定积分的应用.docx

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定积分的应用

定积分的应用

微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。

在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩。

恩格斯曾经指出：

微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。

凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道﹑气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。

正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难。

以下将讲述一下定积分在数学﹑经济﹑工程﹑医学﹑物理方面的中的一些应用。

1定积分的概念的提出

1.1问题的提出

曲边梯形的面积

（如图1）所谓曲边梯形，是指由直线

、

（

），

轴及连续曲线

（

）所围成的图形。

其中

轴上区间

称为底边，曲线

称为曲边。

不妨假定

，

下面来求曲边梯形的面积。

由于

（

）无法用矩形面积公式来计算，但根据连续性，任两点

，

很小时，

，

间的图形变化不大，即点

、点

处高度差别不大。

于是可用如下方法求曲边梯形的面积。

（1）分割用直线

，

，

（

）将整个曲边梯形任意分割成

个小曲边梯形，区间上分点为：

这里取

，

。

区间

被分割成

个小区间

，用

表示小区间

的长度，

表示第

块曲边梯形的面积，

，整个曲边梯形的面积

等于

个小曲边梯形的面积之和，即

（2）近似代替:

对每个小曲边梯形，它的高仍是变化的，但区间长度

很小时，每个小曲边梯形各点处的高度变化不大，所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，就是，在第

个小区间

上任取一点

，用以

为底，

为高的小矩形面积

，近似代替这个小曲边梯形的面积（图1-1），即

.

（3）求和整个曲边梯形面积的近似值为

个小矩形面积之和，即

上式由于分割不同，

选取不同是不一样的，即近似值与分割及

选取有关（图1－2）。

（4）取极限将分割不断加细，每个小曲边梯形底边长趋于零，它的高度改变量趋于零，曲边梯形的面积与取代它的矩形面积无限接近，从而和式

的极限就定义为曲边梯形面积的精确值。

令

，当

时，有

上面的例子，最终归结为一个特定的形式和式逼近。

在科学技术中还有许多同样的数学问题，解决这类数学问题的思想方法概括说来就是“分割，近似求和，取极限”这是定积分概念的背景。

1.2定积分的定义

设函数

在区间

上有界，在

中任意插入若干个分点

把

分成

个小区间：

各个小区间的长度依次为：

…,

在每个小区间

上任取一点

，作函数值与小区间长度

的乘积

。

并作和

记

，如果不论对

怎样分割，也不管在小区间

上点

（

）怎样取法，只要当

时，和

总是趋于确定的极限

，我们称这个极限值为函数

在区间

上的定积分（简称为积分），记作

，即

（1）

其中

称为被积函数，

称为被积表达式，

称为积分下限，

称为积分上限，

称为积分变量，

称为积分和。

（1）曲边梯形的面积是曲边方程

在区间

上的定积分。

即

2定积分在几何学上的应用

2.1定积分在平面几何中的应用

在初高中我们学习过求圆，三角形，平四边形，梯形等比较规则的图形面积，然而对于不规则的图形就无能为力了，所以再学定积分以前我们只能求一些简单图形的面积，部分稍复杂的图形，可能用有限个简单图形的分割也能求出来，但有很大的局限性，定积分的出现为这些问题，提出了很好的解决条件。

一般地，由上、下两条连续曲线y=

（*）与y=

（*）以及两条直线*=a与*=b（a

（1）

例求由抛物线

与*-2y-3=0所围成平面图形的面积A

解该平面图形如图3所示，先求出

直线与抛物线交点P（1,-1）与Q（9,3）.用

*=1把图形分成左，右两部分，应用公式

（1）分别求得它们的面积为

.

A=

+

=32/3。

2.2定积分在立体几何中的应用

2.2.1由截面面积函数求立方体体积

设

为三维空间中的一立体，它夹在垂直于*轴的两平面*=a与*=b之间（a

为位于[a,b]上的立方体。

若在任意一点*

[a,b]处作垂直于*轴的平面，它截得

的截面面积显然是*的函数，记得A（*）,*

[a,b],并称之为

的截面面积函数。

则通过定积分的定义，得到由截面面积函数求立方体体积的一般计算公式和旋转体的体积公式V=

。

例求由椭球面

所围立体（椭球）的体积。

解以平面

截椭球面，得椭圆（它在yoz平面上的正投影）：

。

所以截面面积函数为A（*）=

*

[-a,a].

于是求得椭球体积

V=

。

显然，当a=b=c=r时，这就等于球的体积

。

2.2.2旋转曲面的面积

设平面光滑曲线C的方程为y=

*

[a,b]（不妨设f（*）>=0）.这段曲线绕*轴旋转一周得到旋转曲面，则面积公式s=2

。

如果光滑曲线C由参数方程*=*（t）,y=y（t）,t

[

]给出，且y（t）

0,则由弧微分知识推知曲线C绕*轴旋转所得旋转曲面的面积为S=2

.

例计算圆

+

=

在[

]

[-R,R]上的弧段绕*轴旋转所得球带的面积。

解对曲线y=

在区间[

]上应用公式（3），得到

S=2

=2

R（

）。

特别当

=-R,

=R时，则得球的表面积

=4

.

3定积分在经济学中的应用

3.1求经济函数在区间上的增量

根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量

的变动区间

上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间

上的定积分：

（1）

（2）

（3）

例已知*商品边际收入为

（万元/t），边际成本为5（万元/t），求产量

从250t增加到300t时销售收入

，总成本C

，利润

的改变量（增量）。

解首先求边际利润

所以根据式

（1）、式

（2）、式（3），依次求出：

=15

=250万元

=

100万元

例*厂生产*种产品，每日生产的产品的总成本

的变化率（即边际成本）是日产量

的函数

，已知固定成本为1000元，求总成本函数

.

解因总成本是边际成本的一个原函数，所以

已知当

时，

，代入上式得

，于是总成本函数为

例*产品销售总收入是销售量

的函数

。

已知销售总收入对销售量的变化率（即边际收入）

，求销售量由100增加到400时所得的销售收入.

解因销售收入是边际收入的一个原函数，按题意，有

（元）

3.2求经济函数在区间上的平均变化率

设*经济函数的变化率为

，则称

为该经济函数在时间间隔

内的平均变化率。

例*银行的利息连续计算，利息率是时间

（单位：

年）的函数：

。

求它在开始2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率。

解由于

所以开始2年的平均利息率为

例*公司运行

（年）所获利润为

（元）利润的年变化率为

（元/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[3，8]内年平均变化率

解由于

所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为

（元/年）

即在这5年内公司平均每年平均获利

元。

3.3由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量

设*个项目在

（年）时的收入为

（万元），年利率为

，即贴现率是

，则应用定积分计算，该项目在时间区间

上总贴现值的增量为

。

设*工程总投资在竣工时的贴现值为A（万元），竣工后的年收入预计为

（万元）年利率为

，银行利息连续计算。

在进行动态经济分析时，把竣工后收入的总贴现值达到A，即使关系式

成立的时间T（年）称为该项工程的投资回收期。

例*工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预计为200万元，年利息率为0.08，求该工程的投资回收期。

解这里

，

，

，则该工程竣工后T年内收入的总贴现值为

令

=1000，即得该工程回收期为

=6.39（年）

3.4利润、产量与开工时数的最佳值的确定

例1*厂生产一种产品，年产量为

吨时，总费用的变化率（即边际费用）为

（单位：

百元/吨），这种产品每吨的销售价为3000元，问一年生产多少产品工厂利润最大，并求出年利润的最大值.

解总费用是边际费用的原函数，故

而收入函数

（百元），又由

＝

则

令

，得

（吨）。

驻点唯一。

此时

，

由实际问题可知，当

时，

取得最大值

（百元）.因此，年产量为88吨时工厂获得最大利润96800元。

例2*工厂生产一种产品，每日总收入的变化率（即边际收入）是日产量

的函数

（单位：

元/件）。

该厂生产此种产品的能力为每小时30件，问怎样安排生产才能使这种产品每日的总收入最大？

并求出此最大总收入值.

解由题意

，

令

，得

，

又

，因为

只有唯一的驻点

，由实际问题知，当

时，

取得最大值

.因此，每日取得最大总收入的产量为150件，此时

（元）.完成150件产品需要的工时为

（小时），所以，每天生产这种产品5小时，就使每日收入最大，最大值为2250元。

3.5资本存量问题

例1资本存量

是时间

的函数。

它的导数等于净投资

。

现知道净投资

（单位：

10万元/年）。

求第一年底到第四年底的资本存量.

解因资本存量

是净投资的一个原函数，故

＝14（10万元）

所以，第一年底到第四年底的总资本存量为1400000元。

例2*银行根据前四年存款情况，知该行现金净存量的变化率是时间

的函数

（单位：

万元/年），计划从第五年起积存现金1000万元。

按此变化率需几年时间？

解依题意

1000

即1000

由此，得

解此方程，得

.

所以，从第五年积存1000万元现金约需6年.

3.6消费者剩余和生产者剩余

在自由市场中，生产并销售*一商品的数量可由这一商品的供给与需求曲线描述，它的状态可在如图上直观表现如下：

的经济意义是供应者会生产此商品的最低价。

是消费者会购买此种商品的最高价。

是免费供给此种商品的需求量（如卫生纸）经市场功能调节后，市场将趋于平衡价

和平衡数量

，两条曲线在

相交。

消费者以平衡价格购买了*种商品，他们本来打算出较高的价格购买这种商品，消费者剩余是指消费者因此而省下来的钱的总数。

用积分式来表达就是：

消费者剩余

＝曲边三角形

面积.

生产者以平衡价格出售了*种商品，他们本来打算以较低一些的售价售出这些商品，生产者剩余是指生产者因此而获得的额外收入。

用积分式表达就是

生产者剩余

＝曲边三角形

面积.

4定积分在工程中的应用

4.1定积分中值定理

定积分中值定理作为定积分的一个重要性质，计算河床的平均深度时，应用定积分中值定理知识。

此问题主要出现在水利工程专业的《工程水文学》课程中，主要应用于计算河流、湖泊等河床横断面水的平均深度，以此用作河流测流、工程设计或施工的一个依据。

只要测量出河面在*处的宽度（B），河床的横断面形状和河床的最大深度（h），则可运用定积分中值定理知识计算该处河床的平均深度（

），即

（m）.

例设一河流的河面在*处的宽度为2b，河流的横断面为一抛物线弓形，河床的最深处在河流的中央，深度为h，求河床的平均深度

.

分析：

首先，选取坐标系使*轴在水平面上，y轴正向朝下，且y轴为