?

12．已知f（x）在x=a处可导，且f′（a）=b，求下列极限：

f（a?

h2）?

f（a）f（a?

3h）?

f（a?

h）　　lim；lim

02hh

3．设f（x）=（x-1）（x-2）…（x-100），求f′

（1）。

B类例题例4

（1）试述函数y=f（x）在x=0处的导数的定义；

（2）若f（x）在R上可导，且f（x）=-f（x），求f（0）。

（1）解：

如果函数y=f（x）在x=0处的改变量△y与自变量的改变量△x之比

yf（0?

x）?

f（0）?

，当?

0时有极限，这极限就称为y=f（x）在x=0处的导数。

x记作f（0）?

/lim?

0f（0?

x）?

f（0）。

（2）解法一：

∵f（x）=f（-x），则f（△x）=f（-△x）∴f（0）?

/lim?

0f（?

x）?

f（0）f（?

x）?

f（0）?

lim

0当?

0时，有?

0∴f（0）?

//lim?

0f（?

x）?

f（0）?

f/（0）

x∴f（0）?

0。

解法二：

∵f（x）=f（-x），两边对x求导，得f（x）?

f（x）?

（?

x）?

f（x）∴f（0）?

f（0）∴f（0）?

0。

///////用心爱心专心-4-

链接说明本题涉及对函数在某一点处导数的定义。

题可对其几何意义加以解释：

于f（x）=f（-x）,所以函数y=f（x）为偶函数，它的图象关于y轴对称，因此它在x=x0处的切线关于y轴对称，斜率为互为相反数，点（0,f（0））位于y轴上，且f（0）存在，故在该点的切线必须平行x轴，于是有f（0）=0。

在题的解二中可指出：

可导的偶函数的导数为奇函数，让学生进一步思考：

可导的奇函数的导函数为偶函数吗？

例5利用导数求和

2n－1*

（1）Sn=1+2x+3x+…+nx（x≠0,n∈N）

23n

（2）Sn=C1n+2Cn+3Cn+…+nCn,（n∈N）

解

（1）当x=1时

1Sn=1+2+3+…+n=n（n+1）;

2当x≠1时，

xn?

1∵x+x+x+…+x=,

x两边都是关于x的函数，求导得

nx?

xn?

1（x+x+x+…+x）′=（）′

n1?

（n?

1）xn?

nxn?

1即Sn=1+2x+3x+…+nx=

（1?

x）22

n－1

（2）∵（1+x）=1+C1nx+Cnx+…+Cnx,

n两边都是关于x的可导函数，求导得

232nn－1n（1+x）n－1=C1+2Cx+3Cx+…+nC,nnnnx令x=1得，n·2

n－1

23n=C1n+2Cn+3Cn+…+nCn,

n－1

2n即Sn=C1n+2Cn+…+nCn=n·2

说明要注意思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力通过对数列的通项

nn－1

进行联想，合理运用逆向思维求导公式（x）′=nx,可联想到它们是另外一个和式的导数关键要抓住数列通项的形式结构

本题难点是学生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想第

（1）题要分x=1和x≠1讨论，等式两边都求导

用心爱心专心-5-

1x?

11例6．x?

（0,?

）求证

lnx?

xn?

Nn?

2求证111112?

3n?

lnn?

2n?

证：

令1?

1x?

tx?

0∴t?

1x?

1t?

原不等式?

1t?

lnt?

1令f（t）?

lnt∴f?

（t）?

（1,?

）f?

（t）?

0∴t?

（1,?

）f（t）?

∴f（t）?

（1）?

∴t?

lnt令g（t）?

lnt?

1∴g?

（t）?

1t?

1t2t2t?

（1,?

）g?

（t）?

0　　∴t?

（1,?

）g（t）?

∴g（t）?

（1）?

0　　∴lnt?

1∴1x?

11tx?

lnx?

x令x?

1,2?

1上式也成立

将各式相加

12?

131n?

ln21?

ln3n112lgn?

2n?

1即12?

131n?

lnn?

121n?

例7．已知a?

0,n为正整数.

设y?

（x?

a）n,证明y?

n（x?

a）n?

1；

设f?

n（x）?

xn?

（x?

a）n,对任意n?

a,证明fn?

1（n?

1）?

（n?

1）f?

n（n）.n证明：

因为（x?

a）n?

Ckn（?

a）n?

kxk，

0n所以nykCk（?

kk?

1na）x?

nCk?

1n?

kn?

1（?

a）xk?

n（x?

a）n?

1.k?

0对函数fnn（x）?

（x?

a）n求导数:

n（x）?

nxn?

n（x?

a）n?

1,所以f?

n（n）?

n[nn?

（n?

a）n?

1].当x?

0时,f?

n（x）?

0.?

当x?

a时,fnn（x）?

xn?

（x?

a）是关于x的增函数.因此,当n?

a时,（n?

1）n?

（n?

a）n?

nn?

（n?

a）n∴f?

1（n?

1）?

（n?

1）[（n?

1）n?

（n?

a）n]?

（n?

1）（nn?

（n?

a）n）

用心爱心专心

-6-

（n?

1）（nn?

n（n?

a）n?

1）?

（n?

1）fn（n）.

即对任意n?

a,fn?

1（n?

1）?

（n?

1）fn（n）.

情景再现4设f（x）在点x0处可导，a为常数，则lim?

f（x0?

x）?

f（x0?

x）等于（　　）

（x0）　　（x0）　　（x0）

5．求证下列不等式

x2x2x?

（0,?

）?

ln（1?

x）?

22（1?

x）sinx?

2x?

（0,?

2）

sinx?

tanx?

xx?

（0,6已知a?

0，函数f（x）?

2）

ax2,x?

（0,?

）,设0?

x1?

，记曲线y?

f（x）在点xaM（x1,f（x1））处的切线为l。

求l的方程；

设l与x轴的交点为（x2,0），证明：

①0?

x2?

111②若x1?

，则x1?

x2?

aaaC类例题例8设函数f（x）=ax-2bx+cx+4d（a、b、c、d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-3

2。

（1）求a、b、c、d的值；

（2）当x∈[-1,1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？

试证明你的结论；

（3）若x1,x2∈[-1,1]时，求证：

|f（x1）-f（x2）|≤

4。

3解

（1）∵函数f（x）图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f（-x）=-f（x）.

32322

∴-ax-2bx-cx+4d=-ax+2bx-cx-4d，即bx-2d=0恒成立.

∴b=0,d=0,即f（x）=ax+cx.∴f′（x）=3ax+c.

22.∴f′

（1）=0且f

（1）=-,3321即3a+c=0且a+c=-.解得a=,c=-1.

33∵x=1时,f（x）取极小值-

（2）证明：

当x∈[-1,1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在

用心爱心专心

-7-

两点A（x1,y1）、B（x2+y2），使得过这两点的切线互相垂直，

222

则f′（x）=x-1，知两点处的切线斜率分别为k1=x1-1,k2=x2-1,

且（x1-1）（x2-1）=-1.　　（*）

∵x1、x2∈[-1,1],∴x1-1≤0，x2-1≤0

∴（x1-1）（x2-1）≥0，这与（*）相矛盾，故假设不成立.

（3）证明：

∵f′（x）=x-1,f′（x）=0,得x=±1.

当x∈（-∞，-1）或时，f′（x）＞0;当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0.

∴f（x）在[-1,1]上是减函数，且fmax（x）=f（-1）=∴在[-1,1]上，|f（x）|≤

22,fmin（x）=f

（1）=-.332.3于是x1,x2∈[-1,1]时，|f（x1）-f（x2）|≤|f（x1）|+|f（x2）|≤故x1,x2∈[-1,1]时,|f（x1）-f（x2）|≤

224+=.3334.3说明①若x0点是y=f（x）的极值点，则f′（x0）=0,反之不一定成立；

②在讨论存在性问题时常用反证法；

③利用导数得到y=f（x）在[-1,1]上递减是解第（3）问的关键.例9已知平面向量a=（3,-1）.b=（

13,）.22?

（1）证明a⊥b；

（2）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+（t-3）b，y=-ka+tb，x⊥y，试求

函数关系式k=f（t）；

（3）据

（2）的结论，讨论关于t的方程f（t）-k=0的解的情况.分析通过向量的运算转化为函数问题

13解

（1）∵a?

b=3×+（-1）×=0∴a⊥b.

222

（2）∵x⊥y，∴x?

y=0即[a+（t-3）b]·（-ka+tb）=0.

222

整理后得-ka+[t-k（t-3）]a?

b+（t-3）·b=02?

2∵a?

b=0，a=4，b=1，

∴上式化为-4k+t（t-3）=0，即k=（3）讨论方程

t（t-3）41122

t（t-3）-k=0的解的情况，可以看作曲线f（t）=t（t-3）与直线y=k44123（t-1）=t（t+1）（t-1）.44用心爱心专心

-8-

的交点个数.于是f′（t）=

令f′（t）=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′（t）、f（t）的变化情况如下表：

t（-∞,-1）+↗-10极大值（-1,1）-↘10极小值（1,+∞）+↗f′（t）F（t）1.21当t=-1时，f（t）有极小值，f（t）极小值=-.

212

函数f（t）=t（t-3）的图象如图13－2－1所示，

4当t=-1时，f（t）有极大值，f（t）极大值=可观察出：

11或k＜-时,方程f（t）-k=0有且只有一解；2211

（2）当k=或k=-时,方程f（t）-k=0有两解；

2211（3）当-＜k＜时,方程f（t）-k=0有三解.

（1）当k＞

说明导数的应用为函数的作图提供了新途径。

例10已知函数f（x）=ln（1+x）-x,g（x）=xlnx.

（1）求函数f（x）的最大值；

b）＜（b-a）ln2.21解：

（1）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），f′（x）=-1.

（2）设0＜a＜b,证明：

0＜g（a）+g（b）-2g（

令f′（x）=0，解得x=0.

当-1＜x＜0时，f′（x）＞0;当x＞0时，f′（x）＜0.

又f（0）=0，故当且仅当x=0时，f（x）取得最大值,最大值为0.证法一：

g（a）+g（b）-2g（=alna+blnb-（a+b）ln=aln

b）2a?

b22a2b?

blna?

ba?

b结论知ln（1+x）-x-1，且x≠0）

aa?

0,?

02a2b2ab?

ab?

a2ba?

ba?

ln（1?

）ln（1?

）?

因此ln，ln，a?

b2a2aa?

b2b2b2a2bb?

aa?

aln?

bln0.

ba?

b222aa?

又，a?

b2b2a2ba?

b2b2b?

aln?

bln?

aln?

bln?

（b?

a）ln?

（b?

a）ln2.

ba?

b2ba?

ba?

b题设0

用心爱心专心

-9-

综上0?

g（a）?

g（b）?

2g（a?

b）?

（b?

a）ln2.2证法二：

g（x）?

xlnx,g?

（x）?

lnx?

1.设F（x）?

g（a）?

g（x）?

2g（a?

x），则2a?

xa?

xF?

（x）?

2[g（）]?

lnx?

ln.

22当0?

F（a）?

0,b?

a,?

F（b）?

0即0?

g（a）?

g（b）?

2g（设G（x）?

F（x）?

（x?

a）ln2，则G?

（x）?

lnx?

lna?

b）.2a?

ln2?

lnx?

ln（a?

x）2当x>0时，G?

（x）?

0，因此G（x）在（0,+?

）上为减函数。

G（a）?

0,b?

a,?

G（b）?

即g（a）?

g（b）?

2g（链接a?

b）?

（b?

a）ln2，综上，原不等式得证。

2x3?

sinx?

x1．证明：

当x>0时，有x?

62．已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任2意的n∈N*，都有4Sn=（an+1）

（1）求数列{an}的通项公式；n

（2）若2≥tSn对于任意的n∈N*成立，求实数t的最大值。

n2分析：

利用Sn-Sn-1=an（n≥2）易得an=2n-1，从而Sn=n则问转化为t≤n恒成22n2立，故只需求出数列bn?

n的最小项，有以下求法：

2法一：

研究数列{bn}的单调性。

2n2x法二：

数列作为一类特殊的函数，欲求{2}的最小项可先研究连续函数y?

2（x?

0）nx用心爱心专心-10-

22x2x?

x（xln2?

2）x?

的单调性，求导得y?

，易得为函数的极小值也是最小值24ln2xx2823222]?

3而b3?

b4，故t?

b3?

点，又，所以[?

ln293lneln2lne注意：

导数的引进为不等式的证明，甚至为研究数列的性质提供了新途径，充分地体现了数列作为一类特殊函数其本质所在。

特别提示：

上几例充分体现了导数作为工具分析和解决一些如函数性质、方程、不等式、数列等问题的方法，这类问题用传统教材无法解决；此外，例10还说明了一点：

欲用导数，得先构造函数。

例11已知双曲线C:

m（m?

0）与点M，如图所示.x求证：

过点M可作两条直线，分别与双曲线C两支相切；设中的两切点分别为A、B，其△MAB是正三角形，

求m的值及切点坐标。

证明：

设Q（t,m）?

C，要证命题成立只需要证明关于t的方t程

|x?

kMQ有两个符号相反的实根。

1mt?

t2?

2mt?

0，且t≠0，t≠1。

tt?

1y?

|x?

kMQ2设方程t?

2mt?

0的两根分别为t1与t2，则t1t2=m设A（t1,mm）,B（t2,），知，t1+t2=2m，t1t2=m，从而t1t2t1?

t21mmm（t1?

t2）2m2?

m,（?

）m，即线段AB的中点在直线y?

x上。

22t1t22t1t22mmm?

m（t1?

t2）t2t11，?

AB与直线y?

x垂直。

t2?

t1t2t1（t2?

t1）又?

kAB故A与B关于y?

x对称，设A（t,2

mm）（t?

0），则B（,t）tt有t-2mt+m=0　　　①

用心爱心专心-11-

kMAmm2?

2,kMB?

AMB?

60?

及夹角公式知

tk?

t2m?

2mt2mttan60?

，即2?

23　　②

t2mtm1?

2mtt2①得m?

　　　③

2t?

1mt214t（1?

t）?

（2t?

1）?

0从而2?

tm2t?

12t?

1mt2m3?

1②知2?

23,2?

2，代入③知t?

tmt2因此，m?

A（?

链接求切线方程的常见方法有：

1、数刑结合。

2、将直线方程代入曲线方程利用判别式。

3、利用导数的几何意义。

小结：

深刻理解导数作为一类特殊函数，其几何意义所在，熟练掌握利用导数求函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最值等基本方法；导数的应用为研究函数性质、函数图象开辟了新的途径，成为勾通函数与数列、圆锥曲线等问题的一座桥梁；此外，导数还具有方法程序化，易掌握的显著特点。

情景再现

327．设t?

0，点P是函数f（x）?

ax与g（x）?

bx?

c的图象的一个公共点，两

123?

13?

1,）,B（,?

）。

2222函数的图象在点P处有相同的切线.

用t表示a，b，c；

若函数y?

f（x）?

g（x）在上单调递减，求t的取值范围.8．已知函数f（x）?

3x?

9x?

a.　　求f（x）的单调减区间；

若f（x）在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.

用心爱心专心

-12-

329．已知x?

1是函数f（x）?

mx3?

3（m?

1）x2?

nx?

1的一个极值点，其中

m,n?

R,m?

0，

求m与n的关系式；求f（x）的单调区间；

当x1,1?

时，函数y?

f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.

情景再现答案?

x21．解y?

f（x）ax?

bx?

1f（x）?

1　　在x?

1处可导，必连续lim?

1x?

1limf（x）?

（1）?

1∴a?

2　　lim?

a　　∴a?

2b?

xf（a?

3h）?

f（a?

h）f（a?

3h）?

f（a）?

f（a?

h）?

lim2解：

lim

0h?

02h2hlim?

f（a?

3h）?

f（a）f（a）?

f（a?

h）?

limh?

0h?

02h2h3f（a?

3h）?

f（a）1f（a?

h）?

f（a）　　?

lim?

limh?

0h?

023h2?

h31?

f'（a）?

2b22?

lim?

f（a?

h2）?

f（a）?

f（a?

h2）?

f（a）　　lim?

lim?

2h?

0h?

0hh?

f（a?

h2）?

f（a）?

limh?

f'（a）?

0　　?

lim2h?

0h?

3．解：

　　∴　　　令x=1得

用心爱心专心-13-

4．答案C

f（x0?

x）?

f（x0?

x）?

xf（x0?

x）?

f（x0）?

f（x0?

x）?

lim?

xf（x0?

x）?

f（x0）f（x0?

x）?

f（x0）?

alim

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第64讲 极限和导数教案.docx

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