人教课标版高中数学必修一《方程的根与函数的零点第2课时》教案新版.docx
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人教课标版高中数学必修一《方程的根与函数的零点第2课时》教案新版
3.1.1方程的根与函数的零点
第二课时
一、教学目标
（一）核心素养
通过这节课学习，理解零点存在定理，并能初步确定具体函数存在零点的区间。
通过对具体函数图形的观察、零点左右函数符号的特点归纳出零点存在定理，培养学生直观想象、数学抽象素养，在用零点存在定理确定函数零点所在区间的学习过程中培养学生数学运算、数据分析素养，在用零点定理解决一元二次方程根的分布问题中培养学生逻辑推理、数学运算素养.
（二）学习目标
1.从具体的二次函数出发，观察零点两侧函数符号，归纳出函数零点存在定理.
2.正确理解零点存在定理，了解图像连续不断的意义及作用，知道定理只是函数存在零
点的一个充分条件，了解函数零点可能不止一个。
能初步用零点定理确定具体函数存在零点的区间.
3.能用零点定理解决一些具体函数零点问题，特别是能用函数零点存在定理解决一元二次方程根的分布问题。
（三）学习重点
1.探索零点存在定理，对零点存在定理的理解;
2.零点存在定理的应用，确定函数零点所在区间，特别是一元二次函数零点分布区
（四）学习难点
1.零点存在定理的探究、对定理的理解；
2.用零点存在定理解决函数零点分布特别是一元二次函数零点的分布问题.
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
（1）读一读：
阅读教材第87页探究至88页.
（2）想一想：
一元二次函数的零点有几个？
零点左、右函数值符号有什么特点？
（3）写一写：
试找出函数f（x）=-x3-3x+5零点所在的大致区间.
2.预习自测
（1）求函数y=x2-5x-6的零点.
【知识点】函数零点
【数学思想】函数与方程
【解题过程】令y=0可得
即函数零点为6，-1.
【思路点拨】函数零点转化为方程的根.
【答案】-1,6.
（2）函数y=x2-5x-6在（0,2）上零点个数是（）
A.1B.2C.0D.不确定
【知识点】函数零点
【数学思想】函数与方程
【解题过程】令y=x2-5x-6=0解得
故在（0,2）上无零点.
【思路点拨】由
（1）可得方程两根，但要考虑跟根所在区间.
【答案】C.
（3）函数y=-x3-3x+5的的零点所在区间为（）
A.（0,1）B.（-1,0）C.（1,2）D.（2,3）
【知识点】函数零点
【数学思想】数形结合思想
【解题过程】令y=-x3-3x+5=0即x3=-3x+5，由图像可得其交点在（1,2）之间.
【思路点拨】分解为y=x3与y=-3x+5图像的交点所在区间.
【答案】C
（二）课堂设计
知识回顾
1.一元二次方程根的判断：
△>0时有两个实根，△=0时有一个实根，△<0时无实根.
2.函数零点定义：
对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点.
3.函数零点与方程根的关系：
方程f（x）=0有实数根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点.
2.问题探究
探究一从具体函数中归纳零点定理★▲
●活动①从实际问题初步体会零点存在定理.
新疆位于我国最北部，它的昼夜温差比较大.若已知新疆某地白天最高气温是零上
，
夜晚时最低气温零下
.请问这一天是否有某个时刻的温度为
？
试用已知画出本地这天温度的大致变化趋势.
【设计意图】从实际问题出发，学生很容易理解。
通过这个活动，让学生初步体会了零点存在定理.
●活动②将实际问题抽象为数学问题，体会零点存在定理.
由活动①中的问题，试探究（小组讨论）：
如何画函数图像能使得其必穿过x轴？
反之，若函数图像穿过x轴即与x轴有交点，函数值有什么特点？
【设计意图】将实际问题转化为数学问题，同时从画函数图像入手研究零点存在定理，更容易被学生接受和理解.
●活动③从二次函数中探索零点存在定理
观察函数y=x2-2x-3的图像，回答下列问题：
（1）函数在R上的零点有几个？
如何判断？
（2）函数在[-2,1]上的零点有几个？
如何求得？
（3）函数零点左边、右边的函数符号有什么特点？
【设计意图】通过求一元二次函数在R和某个区间上零点的比较，体会零点存在定理的必要性.观察零点左、右两侧函数值符号特点初步猜想零点存在与其左右函数符号有关系.
●活动④观察其他函数图形，归纳零点存在定理.
观察下面函数图像，回答问题：
①函数有哪几个零点？
在区间[-2,0]上呢？
在[0,2]上呢？
在[2,4]上呢？
？
②零点x=-1左右函数符号有什么特点？
零点x=1呢？
x=3呢？
③你能说出若该函数在[-2,0]上有零点应满足什么条件吗？
在区间[0,2]上呢？
④若函数y=f（x）在区间[a,b]上有零点，应满足什么条件？
一般地，若函数y=f（x）在区间[a,b]上有f（a）
f（b）<0,那么函数y=f（x）在区间（a,b）内有零点，即存在c
（a,b）,使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根.
【设计意图】在学生熟悉的二次函数基础上，观察非二次函数零点存在的特点，在此基础上归纳得出函数零点存在的条件即零点存在定理。
但因为学生没有函数图像连续的概念故在此没列出该条件，这个将在下一活动中理解补充.
探究二零点存在定理的理解.★▲
●活动①举出反例，理解、补充图像连续的条件.
观察函数图像，试回答下列问题：
1.比较：
f（-1）_____0（填“<”或“>”或“=”）,f
（1）_____0（填“<”或“>”或“=”）；
2.函数y=f（x）在区间[-1,1]
上有零点吗？
3.结合本例，补充函数y=f（x）在区间[a,b]上有零点的条件.
零点定理：
一般地，若函数y=f（x）在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）
f（b）<0,那么函数y=f（x）在区间（a,b）内有零点，即存在c
（a,b）,使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根.
【设计意图】通过举反例，让学生发现原结论不完整，有错误之处，从而进行完善和补充.这样学生也能理解函数图像连续的意义和作用.
●活动②理解定理，定理只是函数存在零点的一个充分条件.
下组讨论：
你能画出函数图像说明下列问题吗？
（1）若f（a）
f（b）>0则函数y=f（x）在区间[a,b]上一定没有零点吗？
；
（2）若f（a）
f（b）<0则函数y=f（x）在区间[a,b]上只有一个零点吗？
；
（3）当f（a）
f（b）<0时，增加什么条件可确定函数y=f（x）在区间[a,b]上只有一个零点？
【设计意图】通过学生小组探究，画函数图像理解定理.理解定理中有一个零点的意义，即至少有一个的意思，同时探究什么时候只有一个.理解定理只是函数存在零点的一个充分条件.
探究三零点定理的应用.
●活动①巩固基础，检查反馈.
例1.已知函数f（x）的图像试练习不断的，有如下的x，f（x）对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
f（x）
136.136
15.552
-3.92
10.88
-52.488
-232.064
函数f（x）含有零点的区间是__________.
【知识点】函数的零点.
【解题过程】由零点定理可得.
【思路点拨】根据零点左右两侧符号正负区别找出满足的区间.
【答案】（2,3），（3,4），（4,5）.
【设计意图】用零点定理确定零点所在区间.
同类训练二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
f（x）
6
m
-4
-6
-6
-4
n
6
不求a、b、c的值，判断方程ax2+bx+c=0的两根所在的区间是（）
A.（-3，-1），（2,4）
B.（-3，-1），（-1,1）
C.（-1,1），（1,2）
D.
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【数学思想】
【解题过程】零点定理可得.
【思路点拨】根据零点左右两侧函数值异号找出零点存在区间.
【答案】A
【设计意图】用零点定理判断零点所在区间.
例2求函数y=lnx+2x-6的零点个数.
【知识点】函数零点的判定.
【数学思想】数形结合思想.
【解题过程】由
，f
（1）<0,f
（2）<0,f（3）>0,故f
（2）
f（3）<0,所以f（x）在（2,3）上有零点，又y=f（x）在区间
上单调递增，所以它仅有一个零点.
【思路点拨】用零点定理判断.
【答案】一个.利用零点定理判断根所在区间，同时结合函数图像说明当函数单调时可以确定只有一个根.
同类训练方程0.9x-x=0的实数解的个数是（）
A.0B.1C.2D.3
【知识点】元素与集合关系的判断.
【解题过程】令f（x）=0.9x-x，f（0）=1，f
（1）=-0.1，且函数单调递减.
【思路点拨】用零点定理判断.
【答案】B
【设计意图】利用零点定理判断根所在区间，同时结合函数图像说明当函数单调时可以确定只有一个根.
●活动②强化提升、灵活应用
例3方程x2-2ax+4=0的两个根均大于1，求实数a的取值范围.
【知识点】根的存在性及根的个数判断.
【数学思想】数形结合、函数与方程的思想.
【解题过程】设方程的两个根1所以
解得，
.
【思路点拨】用零点定理去找在指定区间上根的条件.
【答案】
.
【设计意图】巩固零点定理，用零点定理解决二次方程根的分布问题.
同类训练关于x的方程x2-2x+a=0的一个根在区间（-1,1），另一个根在区间（2,3）内，求实数a的取值范围.
【知识点】根的存在性及根的个数判断.
【数学思想】数形结合、函数与方程思想.
【解题过程】由二次函数图像特点和零点定理可得，
解得，-3【思路点拨】用零点定理解决.
【答案】
.
【设计意图】巩固零点定理，用零点定理解决二次方程根的分布问题.
3.课堂总结
知识梳理
零点定理：
一般地，若函数y=f（x）在区间
上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）
f（b）<0,那么函数y=f（x）在区间（a,b）内有零点，即存在c
（a,b）,使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根.
重难点归纳
（1）零点定理：
一般地，若函数y=f（x）在区间
上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）
f（b）<0,那么函数y=f（x）在区间（a,b）内有零点，即存在c
（a,b）,使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根.
（2）用零点定理判断方程根所在区间，特别是解决一元二次方程根的分布问题.
（三）课后作业
基础型自主突破
1.函数f（x）=
-8+2x的零点一定位于区间（）
A.（5,6）B.（3,4）C.（2,3）D.（1,2）
【知识点】函数零点的判断.
【解题过程】f（3）<0,f（4）>0故选B.
【思路点拨】用零点定理.
【答案】B
2.函数f（x）=ax2+bx+c,若f
（1）>0,f
（2）<0,则f（x）在（1,2）上零点个数为（）
A.至多有一个B.有一个或两个C.有且仅有一个D.一个也没有
【知识点】函数零点的判断.
【数学思想】数形结合思想.
【解题过程】用零点定理结合二次函数图像可判断出
在（1,2）上有且只有一个零点.
【思路点拨】零点定理.
【答案】C
3.已知f（x）是定义域为R的奇函数，且在
内的零点有1006个，则f（x）的零点个数为（）
A.1006B.1007C.2012D.2013
【知识点】函数零点的判断.
【数学思想】数形结合思想
【解题过程】由奇函数图像关于原点对称.
【思路点拨】奇函数图像特点.
【答案】D
4.若函数f（x）=3x2－5x＋a的两个零点分别是x1,x2,且有-2【知识点】根的存在性及根的个数判断.
【数学思想】数形结合思想.
【解题过程】
解得-12【思路点拨】零点定理.
【答案】-125.对于方程x3+x2-2x-1=0有下列判断：
①在（-2，-1）内有实根；②在（-1，0）内有实根；③在（1，2）内有实根；④在R上没有实根.其中正确的是________.
【知识点】根的存在性及根的个数判断.
【解题过程】将方程有实根转化为函数y=x3+x2-2x-1有零点，再逐一判断.
【思路点拨】零点定理.
【答案】①②③.
6.若函数y=f（x）在区间[0,4]上的图像是连续不断的曲线，且方程f（x）=0在（0,4）内仅有一个实数解，则f（0）·f（4）的值（）
A.大于0B.小于0C.等于0D.无法判断
【知识点】函数零点的判断.
【数学思想】数形结合、方程与函数思想.
【解题过程】满足题中要求的函数y=f（x）图像可以有以下两种情况：
可知f（0）.f（4）<0,由于y=f（x）定义在区间[0,4]上，即有
或
，故选D.
【思路点拨】正确理解零点定理.
【答案】D
能力型师生共研
7.对于函数f（x）=x2+c,若f（a）>0,f（b）>0,则函数f（x）在区间（a，b）内（）
A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至多有一个零点
【知识点】函数零点的判断.
【数学思想】数形结合思想.
【解题过程】由零点定理可得.
【思路点拨】零点定理和二次函数图像结合.
【答案】C
8.已知函数
仅有一个零点，求实数m的取值范围，并求出零点.
【知识点】函数零点的判断.
【数学思想】函数与方程、数形结合、分类讨论思想.
【解题过程】令2x=t（t>0）,则t2+mt+1=0有一个正根.①当
即m2-4=0，解得m=
.则t=1或-1（舍去）解得x=0，所以m＝－2.②当
即m>2或m<-2时，方程有一个正根，一个负根,则t1
t2<0,而t1
t2=1>0，故此情况不成立.综上所述，m＝－2.
【思路点拨】方程根个数的判断，复合函数拆分，换元，将范围转换.
【答案】m＝－2,0.
探究型多维突破
9.已知函数f（x）=ax2+
，讨论关于x的方程f（x）=x3的解的个数.
【知识点】根的存在性及根的个数判断.
【数学思想】函数与方程、分类讨论思想.
【解题过程】由
=x3-ax2=x2（x-a）
0可得
，所以x-a=x2（x-a）即（x-1）（x+1）（x-a）=0.
【思路点拨】绝对值的非负性
①当
时，方程有2个解；
②当a
时，方程有1个解；
③当a<-1时,方程有3个解.
【答案】①当
时，方程有2个解；②当a
时，方程有1个解；③当a<-1时,方程有3个解.
10.已知函数
若关于x的方程f（x）=0在区间（0,2）内有且仅有一个解，求实数m的取值范围.
【知识点】根的存在性及根的个数判断.
【数学思想】分类讨论思想.
【解题过程】
（1）当
；
（2）当
；
（3）当
；
（4）当
.
综上所述，
.
【思路点拨】“有且仅有一个根”的理解.当有一个根在端点另一个根在区间需单独考虑.
【答案】
.
自助餐
1.已知若函数f（x）的图像是连续不断的，且有如下对应值表:
x
1
2
3
4
6
10
f（x）
20
-5.5
-2
6
18
-3
则函数零点所在区间是__________.
【知识点】函数零点的判断.
【数学思想】
【解题过程】由零点定理即可.
【思路点拨】用零点定理.
【答案】（1,2），（3,4），（6,10）.
2.方程
-8+2x=0的根一定位于（）
A.（5,6）B.（3,4）C.（2,3）D.（1,2）
【知识点】函数零点的判断.
【解题过程】由零点定理可得.
【思路点拨】用零点定理确定零点所在区间.
【答案】B
3.函数f（x）=xcos2x在区间[0,2
]上的零点个数为（）
A.2B.3C.4D.5
【知识点】函数零点的判断.
【数学思想】数形结合思想.
【解题过程】函数零点为x＝0或cos2x＝0,即2x=
故有5个零点.
【思路点拨】三角函数周期性及角的范围.
【答案】D.
4.若函数f（x）=x2+（m-2）
-5-m有两个小于2的零点，则m的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.（2,5）
【知识点】方程根的存在及个数的判断.
【解题过程】由零点定理可得，
解得m>5.
【思路点拨】用零点定理和二次函数图像.
【答案】m>5.
5.若函数f（x）=
区间（2,3）上有零点，则k=________.
【知识点】函数零点的判断.
【数学思想】
【解题过程】因为函数f（x）=
区间（2,3）上单调递增，又函数在（2,3）上有零点，所以f
（2）<0,f（3）>0,解得3又因为
，所以k=4.
【思路点拨】零点定理判断根的个数时要结合函数的单调性.
【答案】4
6.已知函数
函数g（x）=f（x）-2x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）
A.
B.（-3，-1）C.
D.
【知识点】根的存在及根的个数判断.
【数学思想】函数与方程、数形结合思想.
【解题过程】方程g（x）=f（x）-2x恰有3个不同的零点即函数
图像与x轴有3个不同的交点.由函数图像可知，
【思路点拨】根据函数图像判断零点个数.
【答案】
.
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