普通高等学校招生全国统一考试湖北卷数学试题 理科解析版.docx
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普通高等学校招生全国统一考试湖北卷数学试题理科解析版
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理）试题解析
试卷类型：
A
本试题卷共4页，三大题21小题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。
2选择题的作答：
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
咎在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区
域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：
本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只
有一项是满足题目要求的.
1.
为虚数单位，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
解析：
因为
，所以
，故选A.
2.已知
，
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
解析：
由已知
.
，所以
故选A.
3.已知函数
，
，若
，则
的取值范围为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
解析：
由条件
得
，则
，解得
，
，所以选B.
4.将两个顶点在抛物线
上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为
，则（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
解析：
根据抛物线的对称性，正三角形的两个
顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线
倾斜角分别为
和
，这时过焦点的直线
与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形
的个数记为
，
，所以选C.
5.已知随机变量
服从正态分布
，且
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
解析：
如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于
直线
对称，所以
，并且
则
所以选C.
6.已知定义在R上的奇函数
和偶函数
满足
，若
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
解析：
由条件
，
，即
，由此解得
，
，
所以
，
，所以选B.
7.如图，用
三类不同的元件连接成一个系统，
正常工作且
至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知
正常工作的概率依次为
、
、
，则系统正常工作的概率为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
解析：
至少有一个正常工作的概率为
，
系统正常工作概率为
，所以选B.
8.已知向量a
，b
，且a⊥b.若
满足不等式
，则
的取值范围为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
解析：
因为a⊥b，
，
则
，
满足不等式
，
则点
的可行域如图所示,
当
经过点
时，
取得最大值3
当
经过点
时，
取得最小值-3
所以选D.
9.若实数
满足
，且
，则称
与
互补，记
，那么
是
与
互补（）
A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要的条件
【答案】C
解析：
若实数
满足
，且
，则
与
至少有一个为0，不妨设
，则
；反之，若
，
两边平方得
，则
与
互补，故选C.
10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量
（单位：
太贝克）与时间
（单位：
年）满足函数关系：
，其中
为
时铯137的含量，已知
时，铯137的含量的变化率是
（太贝克/年），则
（）
A.5太贝克B.
太贝克C.
太贝克D.150太贝克
【答案】D
解析：
因为
，则
，解得
，所以
，那么
（太贝克），所以选D.
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分
11.在
展开式中含
的项的系数为.（结果用数值表示）
【答案】17
【解析】二项式展开式的通项公式为
，令
，含
的项的系数为
，故填17.
12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为.（结果用最简分数表示）
【答案】
解析：
从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B，则A与B是对立事件，因为
，所以
，所以填
.
13.《九章算术》“竹九节”问题：
现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升.
【答案】
解析：
设该数列
的首项为
，公差为
，依题意
，即
，解得
，
则
，所以应该填
.
14.如图，直角坐标系
所在的平面为
，直角坐标系
（其中
轴与
轴重合）所在的平面为
，
.
（Ⅰ）已知平面
内有一点
，
则点
在平面
内的射影
的坐标为；
（Ⅱ）已知平面
内的曲线
的方程是
，则曲线
在平面
内的
射影
的方程是.
【答案】
解析：
（Ⅰ）设点
在平面
内的射影
的坐标为
，
则点
的纵坐标和
纵坐标相同，
所以
，过点
作
，垂足为
，
连结
，则
，
横坐标
，
所以点
在平面
内的射影
的坐标为
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
，所以
代入曲线
的方程
，得
，所以射影
的方程填
.
15.给
个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当
时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：
由此推断，当
时，黑色正方形互不相邻着色方案
共有种，至少有两个黑色正方形相邻着色方案
共有种.（结果用数值表示）
【答案】
解析：
设
个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数为
，
由图可知，
，
，
，
，
由此推断
，
，故黑色正方形互不相邻着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有
种方法，由于黑色正方形互不相邻着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有
种着色方案，故分别填
.
三、解答题：
本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分10分）
设
的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知
（Ⅰ）求
的周长
（Ⅱ）求
的值
本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。
（满分10分）
解：
（Ⅰ）
的周长为
（Ⅱ）
，故A为锐角，
17．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。
在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：
千米/小时）是车流密度x（单位：
辆/千米）的函数。
当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当
时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当
时，求函数
的表达式;
（Ⅱ）当车流密度
为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：
辆/每小时）
可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。
（满分12分）
解：
（Ⅰ）由题意：
当
；当
再由已知得
故函数
的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当
为增函数，故当
时，其最大值为60×20=1200；
当
时，
当且仅当
，即
时，等号成立。
所以，当
在区间[20，200]上取得最大值
综上，当
时，
在区间[0，200]上取得最大值
。
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。
18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱
的各棱长都是4，
是
的中点，动点
在侧棱
上，且不与点
重合．
（Ⅰ）当
=1时，求证：
⊥
；
（Ⅱ）设二面角
的大小为
，求
的最小值．
本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。
（满分12分）
解法1：
过E作
于N，连结EF。
（I）如图1，连结NF、AC1，由直棱柱的性质知，
底面ABC
侧面A1C。
又度面
侧面A，C=AC，且
底面ABC，
所以
侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影，
在
中，
=1，
则由
，得NF//AC1，
又
故
。
由三垂线定理知
（II）如图2，连结AF，过N作
于M，连结ME。
由（I）知
侧面A1C，根据三垂线定理得
所以
是二面角C—AF—E的平面角，即
，
设
在
中，
在
故
又
故当
时，
达到最小值；
，此时F与C1重合。
解法2：
（I）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得
于是
则
故
（II）设
，
平面AEF的一个法向量为
，
则由（I）得F（0，4，
）
，于是由
可得
取
又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为
，
于是由
为锐角可得
，
所以
，
由
，得
，即
故当
，即点F与点C1重合时，
取得最小值
19．（本小题满分13分）已知数列
的前
项和为
，且满足：
，
N*，
．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）若存在
N*，使得
，
，
成等差数列，是判断：
对于任意的
N*，且
，
，
，
是否成等差数列，并证明你的结论．
本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想。
（满分13分）
解：
（I）由已知
可得
，两式相减可得
即
又
所以r=0时，
数列
为：
a，0，…，0，…；
当
时，由已知
（
），
于是由
可得
，
成等比数列，
，
综上，数列
的通项公式为
（II）对于任意的
，且
成等差数列，证明如下：
当r=0时，由（I）知，
对于任意的
，且
成等差数列，
当
，
时，
若存在
，使得
成等差数列，
则
，
由（I）知，
的公比
，于是
对于任意的
，且
成等差数列，
综上，对于任意的
，且
成等差数列。
20．（本小题满分14分）平面内与两定点
，
连续的斜率之积等于非零常数
的点的轨迹，加上
、
两点所成的曲线
可以是圆、
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