《高考真题》专题09 等差数列高考理数母题题源系列全国Ⅰ专版解析版.docx

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《高考真题》专题09等差数列高考理数母题题源系列全国Ⅰ专版解析版

专题09等差数列

【母题来源一】【2019年高考全国I卷理数】记

为等差数列

的前n项和．已知

，则

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由题知，

，解得

，∴

，

.

故选A．

【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．

【母题来源二】【2018年高考全国I卷理数】设

为等差数列

的前

项和，若

，

，则

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】设等差数列的公差为

，根据题中的条件可得

，

整理解得

，所以

.

故选B．

【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差

的值，之后利用等差数列的通项公式得到

与

的关系，从而求得结果.

【母题来源三】【2017年高考全国I卷理数】记

为等差数列

的前

项和．若

，

，则

的公差为

A．1B．2

C．4D．8

【答案】C

【解析】设公差为

，

，

，联立

解得

.

故选C．

【秒杀解】因为

，即

，

则

，即

，解得

.

故选C．

【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如

为等差数列，若

，则

.

【命题意图】

（1）理解等差数列的概念.

（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.

【命题规律】

从近三年高考情况来看，等差数列一直是高考的热点，尤其是等差数列的通项公式及其性质，等差数列的前n项和等为考查重点，题型多为选择题、填空题，解题时要注意性质的应用，充分结合函数与方程、分类讨论、化归与方程等数学思想的运用.

常见的命题角度有：

（1）等差数列基本量的计算；

（2）等差数列的通项及前n项和的求解；

（3）等差数列的判定与证明；

（4）等差数列性质的应用；

（5）等差数列的文化背景问题.

【方法总结】

（一）等差数列基本运算的解题思路：

（1）设基本量a1和公差d．

（2）列、解方程组：

把条件转化为关于a1和d的方程（组），然后求解，注意整体计算，以减少运算量．

（二）求解等差数列通项公式的方法主要有两种：

（1）定义法.

（2）前

项和法，即根据前

项和

与

的关系求解.

（三）等差数列前n项和公式的应用方法：

根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用

；

若已知通项公式，则使用

，同时注意与性质“

”的结合使用.

（四）等差数列的判定与证明的方法：

定义法：

或

是等差数列；

定义变形法：

验证是否满足

；

等差中项法：

为等差数列；

通项公式法：

通项公式形如

为常数

为等差数列；

前n项和公式法：

为常数

为等差数列．

（五）等差数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题.

应用等差数列性质的注意点：

（1）熟练掌握等差数列性质的实质

等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.

（2）应用等差数列的性质解答问题的关键

寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若

，则

，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列{an}的前n项和Sn中的n为奇数时，才有Sn=na中成立.

（六）等差数列的前n项和的最值问题

（1）二次函数法：

，由二次函数的最大值、最小值的知识及

知，当n取最接近

的正整数时，

取得最大（小）值．但应注意，最接近

的正整数有1个或2个．

注意：

自变量n为正整数这一隐含条件.

（2）通项公式法：

求使

（

）成立时最大的n值即可．一般地，等差数列

中，若

，且

，则

①若

为偶数，则当

时，

最大；

②若

为奇数，则当

或

时，

最大．

（3）不等式法：

由

，解不等式组确定n的范围，进而确定n的值和

的最大值．

1．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学试题】记等差数列

的前

项和为

.若

，

，则

的公差为

A．3B．2

C．−2D．−3

【答案】A

【解析】由等差数列的性质可知，

，解得

，

故

.故选A.

【名师点睛】本小题主要考查等差数列前

项和公式，考查等差数列的性质，考查等差数列公差的计算公式，属于基础题.求解时，根据等差数列的性质，由

求得

的值，根据等差数列公差的计算公式计算出公差.

2．【山东省淄博市部分学校2019届高三阶段性诊断考试数学试题】已知数列

是等差数列，

是它的前

项和，若

，则

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由

得

，

解得

，

所以

，

故选B.

【名师点睛】本题考查等差数列的前

项和公式，属于基础题.解答时，根据等差数列的前

项和公式化简

，将

代入求出公差

的值，然后由首项

和公差

，利用等差数列的前

项和公式求出

即可.

3．【安徽省1号卷·A10联盟2019届高考最后一卷数学理科试题】等差数列

的前

项和为

，若

，则

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由等差数列性质可知：

，解得：

，

，

本题正确选项为B.

【名师点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.利用等差中项的性质可得

，求得

，再根据下角标的性质可求得结果.

4．【福建省龙岩市（漳州市）2019届高三5月月考数学试题】在等差数列

中，

，

，则

A．1B．2

C．3D．4

【答案】B

【解析】在等差数列{an}中，由

得5a7＝100，即

，又由

，得4d=12，即d=3，所以

2.

故选B.

【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题．由已知结合等差数列的性质求得a7的值，列关于

的方程组求解即可.

5．【湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练（五）数学试题】等差数列

的前n项和为Sn，若a4，a10是方程

的两根，则

A．21B．24

C．25D．26

【答案】D

【解析】因为

是方程

的两根，所以

，

又由

，故选D.

【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和前n项和公式，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.求解本题时，根据一元二次方程中根与系数的关系，得到

，再由等差数列的性质和前n项和公式，即可求解.

6．【河南省开封市2019届高三第三次模拟数学试题】设

为等差数列

的前

项和，若

，

，则

A．−3B．−2

C．2D．3

【答案】C

【解析】由题得

.

故选C.

【名师点睛】本题主要考查等差数列前n项和与通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，由题得到关于

的方程组，解方程组即得解.

7．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学文科试题】已知

是等差数列

的前

项和，若

，

，则

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】设等差数列

的公差为

.

由题意得

解得

所以

.故选A.

【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前

项和公式，计算等差数列的通项公式和前

项和公式中的基本量，等差数列的相关问题往往要通过列关于

的方程组来求

.对于本题，列出关于

的方程组并解出，即可求得

的值.

8．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模数学试题】已知数列

为等差数列，

为其前

项和，

，则

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

，

，解得：

，

，

本题正确选项为C.

【名师点睛】本题考查等差数列基本量的求解、前

项和的求解问题，属于基础题.求解本题时，利用

和

表示出已知等式可求得

，利用

求得结果.

9．【广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学试题】我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：

“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：

“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？

A．6斤B．7斤

C．9斤D．15斤

【答案】D

【解析】因为每一尺的重量构成等差数列

，

，

，

，

数列的前5项和为

．

即金锤共重15斤，

故选D．

【名师点睛】本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于基础题.求解时，直接利用等差数列的求和公式求解即可.

10．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学试题】已知等差数列

满足

，则数列

的前12项之和为

A．

B．80

C．144D．304

【答案】D

【解析】因为

，所以

.

所以

所以前12项之和为

.

故选D.

【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于中档题.处理含绝对值的数列问题时，可考虑去绝对值号写成分段函数的形式.求解本题时，根据条件，求出等差数列通项公式，写出

利用等差数列求和公式求前5项与后7项的和，相加即可.

11．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模）数学试题】已知等差数列

的前

项和为

，则数列

的前2019项和为

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】设等差数列

的公差为

，

，

，

，

，

联立解得：

，

．

．

则数列

的前2019项和

．

故选C．

【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题．求解时，设等差数列

的公差为

，由

，

，可得

，

，联立解得

，

，可得

，再利用裂项求和方法即可得出．

12．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知等差数列

的前

项和为

，且

，则满足

的正整数

的最大值为

A．16B．17

C．18D．19

【答案】C

【解析】由

得，

，

，

，所以公差小于零.

又

，

，

，

故选C.

【名师点睛】本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的性质与求和公式即可，属于常考题型.求解时，先由

，得到

，

，

，公差小于零，再由数列的求和公式，即可得出结果.

13．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三）数学试题】已知数列

的前

项和为

，满足

，则下面选项为等差数列的是

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】因为

，代入

得

则

，

故

所以

不是等差数列，故A错误；

同理，

，

，

，所以

不是等差数列，故B错误；

，

，

，所以

不是等差数列，故D错误；