09圆锥曲线方程03抛物线2.docx
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09圆锥曲线方程03抛物线2
【基础知识精讲】
抛物线的几何性质、图形、标准方程列表如下：
图形
标准
方程
y2=2px（p＞0）
y2=-2px（p＞0）
x2=2py（p＞0）
x2=-2py（p＞0）
焦点
坐标
（
0）
（-
0）
（0,
）
（0，-
）
准线
方程
x=-
x=
y=-
y=
范围
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
顶点
（0，0）
（0，0）
（0，0）
（0，0）
离心率
e=1
e=1
e=1
e=1
焦半径
｜PF｜=x0+
｜PF｜=
-x0
｜PF｜=
+y0
｜PF｜=
-y0
参数p的几何
意义
参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.
本节学习要求：
1.抛物线方程的确定，先由几何性质确定抛物线的标准方程，再用待定系数法求其方程.
2.解决有抛物线的弦中点问题及弦长问题与椭圆、双曲线一样，利用弦长公式、韦达定理、中点坐标公式及判别式解决.
3.抛物线中有关轨迹与证明问题也与前面内容一样.常用方法有轨迹法、代入法、定义法.参数法等.证明的方法是解析法.
通过学习本节内容，更进一步培养我们学习数学的兴趣，培养良好的思维品质.运用数形结合的思想方法解决问题，提高分析问题和解决的能力.
【重点难点解析】
1.抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心.通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.
应熟练掌握抛物线的四种标准方程.本节重点是抛物线的简单几何性质，难点是几何性质的灵活应用.
例1已知抛物线顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点（x0，-8）到焦点的距离等于17，求抛物线方程.
例2求抛物线y2=4x中斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.
例3设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点.已知OA⊥OB，OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程，并说明表示什么曲线.
【难题巧解点拨】
例1已知抛物线y2=2px上两点A、B，BC⊥x轴交抛物线于C，AC交x轴于E，BA延长交x轴于D，求证：
O为DE中点.
例2设抛物线过定点A（0，2）且以x轴为准线.
（Ⅰ）试求抛物线顶点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）如果点P（a,1）不在线段y=1（-2≤x≤2）上，那么当a取何值时，过P点存在一对互相垂直的直线同时与曲线C各有两个交点?
【命题趋势分析】
本节与椭圆、双曲线的相同内容相似，都是高考的重要内容.圆锥曲线的基础知识；直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦及弦的中点的轨迹问题；圆锥曲线中的有关最值问题等等.本章内容为高考压轴题的高频题.
【典型热点考题】
例1抛物线y=x2的弦AB保持与圆x2+y2=1相切移动，求过A、B的抛物线的切线交点的轨迹方程.
例2某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用如图甲所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用如图乙所示的抛物线段表示.
（1）写出如图甲所示市场售价与时间的函数关系式P＝f（t）；写出如图乙所示种植成本与时间的函数关系式Q＝g（t）.
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?
（注：
市场售价和种植成本的单位：
元/102kg，时间单位：
天）
【同步达纲练习】
A级
一、选择题
1.若A是定直线l外的一定点，则过A且与l相切圆的圆心轨迹是（）
A.圆B.椭圆C.双曲线一支D.抛物线
2.抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是（）
A.2.5B.5C.7.5D.10
3.已知原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是（）
A.y2=11xB.y2=-11xC.y2=22xD.y2=-22x
4.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点且垂直于x轴的弦AB，O为抛物线顶点，则∠AOB（）
A.小于90°B.等于90°
C.大于90°D.不能确定
5.以抛物线y2=2px（p＞0）的焦半径｜PF｜为直径的圆与y轴位置关系为（）
A.相交B.相离C.相切D.不确定
二、填空题
6.圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是.
7.若以曲线
+
=1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于A、B两点，则｜AB｜=.
8.若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为
，则此抛物线的方程是.
三、解答题
9.抛物线x2=4y的焦点为F，过点（0，-1）作直线l交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FABR，试求动点R的轨迹方程.
10.是否存在正方形ABCD，它的对角线AC在直线x+y-2=0上，顶点B、D在抛物线y2=4x上?
若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.
AA级
一、选择题
1.经过抛物线y2=2px（p＞0）的所有焦点弦中，弦长的最小值为（）
A.pB.2pC.4pD.不确定
2.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB的中点横坐标为2，则｜AB｜为（）
A.
B.4
C.2
D.
3.曲线2x2-5xy+2y2=1（）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称，但不关于y=x对称
D.关于直线y=x对称也关于直线y=-x对称
4.若抛物线y2=2px（p＞0）的弦PQ的中点为（x0,y0）（y≠0），则弦PQ的斜率为（）
A.-
B.
C.px-D.-px0
5.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点弦AB的两端点坐标分别为A（x1,y1），B（x2,y2），则
的值一定等于（）
A.4B.-4C.p2D.-p2
二、填空题
6.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4
，则焦点到AB的距离为.
7.以椭圆
+y2=1的右焦点F为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个公共点是A，则｜AF｜=.
8.若△OAB为正三角形，O为坐标原点，A、B两点在抛物线y2=2px上，则△OAB的周长为.
三、解答题
9.抛物线y=-
与过点M（0，-1）的直线l相交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB斜率之和为1，求直线l的方程.
10.已知半圆的直径为2r，AB为直径，半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T，且｜TA｜=2a（2a＜
）,半圆上有M、N两点，它们与直线l的距离｜MP｜、｜NQ｜满足条件｜MP｜=｜AM｜,｜NQ｜=｜AN｜，求证：
｜AM｜+｜AN｜=｜AB｜.
【素质优化训练】
一、选择题
1.过点A（0，1）且与抛物线y2=4x有唯一公共点的直线的条数为（）
A.1B.2C.3D.4
2.设抛物线y=ax2（a＞0）与直线y=kx+b相交于两点，它们的横坐标为x1,x2,而x3是直线与x轴交点的横坐标，那么x1、x2、x3的关系是（）
A.x3=x1+x2B.x3=
+
C.x1x2=x2x3+x3x1D.x1x3=x2x3+x1x2
3.当0＜k＜
时，关于x的方程
=kx的实根的个数是（）
A.0个B.1个C.2个D.3个
4.已知点A（1，2），过点（5，-2）的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B、C，则△ABC是（）
A.锐角三角形B.钝角三角形
C.直角三角形D.不确定
5.将直线x-2y+b=0左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，则实数b的值等于（）
A.-1B.1C.7D.9
二、填空题
6.抛物线y2=-8x被点P（-1，1）所平分的弦所在直线方程为.
7.已知抛物线y2=2x的弦过定点（-2，0），则弦AB中点的轨迹方程是.
8.已知过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB被F分成长度为m、n的两部分，则
+
=.
三、解答题
9.已知圆C过定点A（0，p）（p＞0），圆心C在抛物线x2=2py上运动，若MN为圆C在x轴上截得的弦，设｜AM｜=m,｜AN｜=n，∠MAN=θ.
（1）当点C运动时，｜MN｜是否变化?
写出并证明你的结论?
（2）求
+
的最大值，并求取得最大值时θ的值和此时圆C的方程.
10.已知抛物线y2=4ax（0＜a＜1）的焦点为F，以A（a+4,0）为圆心，｜AF｜为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点，
（Ⅰ）求｜MF｜+｜NF｜的值；
（Ⅱ）是否存在这样的a值，使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列?
如存在，求出a的值，若不存在，说明理由.
【生活实际运用】
1.已知点P（x0,y0）在抛物线含焦点的区域内，求证以点P为中点的抛物线y2=2px（p＞0）的中点弦方程为
yy0-p（x+x0）=y20-2px0
注：
运用求中点弦的方法不难求出结论，这一结论和过抛物线y2=2px上点的切线方程有什么联系?
若P（x0,y0）为非对称中心，将抛物线y2=2px换成椭圆
+
=1或双曲线
-
=1，它们的中点弦存在的话，中点弦方程又将如何?
证明你的结论.
中点弦方程在高考中多以选择题、填空题的形式出现.
2.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA=1.25米.安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?
分析根据图形的对称性，设出并求出一边的抛物线的方程，便可求出水池的半径.
以OA所在直线为y轴，过O点作oy轴的垂直线ox轴，建立直角坐标系如图
依题意A（0，1.25），设右侧抛物线顶点为则B（1，2.25），抛物线与x轴正向交点为C，OC即圆型水池的半径.
设抛物线ABC的方程为
（x-1）2=-2p（y-2.25）
将A（0，1.25）代入求得p=
∴抛物线方程为（x-1）2=-（y-2.25）
令y=0，（x-1）2=1.52,x=2.5（米）
即水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不致落到池外.
【知识验证实验】
1.求函数y=
-
的最大值.
解：
将函数变形为y=
-
，由几何意义知，y可以看成在抛物线f（x）=x2上的点P（x,x2）到两定点A（3，2）和B（0，1）的距离之差，∵｜PA｜-｜PB｜≤｜AB｜，∴当P、A、B三点共线，且P在B的左方时取等号，此时P点为AB与抛物线的交点，即P为（
，
）时，ymax=｜AB｜=
.
2.参与设计小花园的喷水池活动.
要求水流形状美观，水流不落池外.
【知识探究学习】
1.如图，设F是抛物线的焦点，M是抛物线上任意一点，MT是抛物线在M的切线，MN是法线，ME是平行于抛物线的轴的直线.求证：
法线MN必平分∠FME，即φ1=φ2.
解：
取坐标系如图，这时抛物线方程为y2=2px.（p＞0），因为ME平行x轴（抛物线的轴），∴φ1=φ2,只要证明φ1=φ3，也就是△FMN的两边FM和FN相等.设点M的坐标为（x0,y0），则法线MN的方程是y-y0=-
（x-x0）,令y=0，便得到法线与x轴的交点N的坐标（x0+p,0），所以｜FN｜=｜x0+p-
｜=x0+
又由抛物线的定义可知，｜MF｜=x0+
∴｜FN｜=｜FM｜,由此得到φ1=φ2=φ3，若M与顶点O重合，则法线为x轴，结论仍然成立.
2.课本第124页阅读材料：
圆锥曲线的光学性质及其应用
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