152乘法公式.docx

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152乘法公式

课题

15-2乘法公式

教学目标

1、理解并掌握平方差公式和完全平方公式，并呢过直接应用乘法公式进行正式的乘法运算；　　

2、掌握添括号法则；

3、会选择适当的乘法公式进行数或整式的运算，并会灵活地运用运算律或乘法公式使运算简便。

教学重点

平方差公式、完全平方公式

教学难点

正确运用完全平方公式进行计算

学生姓名

年级

八年级

日期

第一部分：

知识点详解

详解点一、平方差公式：

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即

结构特征：

①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；

②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。

详解点二、完全平方公式：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减）它们的积的2倍，即

。

口决：

首平方，尾平方，2倍乘积在中央；

结构特征：

①公式左边是二项式的完全平方；

②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。

在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现

这样的错误。

详解点三、添括号法则：

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

添括号法则：

添正不变号，添负各项变号。

第二部分：

自我评测

知识点

掌握情况

备注

非常好

一般

不足

平方差公式

完全平方公式

添括号法则

第三部分：

例题剖析

例1.下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？

能用平方差公式计算的，写出计算结果。

（1）

；

（2）

；

（3）

；（4）

；

（5）

；（6）

。

分析：

两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式。

解：

（2）、（3）、（4）、（5）可以用平方差公式计算，

（1）、（6）不能用平方差公式计算。

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

。

例2.计算：

（1）

；

（2）

；（3）

；（4）

。

分析：

此题都可利用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式，

（1）运用“和”的完全平方公式，

（2）、（3）运用“差的完全平方公式，（4）两种方法都可以用。

解：

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

。

例3.运用乘法公式计算：

（1）

；

（2）

；

（3）

；（4）

。

分析：

（1）中可以将两因式变成

与

的和差。

（2）中两因式可以变成

与

的和差，运用平方差公式进行计算。

（3）的底数可变形为两式的和或差，运用完全平方差公式计算。

（4）两个因式每一项符号相反，所以它们互为相反数，通过变形得到底数为

或

的平方的相反数，再运用公式展开。

解：

（1）

（2）

（3）

（4）

第四部分：

典型例题

例1.利用乘法公式计算：

；

；

；

。

变式.计算：

；

；

；

。

例2.计算

。

变式.计算：

例3.解方程：

．

变式.解方程：

（1）

；

（2）

例4.

（1）已知a＋b＝8，ab＝10，求a2＋b2，（a－b）2的值；

（2）已知

，

，

，求

的值。

变式.

（1）已知a＋b＝2，ab＝1，求a2＋b2和（a－b）2的值。

（2）已知ab27，ab24，求a2b2，ab的值。

（3）已知

，求

的值。

例5.观察下列各式：

由猜想到的规律可得

____________。

变式.在公式

中，当a分别取1，2，3，……，n时，可得下列n个等式

将这n个等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式：

__________（用含n的代数式表示）

第五部分：

思维误区

误区一、由于对平方差公式的结构特征没掌握好，所以出现错用公式的现象。

（1）对公式中各项的系数、符号没有仔细观察、比较，所以误用公式。

（2）公式中的字母a、b表示一个负数时，只把字母平方，而忘记将系数、符号平方。

例1、计算：

（1）

；

（2）

；

（3）

；（4）

。

错解：

（1）原式

；

（2）原式

；

（3）原式

；

（4）原式

。

纠错秘方：

（1）中“

”与“

”不是相同的项，因此不能用平方差公式。

（2）中两个相同因式不符合平方差特点，而是完全平方式。

（3）中

得

，平方时将“

”号忘了平方。

（4）中系数“3”没有平方。

正确的解：

（1）原式

；

（2）原式

；

（3）原式

；

（4）原式

。

误区二、没有掌握完全平方公式的结构特征，所以出现错用公式的现象。

在利用完全平方公式计算时，平方时结果漏掉了乘积项“

”，或乘积项的系数“2”，错用“

”或“

”。

有时将乘积项符号弄错了，有时将系数弄错了。

例2、计算：

（1）

；

（2）

。

错解：

（1）原式

；

（2）原式

。

纠错秘方：

（1）中乘积项符号（或系数）弄错。

（2）中

是相同的两个因式，应该用完全平方公式。

正确的解：

（1）原式

；

（2）原式

。

第六部分：

方法规律

知识方法

关键

平方差公式：

注意两数“平方差”与“差的平方”的区别

完全平方公式：

当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正；当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负。

注意

的转化。

添括号法则

添正不变号，添负各项变号

第七部分：

巩固练习（两组）

A组

1、填空题

1．计算题：

（1）

=

（2）

=

（3）

=（4）

=

2．直接写出结果：

（1）（2x＋5y）（2x－5y）＝________；

（2）（x－ab）（x＋ab）＝______；

（3）（12＋b2）（b2－12）＝________；（4）（am－bn）（bn＋am）＝______；

（5）（3m＋2n）2＝________；（6）

______；

（7）（）２＝m2＋8m＋16；（8）

＝______；

3．在括号中填上适当的整式：

（1）（m－n）（）＝n2－m2；

（2）（－1－3x）（）＝1－9x2．

4．多项式x2－8x＋k是一个完全平方式，则k＝______．

5．

______＝

＋______．

2、选择题

1．下列计算结果是

的是（）

A．

B．

C．

D．

2．下列各式中不能用平方差公式计算的是（）

A．

B．

C．

D．

3．下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有（）

①（－2ab＋5x）（5x＋2ab）②（ax－y）（－ax－y）

③（－ab－c）（ab－c）④（m＋n）（－m－n）

A．4个B．3个C．2个D．1个

4．下列计算正确的是（）

A．（5－m）（5＋m）＝m2－25B．（1－3m）（1＋3m）＝1－3m2

C．（－4－3n）（－4＋3n）＝－9n2＋16D．（2ab－n）（2ab＋n）＝2a2b2－n2

5．下列等式能够成立的是（）

A．（a－b）2＝（－a－b）2B．（x－y）2＝x2－y2

C．（m－n）2＝（n－m）2D．（x－y）（x＋y）＝（－x－y）（x－y）

6．若9x2＋4y2＝（3x＋2y）2＋M，则M为（）

A．6xyB．－6xy

C．12xyD．－12xy

7．如图2－1所示的图形面积由以下哪个公式表示（）

A．a2－b2＝a（a－b）＋b（a－b）

B．（a－b）2＝a2－2ab＋b2

C．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

D．a2－b2＝a（a＋b）－b（a＋b）

图2－1

3、判断下列各题是否正确，并将错误的在“修正意见”栏中改正。

原题

选择正误

修正意见

○对○错

○对○错

○对○错

○对○错

○对○错

○对○错

4、解答题

1.计算

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）（－4x3－7y2）2（8）（xn－2）（xn＋2）

（9）

（10）

2.用适当的方法计算．

（1）1.02×0.98

（2）

（3）

（4）20052－4010×2006＋20062

（5）

（6）

3.若a＋b＝17，ab＝60，求（a－b）2和a2＋b2的值。

4.先化简，再求值：

（1）

，其中a=

，b=

；

（2）（x+5）2-（x-5）2-5（2x+1）（2x-1）+x·（2x）2,其中x=-1。

B组

一、.填空

1.（a＋2b＋3c）（a－2b－3c）＝（______）2－（______）2；（－5a－2b2）（______）＝4b4－25a2．

x2＋______＋25＝（x＋______）2；x2－10x＋______＝（______－5）2；

x2－x＋______＝（x－______）2；4x2＋______＋9＝（______＋3）2．

2.若x－y＝４，x＋y＝７，则x

－y

＝　　　　　　.

3.

＝　　　.4.x

＋y

=（x+y）

－　　　　　＝（x－y）

＋　　　　　.

5.m

＋

＝（m＋

）

－　　　　　　.

6.若x

＋mx＋4是一个完全平方公式，则m的值

7.若x－y＝3，x·y＝10.则x

＋y

＝　　　　　　.

8．已知

，代数式

的值为___________。

9．观察下列各式：

1×3=3=22-1，3×5=15=42-1，5×7=35=62-1，7×9=63=82-1

……，将你观察出的规律用含n的等式表示出来（n为正整数）__________.

二.选择

10.计算（x

＋１）（x

＋１）（x＋１）（x－１）的结果是（　　　）

　　　A.x

＋１　　　B.x

－１　　C.（x＋１）

　　D.（x－１）

11.下列各式计算正确的是（　　　）

　A.（a＋b＋c）

＝a

＋b

＋c

　　　　B.（a＋b－c）

＝a

＋b

－c

　C.（a＋b－c）

＝（－a－b＋c）

　　D.（a＋b－c）

＝（a－b＋c）

12.下列各式中，能使用平方差公式的是（）

A．（x2－y2）（y2＋x2）

B．（0.5m2－0.2n3）（－0.5m2＋0.2n3）

C．（－2x－3y）（2x＋3y）

D．（4x－3y）（－3y＋4x）

13.下列等式不能恒成立的是（）

A．（3x－y）2＝9x2－6xy＋y2

B．（a＋b－c）2＝（c－a－b）2

C．（0.5m－n）2＝0.25m2－mn＋n2

D．（x－y）（x＋y）（x2－y2）＝x4－y4

14.若

则

的结果是（）

A．23B．8C．－8D．－23

15.（a＋3）（a2＋9）（a－3）的计算结果是（）

A．a4＋81B．－a4－81C．a4－81D．81－a4

16.一个长方形的面积为x

－y

，以它的