一天征服傅里叶变换.docx
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一天征服傅里叶变换
一天征服傅里叶变换
如果你对信号处理感兴趣，无疑会说这个标题是太夸张了⃞我赞同这点⃞当然，没有反覆实践和钻研数学，您无法在一天里学会傅立叶变换的方方面面⃞无论如何,这个在线课程将提供给您怎样进行傅立叶变换运算的基本知识⃞能有效和能非常简单地领会的原因是我们使用了一种不太传统的逼近⃞重要的是你将学习傅立叶变换的要素而完全不用超过加法和乘法的数学计算!
我将设法在不超过以下六节里解释在对音像信号处理中傅立叶变换的实际应用⃞
步骤1:
一些简单的前提
在下面，您需要理解以下四件最基本的事情:
加法，乘⃝除法⃞什么是正弦，余弦和正弦信号⃞明显地，我将跳第一二件事和将解释位最后一个⃞您大概还记得您在学校学过的“三角函数”[1]，它神秘地用于与角度一起从它们的内角计算它们的边长，反之亦然⃞我们这里不需要所有这些事，我们只需要知道二个最重要的三角函数，"正弦"和"余弦"的外表特征⃞这相当简单:
他们看起来象是以峰顶和谷组成的从观察点向左右无限伸展的非常简单的波浪⃞
（附图一）
Thesinewave
Thecosinewave
如同你所知道的，这两种波形是周期性的，这意味着在一定的时间⃝周期之后，它们看起来再次一样⃞两种波形看起来也很象，但当正弦波在零点开始时余弦波开始出现在最大值⃞在实践中，我们如何判定我们在一个给定时间所观测到的波形是开始在它的最大值或在零?
问的好:
我们不能⃞实践上没有办法区分正弦波和余弦波，因此看起来象正弦或余弦波的我们统称为正弦波，在希腊语中译作"正弦类"⃞正弦波的一个重要性质是"频率"⃞它告诉我们在一个给定的时间内有多少个波峰和波谷⃞高频意味许多波峰和波谷，低频率意味少量波峰和波谷:
Lowfrequencysinusoid
Middlefrequencysinusoid
Highfrequencysinusoid
步骤2:
了解傅立叶定理
Jean-BaptisteJosephFourier是孩子们中让父母感到骄傲和惭愧的的一个，因为他十四岁时就开始对他们说非常复杂的数学用语⃞他的一生中做了很多重要工作，但最重大的发现可能是解决了材料热传导问题⃞他推导出了描述热在某一媒介中如何传导的公式，即用三角函数的无穷级数来解决这个问题（就是我们在上面讨论过的正弦⃝余弦函数）⃞主要和我们话题有关的是：
傅里叶的发现总结成一般规律就是任意复杂的信号都能由一个个混合在一起的正弦函数的和来表示⃞
这是一个例子：
Thisisouroriginal
Onesine
Twosines
Foursines
Sevensines
Fourteensines
（附图三）
在这里你看到的是一个原始的信号，以及如何按某一确定的关系（“配方”）混合在一起的正弦函数混合物（我们称它们为分量）所逼近⃞我们将简略地谈论一下那份配方⃞如你所知，我们用的正弦函数愈多其结果就愈精确地接近我们的原始信号波形⃞在“现实”世界中，在信号连续的地方，即你能以无穷小的间隔来测量它们，精度仅受你的测试设备限制，你需要无限多的正弦函数才能完美地建立任意一个给定的信号⃞幸运地是，和数字信号处理者们一样，我们不是生活在那样的世界⃞相反，我们将处理仅以有限精度每隔一定间隔被测量的现实世界的采样信号⃞因而，我们不需要无限多地正弦函数，我们只需要非常多⃞稍后我们也将讨论这个“非常多”是多少⃞目前重要的一点是你能够想象，任意一个在你计算机上的信号，都能用简单正弦波按配方组成⃞
步骤3:
“非常多”是多少
正如我们所知道的，复杂形状的波形能由混合在一起的正弦波所建立⃞我们也许要问需要多少正弦波来构造任意一个在计算机上给定的信号⃞当然，倘若我们知道正在处理的信号是如何组成的，这可能至少是一个单个正弦波⃞在许多情况下，我们处理的现实世界的信号可能有非常复杂的结构，以至于我们不能深入知道实际上有多少“分量”波存在⃞在这种情况下，即使我们无法知道原始的信号是由多少个正弦波来构成的，肯定存在一个我们将需要多少正弦波的上限⃞尽管如此，这实际上没解决有多少的问题⃞让我们试着来直观地逼近它:
假设一个信号我们有1000个样采，可能存在的最短周期正弦波（即多数波峰波谷在其中）以交替的波峰波谷分布在每个采样内⃞因此，最高频率的正弦波将有500个波峰和500个波谷在我们的1000个采样中，且每隔一个采样是波峰⃞下图中的黑点表示我们的采样，所以，最高频率的正弦波以看起来象这样:
Thehighestfrequencysinewave
（附图四）
现在让我们来看一下最低频率正弦波可能多么低⃞如果我们只给一个单独的采样点，我们将如何能测量穿过这点的正弦波的峰顶和谷?
我们做不到，因为有许多不同周期正弦波穿过这点⃞
所以，一个单独数据点不足以告诉我们关于频率的任何事⃞现在，如果我们有两个采样，那么穿过这两点的正弦波的最低频率是什么？
在这种情况下它很常简单⃞只有一个穿过这两点的非常低频率的正弦
波⃞它看起来向这样：
Thelowestfrequencysinewave
（附图六）
想象最左面的两个点是二个钉子和一个跨越它们之间的弦（图六描述三个数据点是因为正弦波的周期性，但我们实际上只需要最左面的两点说明它的频率）⃞我们能领会的最低的频率是来回地摆动在二个钉子之间的弦，象是图六中左边两点之间的正弦波所做的⃞如果我们有1000个采样，那么两个“钉子”相当于第一个或最后的采样，比如1号采样和1000号采样⃞从对乐器的体验我们知道，当长度增加时弦的频率将下降⃞所以我们可以想象，当我们将两个钉子向彼此远离的方向移开时，最小正弦波的频率将变得更低⃞例如，如果我们选择2000个采样，因为我们的“钉子”，在1号或2000号采样间，所以最低正弦波将更低⃞事实上，它将低两倍，因为因为我们的钉子比1000个采样时远两倍⃞这样，如果我们有更多的采样，我们将能辨别出一个更低频率的正弦波，因为它们的零交叉点（我们的“钉子”）将移动得更远⃞这对了解下面的解释是非常重要的⃞
象我们看到的那样，在两个“钉子”之后，我们的波形开始重复上升斜坡（第一个钉子和第三个钉子同样）⃞这意味着任意两个相邻的钉子准确地包含完整正弦波的一半，换句话说一个峰或一个谷或半个周期⃞
概括一下我们刚学过的东西，我们知道，一个采样正弦波的上限频率是所有其它有一个波峰和波谷的采样，并且，低频下限是我们看到的正好匹配采样数的正弦波的周期的一半⃞但等一下，这难到不意味着，当上限频率保持固定时，当有很多采样时最低频率可以降低？
确实如此!
结果我们将从一个低频开始增加更多正弦波来组成一个较长的未知内容的信号⃞
一切都清楚了，但我们仍然不知道我们最终需要多少正弦波⃞就象我们现在知道任意正弦波分量所能具的有上下限频率一样，我们能计算出适合这两个极限之间的量是多少⃞既然我们沿着最左到最右的采样固定了最低正弦波分量，我们要所有其它正弦波最好也使用这些钉子（为什么我们要不同地对待他们?
所有
的正弦波被同等的创建！
）⃞假设正弦波束是系在吉他上二个固定点的弦⃞它们能只摇摆在二个钉子之间（除非他们断了），就象我们下图的正弦波⃞这导致如下关系，我们的最低分量
（1）以1/2周期装配，第二分量
（2）以1个周期装配，第三分量以11/2周期装配以此类推直到我们看到的1000个采样⃞形象地,看
起来象这:
（附图七）
现在，如果我们算一下要多少正弦波以那种方法装配我们的1000个采样，就会发现我们精确地需要
1000个正弦波叠加起来表示1000个采样⃞实际上，我们总是发现我们需要和采样一样多的正弦波⃞步骤4关于烹饪食谱
在前面的段落我们看到,任一个给定的在计算机上的信号能被正弦波混合物来构造⃞我们考虑了他们的频率，并且考虑了需要多大的最低和最高频率的正弦波来完美地重建任一个我们所分析信号⃞我们明白了为确定所需最低的正弦波分量，我们考察的采样的数量是重要，但我们还未论述实际正弦波如何必需被混合产生某一确定的结果⃞由叠加正弦波组成任何指定的信号，我们需要测量他们的另外一个方面⃞实际上，频率不是我们需要知道的唯一的事⃞我们还需要知道正弦波的幅度，也就是说每个正弦波幅度有多高才能混合在一起产生我们需要的输入信号⃞高度是正弦波的峰顶的高度，意即峰顶和零线之间距离⃞幅度赿高，我们听到的声音也就赿大⃞所以，如果您有一个含有许多低音的信号，无疑可以预期混合体中的低频率正弦波的分量比例比高频正弦波分量更大⃞因此一般情况下，低音中的低频正弦波有一个比高频正弦波更高的幅度⃞在我们的分析中，我们将需要确定各个分量正弦波的幅度以完成我们的配方⃞
如果你一直跟着我，我们几乎完成了通向傅里叶变换的旅程⃞我们学了需要多少正弦波，它的数量依赖于我们查看的采样的数量有一个频率上下限界，并且不知道怎么确定单个分量的幅度以完成我们的配方⃞我们一直不清楚究竟如何从我们的采样来确定实际的配方⃞直观上我们可以断定能找到正弦波的幅度，设法把一个已知频率正弦波和采样作对比，我们测量找出它们有多么接近⃞如果它们精确地相等，我们知道该正弦波存在着相同的幅度，如果我们发现我们的信号与参考正弦波一点也不匹配，我们将认为这个不存在⃞尽管如此，我们如何高效地把一个已知的正弦波同采样信号进行比较？
幸运地是，数字信号处理工作者早已解决了如何作这些⃞事实上，这象加法和乘法一样容易－我们取一个已知频率的单位正弦波（这意味着它的振幅是1，可从我们的计算器或计算机中精确地获得）和我们的信号采样相乘⃞累加乘积之后，我们将得到我们正在观测的这个频率上正弦波分量的幅度⃞这是个举例，一个简单的完成这些工作的C代码片段：
Listing1.1:
ThedirectrealizationoftheDiscreteSineTransform（DST）:
#defineM_PI3.14159265358979323846longbin,k;
doublearg;
for（bin=0;bintransformData[bin]=0.;
for（k=0;karg=（float）bin*M_PI*（float）k/（float）transformLength;
transformData[bin]+=inputData[k]*sin（arg）;
}
}
这段代码变换存储在inputData[0...transformLength-1]中我们测量的采样点成为一个正弦波分量的幅度队列transformData[0...transformLength-1]⃞根据通用术语，我们称参考正弦波的频率步长为盒（bin），这意味着它们被认为象是一个我们放置我们估计的任意分量波的幅度的容器⃞离散正弦变换（DST）是一个
普通程序，它假设我们无法想象我们的信号看起来象什么样，否则我们能使用一个更加高效率的方法来确定正弦波分量的幅度（例如，我们予先知道,我们的信号是一个已知频率的正弦波⃞我们能直接地找出它的高度而不用计算正弦波的整个范围⃞实现这个有效的逼近是基于傅里叶原理，它能在文献的戈策尔（Goertzel）算法条目下找到）⃞
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