工程数学建模试验4.docx

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工程数学建模试验4

数学建模实验4作业

题目1：

设备更新问题

某公司需要对一台已经使用了2年的机器确定今后4年（n=4）的最优更新策略.公司要求，用了6年的机器必须更新，购买一台新机器的价格是100万元，表4.1给出了该问题的数据，请给出设备的更新策略。

解答：

假设a,b,c,d…为年度，年度+数字表示机器已经使用过的时间，例如：

第一年机器使用的情况为a2，第二年：

若第一年机器更新则表示成b1，若机器不更新则表示为b3。

以此类推。

Lingo程序如下：

运行结果为：

根据运行结果分析：

最优的方式为a2-b3-c4-d5-e1-f，因此得出结论，设备的最优更新策略应该是使用5年。

题目2：

汽车租赁

有一小型汽车租赁公司，该公司有94辆可供出租的汽车，分布于10个代理点中。

每个代理点的位置都将以地理坐标X和Y的形式给出，单位为英里。

假定两个代理点之间的距离约为它们之间欧氏距离（即最短距离）的1.3倍。

表4.2给出了各个代理点的位置坐标，以及第二天早晨汽车租赁的需求量和前一天晚上各个代理点拥有的汽车数。

假定汽车运转的成本为每辆车每千米0.50元，请找出如何在各个代理点之间调度分配汽车才能够满足各处的需求，并且使运转成本最低。

解答：

因为汽车转运有成本，且代理点拥有量大于需求量时只能转出多余的车辆，假如转移出的车辆多了，还要从别的代理点再移入车辆，这样会使转移的距离变长，运转成本变多，因此，代理点要么转进，要么转出，不可能某个代理点既转进又转出的。

根据题意，列出该公司的汽车总拥有量和汽车总需求量，还有各个代理点的拥有量与需求量的差，表格如下图所示：

代理点

需求量

当前拥有量

拥有量-需求量

1

10

8

-2

2

6

13

7

3

8

4

-4

4

11

8

-3

5

9

12

3

6

7

2

-5

7

15

14

-1

8

7

11

4

9

9

15

6

10

12

7

-5

总计

94

94

0

由表格可得：

该公司的汽车总需求量与汽车总拥有量相等，代理点1需转移进2辆，代理点2需转移出7辆，代理点3需转移进4辆，代理点4需转移进3辆，代理点5需转移出3辆，代理点6需转移进5辆，代理点7需转移进1辆，代理点8需转移出4辆，代理点9需转移出6辆，代理点10需转移5辆。

各代理点之间的最短距离为：

代理点（运进运出的车辆数）

1

（2）

3（4）

4（3）

6（5）

7

（1）

10（5）

2（7）

28.28427

10.19804

12.80625

13.92839

16.55295

18.68154

5（3）

35

19.72308

13

25.07987

40.36087

36.24914

8（4）

11.18034

13

25.07987

31.76476

17

5.830952

9（6）

11

12.20656

22.47221

33.30165

27.65863

17.49286

其中，横排为需要转运进的代理点及转运进车辆数量，竖排为转运出的代理点和转运出的车辆数量。

列目标函数为：

约束条件为：

（i=2,5,8,9；j=1,3,46,7,10）

Lingo程序为：

运行结果为：

根据运行结果可知，运转成本的最小值为：

W=234.8293*1.3*0.5=152.6388

各个代理点之间调度分配汽车的方法是：

代理点5转运出3辆汽车到代理点4；代理点9转运出2辆汽车到代理点1，转运4辆车到代理点3，转运1辆车到代理点10；代理点8转运出4辆汽车到代理点10；代理点2转运出1辆汽车到代理点3，转运1辆车到代理点7，转运5辆车到代理点6。

题目3：

饮料厂的生产与检修计划

（1）某饮料厂生产一种饮料用以满足市场需求。

该厂销售科根据市场预测，已经确定了未来4周该饮料的需求量。

如表4.3所示，每周当饮料满足需求后有剩余时，要支出存储费，为每周每千箱0.2千元。

问应如何安排生产计划，在满足市场需求的条件下，使4周的总费用（生产成本与存储费之和）最小？

（2）如果工厂必须在未来四周的某一周中安排一次设备检修，检修将占用当周15千箱的生产能力，但会使检修以后每周的生产能力提高5千箱，则检修应安排在哪一周？

解答：

第1小题：

由表4.3知前3周每周的生产能力都超过需求量，可以满足每周市场需求。

如果第1周、第2周按需生产，第3周多生产5千箱以弥补第4周生产能力对需求的不足，可以使总的存储费最小。

因为生产成本逐周上升，所以前几周应多生产一些。

饮料厂第1周没有库存，周末有库存时需支出一周的存贮费，每周末的库存量等于下周初的库存量，如果要存储费用最小，则第4周末也不能有库存。

假设x1为第1周生产量，x2为第2周生产量，x3为第3周生产量，x4为第4周生产量。

y1为第1周周末库存量，y2为第2周周末库存量，y3为第3周周末库存量，存贮费:

0.2（千元/周•千箱）。

建立函数：

约束条件为：

Lingo程序为：

Min=5*x1+5.1*x2+5.4*x3+5.5*x4+0.2*（y1+y2+y3）;

X1-y1=15;

X2+y1-y2=25;

X3+y2-y3=35;

X4+y3=25;

X1<=30;x2<=40;x3<=45;x4<=20;

运行结果为：

由运行结果可知：

x1=15，x2=40，x3=25，x4=20；y1=0，y2=15，y3=5。

则周一生产15箱，周2生产40箱，周3生产25箱，周4生产20箱，总花费为400.5元。

四周的总费用最小为528（千元）。

第2小题：

根据题意可以，检修可以安排在任何一周。

假设检修安排在第t周。

t的值为1,2,3,4。

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

@bin（t1）;@bin（t2）;@bin（t3）;@bin（t4）;

Lingo程序为：

Min=5*x1+5.1*x2+5.4*x3+5.5*x4+0.2*（y1+y2+y3）;

X1-y1=15;

X2+y1-y2=25;

X3+y2-y3=35;

X4+y3=25;

X1+15*t1<=30;

X2+15*t2<=40+5*t1;

X3+15*t3<=45+5*t2+5*t1;

X4+15*t4<=20+5*t1+5*t2+5*t3;

t1+t2+t3+t4=1;

@bin（t1）;@bin（t2）;@bin（t3）;@bin（t4）;

运行结果为：

由运行结果可知：

x1=15，x2=45，x3=15，x4=25；y1=0，y2=20，y3=0。

则周一生产15箱，周2生产45箱，周3生产15箱，周4生产25箱，检修安排在第1周。

题目4：

指派问题

某公司需要把4项工作派给4名工人，每名工人完成每项工作的费用如表4.4所示，其中工人甲不能完成工作C，工人丙不能完成工作D。

（1）确定每名工人完成工作的最优方案；

（2）假设有另外一名工人（戊）能完成这4项工作，完成每项工作相应费用分别为60、45、30和80元。

是否用这名新工人（戊）替换原来的某位工人？

（3）假设公司有了第5项工作（E），4名工人（甲、乙、丙、丁）完成工作E的费用分别为20、10、20和80元。

这项新工作E比原有的四项工作（A,B,C,D）的某一项优先吗？

解答：

第1小题：

此题为最优指派问题，设决策变量为Xij，当第i个人做第j项工作时，决策变量Xij=1；否则决策变量Xij=0。

甲无法完成C工作，可使用一个较大数表示如：

999；丙无法完成D工作，可使用较大数表示如：

999

LINGO语句：

model:

sets:

person/1..4/;

job/1..4/;

arrange（person,job）:

time,x;

endsets

data:

time=505099920

70402030

903050999

70206070;

enddata

min=@sum（arrange:

time*x）;

@for（person（i）:

@sum（job（j）:

x（i,j））<=2）;

@for（person（i）:

@sum（job（j）:

x（i,j））>=1）;

@for（job（j）:

@sum（person（i）:

x（i,j））=1）;

@for（arrange:

@bin（x））;

End

运行结果为：

有运行结果可知：

甲完成工作D；乙完成C，D；丙完成B；丁完成A。

此种工作安排费用最低为140元。

第2小题：

根据题意加入一人戊后该工作变为5人4项工作问题，安照该思路，使用Lingo写出程序并求出最优解则有：

LINGO语句：

model:

sets:

person/1..4/;

job/1..4/;

arrange（person,job）:

time,x;

endsets

data:

time=60453080

70402030

903050999

70206070;

enddata

min=@sum（arrange:

time*x）;

@for（person（i）:

@sum（job（j）:

x（i,j））<=2）;

@for（person（i）:

@sum（job（j）:

x（i,j））>=1）;

@for（job（j）:

@sum（person（i）:

x（i,j））=1）;

@for（arrange:

@bin（x））;

End

运算结果：

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

160.0000

Extendedsolversteps:

0

Totalsolveriterations:

0

VariableValueReducedCost

TIME（1,1）60.000000.000000

TIME（1,2）45.000000.000000

TIME（1,3）30.000000.000000

TIME（1,4）80.000000.000000

TIME（2,1）70.000000.000000

TIME（2,2）40.000000.000000

TIME（2,3）20.000000.000000

TIME（2,4）30.000000.000000

TIME（3,1）90.000000.000000

TIME（3,2）30.000000.000000

TIME（3,3）50.000000.000000

TIME（3,4）999.00000.000000

TIME（4,1）70.000000.000000

TIME（4,2）20.000000.000000

TIME（4,3）60.000000.000000

TIME（4,4）70.000000.000000

X（1,1）1.00000060.00000

X（1,2）0.00000045.00000

X（1,3）0.00000030.00000

X（1,4）0.00000080.00000

X（2,1）0.00000070.00000

X（2,2）0.00000040.00000

X（2,3）0.00000020.00000

X（2,4）1.00000030.00000

X（3,1）0.00000090.00000

X（3,2）0.00000030.00000

X（3,3）1.00000050.00000

X（3,4）0.000000999.0000

X（4,1）0.00000070.00000

X（4,2）1.00000020.00000

X（4,3）0.00000060.00000

X（4,4）0.00000070.00000

RowSlackorSurplusDualPrice

1160.0000-1.000000

由运行结果可知：

此时最佳的工作方案为，由甲做工作D，乙来做工作C，丁来做工作B，戊来做工作A。

因此，戊要替换掉丙。

此时成本最小，为120元。

第3小题：

根据题意加入工作E后原题目变为4人5项工作问题。

根据题意，列出LINGO程序为：

model:

sets:

person/1..4/;

job/1..4/;

arrange（person,job）:

time,x;

endsets

data:

time=509992020

40202010

305099920

20607080;

enddata

min=@sum（arrange:

time*x）;

@for（person（i）:

@sum（job（j）:

x（i,j））<=2）;

@for（person（i）:

@sum（job（j）:

x（i,j））>=1）;

@for（job（j）:

@sum（person（i）:

x（i,j））=1）;

@for（arrange:

@bin（x））;

End

运行结果为：

由运行结果可知：

此时的工作方案为甲完成工作D，乙完成工作C，丙完成工作E，丁完成工作B，因此，新工作E比工作A优先。

题目5：

工件加工问题

某公司需要加工一大批（数量很大）工件，加工过程中需要使用6种刀具J1，J2，…，J6，每种刀具的加工时间是固定的，且工件加工与刀具的使用次序无关。

但更换刀具的时间是不同的，所需时间如表4.5所示。

请设计出更换刀具的最优方法，使得总加工时间最短。

解答：

题目6：

最优通讯连线

汽车租赁问题中的那个汽车租赁公司，打算建设一个连接10个代理点的局部通讯网络，使得10个代理点可以相互传递数据，每个代理点的地理坐标由表4.2所示。

任意两点间的距离定义为“棋盘距离“，即

请计算这10个代理点最优连线，并在途中绘出。

解答：

题目7：

旅游路线问题

张先生家住在D城市，每年的假期都会到Y市度假。

由于张先生是一位旅游爱好者，所以他希望每年开车去度假所选择的线路互不相同。

经过仔细的查看地图之后，张先生确定了几条从D市到Y市的路线。

如图4.1所示，利用最大流问题的数学模型，为张先生找出：

（1）从D市到Y市全部边不同的线路（即任意两条线路不经过相同的边）；

（2）从D市到Y市全部点不同的线路（即任意两条线路不经过相同的点）。

解：

每条线路的最大流量为1，即只能走一次；由于不要求有相同的城市，故中间结点的流入流量最大为1，流出流量最大也为1。

Lingo程序:

model:

 sets:

   nodes/s,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,t/;

arcs（nodes,nodes）/

s,1s,2s,4s,6s,5

1,4

2,32,52,6

3,43,7

4,94,6

5,85,11

6,76,106,5

7,97,107,8

8,108,11,8,t

9,109,129,t

10,1110,13

11,1311,1411,t

12,t

13,1213,1413,t

14,t/:

c,f;

endsets

data:

c = 1 1 1 1 1 1 1 1 1         

 1 1 1 1 1 1 1 1 1         

 1 1 1 1 1 1 1 1 1         

 1 1 1 1 1 1 1 1 1         

 1; 

enddata 

max = flow;

@sum（arcs（i,j）|i #eq# 1:

 f（i,j）） = flow; 

@for（nodes（i） | i #ne# 1 #and# i #ne# @size（nodes）:

@sum（arcs（i,j）:

 f（i,j）） - @sum（arcs（j,i）:

f（j,i））=0）; 

@for（nodes（i） | i #ne# 1 #and# i #ne# @size（nodes）:

@sum（arcs（i,j）:

 f（i,j））<=1）;

@for（nodes（i） | i #ne# 1 #and# i #ne# @size（nodes）:

@sum（arcs（j,i）:

 f（j,i））<=1）; @for（arcs:

 @bnd（0, f, c））; 

End

运行结果为：

由运行结果可知：

从D市到Y市全部边不同的线路（即任意两条线路不经过相同的边）和从D市到Y市全部点不同的线路（即任意两条线路不经过相同的点）共有4条不同路线，即D-4-9-Y；D-2-3-7-8-Y；D-6-10-13-Y；D-5-11-Y。

加分实验：

（打孔机生产效能提高）

过孔是印刷线路板（也称为印刷电路板）的重要组成部分之一，过孔的加工费用通常占制版费用的30%到40%，打孔机主要用于在制造印刷线路板流程中的打孔作业，本问题旨在提高某类打孔机的生产效能。

打孔机的生产效能主要取决于以下两个方面：

（1）过孔的钻孔作业时间，这是由生产工艺决定，这里假定打每一个孔的作业时间是相同的；

（2）打孔机在加工作业时，钻头的行进时间（或行走的路程），这里假定砖头只能水平运动或垂直运动。

某公司要生产一批（数量很大）规格相同的印刷线路板，其过孔中心坐标数据如表4.6所示，请为该公司设计一套最优的过孔方案。

解答：