市北资优七年级分册 第18章 182 直角坐标平面内点的运动+詹刚键.docx
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市北资优七年级分册第18章182直角坐标平面内点的运动+詹刚键
第二节直角坐标平面内点的运动
18.2直角坐标平面内点的运动
数轴上,如果点A、B所对应的实数分别是a、b,那么A、B两点的距离AB=|a-b|.
思考
在直角坐标平面内,已知x轴上两个点A(x1,0)、B(x2,0),y轴上两点C(0,y1)、D(0,y2),如何求AB、CD呢?
问题
在直角坐标平面内,已知直线AB平行于x轴,直线CD平行于y轴,A(一3,3)、B(4,3)、C(2,-2)、D(2,4),如何求AB、CD呢?
如图18.2.1,分别过A、B两点作x轴的垂线,垂足分别A'、B’,那么A’、B’的坐标分别为(-3,0)、(4,0),所以AB=A'B'=|(-3)-4|=7.
同理,可得CD=C’D‘=|(-2)-4|=6.
在直角坐标平面内,平行于x轴的直线上两点A(x1,y)、B(x2,y)的距离AB=|x1-x2|;
平行于y轴的直线上两点C(x,y1)、D(x,y2)的距离CD=|y1-y2|.
例1在直角坐标平面内:
(1)已知点A(2,3),B(2,-5),求AB;
(2)已知点A(-5,-6),B(-7,-6),求AB.
解
(1)AB=|3-(-5)|=8.
(2)AB=|-5-(-7)|=2.
例2如图18.2.2,在直角坐标平面内,已知点A的位置.
(1)描出点B,使直线AB平行于x轴,并且A、B两点的距离为2个单位;
(2)描出点C.使直线AC平行于y轴,并且A、C两点的距离为3个单位;
(3)点B的坐标是,点C的坐标是.
解到点A距离为2的点有无数个,是以A为圆心以2为半径的圆,但要使AB平行于x轴的点B有左右两个即B1(-3,-2)、B2(1,-2),同理点C有上下两个即C1(-1,1)、C2(-1,-5).
例3如图18.2.3所示直角坐标平面内的四点A、B、C、D的坐标分别是(3,1)、(0,-2)、(-2,1)、(0,2),求四边形ABCD的面积.
解把四边形ABCD的面积分成三角形BCD与三角形ABD的面积之和,则有
SABCD=S△BCD+S△ABD=
×BD×CH+
×BD×AH=
×4×2+
×4×3=10.
练习18.2
(1)
1.如图,长方形ABCD的各边分别与x轴或y轴平行,已知A(-4.5,3.5)、B(-4.5,-1.5)、C(2.5、-1.5)、(2.5,3.5),那么这个长方形的周长是多少?
面积是多少?
2.直角坐标平面内的一个图形如图所示.
(1)求梯形ABCD的面积;
(2)求三角形AOB的面积.
3.已知A(1,3)、B(1,-1),且四边形ABCD是正方形,写出点C、D的坐标.
练习18.2
(2)答案
1
(1)(-2,-3)
(2)(-3,4)(3)右9(4)下5
2
(1)AB=7
(2)(5,-3)(3)等腰直角三角形
3A’(-2,-3),B’(-1,0),C’(2,-3)
操作1
如图18.2.4,将点A(-1,5)向右平移4个单位,到达点A'的位置,这个点A'的坐标是(3,5);
将点B(-2,3)向左平移4个单位,到达点B’的位置,这个点B’的坐标是(-6,3);
将点C(2,-3)向上平移4个单位,到达点C’的位置,这个点C’的坐标是(2,1);
将点D(3,-1)向下平移4个单位,到达点D'的位置,这个点D'的坐标是(3,-5);
小结
一般地,在直角坐标平面内,如果点M(x,y)沿着x轴或y轴平行的方向平移m(m>0)个单位,那么可以得到以下结论:
向右平移所对应的点的坐标为(x+m,y);向左平移所对应的点的坐标为(x-m,y);
向上平移所对应的点的坐标为(x,y+m);向下平移所对应的点的坐标为(x,y-m).
平面内的点的平移可归纳为:
左右平移时x左减右加,上下平移时上加下减.
例4直角坐标平面内,已知点A的坐标是(-3,-2),把点A向右平移5个单位到B点,点B向右平移2个单位再向上平移6个单位到C点,点C向左平移5个单位到D点,
(1)写出B、C、D的坐标;
(2)把A、B、C、D顺次连接后得到什么图形?
(3)它的面积是多少?
分析可先确定各点的位置,再由图形特征,利用平行四边形的面积公式S=ah求得.
解如图18.2.5所示,
(1)确定B、C、D各点的坐标为:
B(2,-2)、C(4,4)、D(-1,4).
(2)顺次连接A、B、C、D得到平行四边形ABCD.
(3)∴AB=|-3-2|=5,从点D作DH上AB于H,得到DH=|4-(-2)|=6,
∴SABCD=AB×DH=5×6=30
练习18.2
(2)
1.填空
(1)把点A(2,-3)沿x轴向左方向平移4个单位,得到点的坐标为;
(2)把点B(-3,-1)向上平移5个单位,得到点的坐标为;
(3)把点C(-6,-4)向平移个单位,得到点的坐标为(3,-4);
(4)把点D(-1,5)向平移个单位,得到点的坐标为(-1,0);
2.在直角坐标平面内,已知点A(-2,-3)、B(-2,4),将点A向右方向平移7个单位,得到点C.
(1)求A、B两点的距离;
(2)写出点C的坐标;
(3)判断三角形ABC的形状.
3.如图,画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的图形△A'B'C',并写出各点坐标.
练习18.2
(1)答案
1这个长方形的周长是24,面积是35
2点A、B、C、D的坐标分别是(2,3)、(-3,4)、(-3,0)、(2,0)
(1)AD=|3-0|=3,BC=|4-0|=4,CD=|-3-2|=5.
所以梯形ABCD的面积S=
(AD+BC)·CD=
×(3+4)×5=
=17.5
(2)三角形AOB的面积=梯形ABCD的面积-三角形BOC的面积-三角形AOD的面积,
S=
-
·OC·BC-
·OD·AD=
-
×3×4-
×2×3=
=8.5
3C(5,-1)、D(5,3)或C(-3,-1)、D(-3,3)
问题1
在直角坐标平面内,与点M(x,y)关于x轴或y轴对称的点的坐标是什么?
操作2
如图18.2.6,在直角坐标平面内,描出点A(-3,2),再描出点A关于x轴对称的点B,点A关于y轴对称的点C,根据什么性质,可求点B、点C的坐标是多少?
根据轴对称中,对称轴垂直平分两个对称点的连线,得点B(-3,-2),点C(3,2).
一般地,与点M(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);与点M(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y).
问题2
在直角坐标平面内,点M(x,y)关于原点对称的点的坐标是什么?
操作3
在直角坐标平面内,描出点A(-3,2),再描出点A关于原点对称的点B,如图18.2.7,分别过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为A’、B’因为OA'=OB'(为什么?
),所以点A与点B的横坐标互为相反数;同样,点A与点B的纵坐标也互为相反数.于是得到点B的坐标是(3,-2).
一般地,在直角坐标平面内,与点M(x,y)关于原点对称的点的坐标是(-x,-y).
例5在直角坐标平面内,已知点A(0,3)与点C关于x轴对称,点B(-3,-5)与点D关于y轴对称,写出点C、D的坐标,并把这些点按A-B-C-D-A顺次联结起来,观察所得图形的形状.
解因为点A(0,3)与点C关于x轴对称,所以点C的坐标为(0,-3);因为点B(-3,-5)与点D关于y轴对称,所以点D的坐标为(3,-5).
按A-B-C-D-A顺次连接起来所得的图形是箭头的形状,如图18.2.8所示.
例6直角坐标平面内,△ABC的位置如图18.2.9所示.
(1)画出△ABC关于x轴对称的图形,并写出各点的坐标;
(2)画出△ABC关于原点对称的图形,并写出各点的坐标;
(3)把△ABC各点的横坐标减3,纵坐标加1,再把所得的点依次连接起来,所得到的图形与原来的图形相比有什么变化?
(4)把△ABC各点的横坐标不变,纵坐标乘以-2,再把所得的点依次连接起来,所得到的图形与原来的图形相比面积有什么变化?
分析先确定各点的位置,再由图形特征,利用三角形的面积公式S=
ah求得.
解如图18.2.9所示:
(1)△ABC关于x轴对称的图形是△A'BC,A'、B、C的坐标分别为:
A’(3,-2)、B(2,0)、C(-1,0).
(2)△ABC关于原点对称的图形是△A"B"C",坐标分别为A"(-3,-2)、B"(-2,0)、C"(1,0).
(3)把△ABC各点的横坐标减3,纵坐标加1,得到图形△DEF,坐标分别为:
D(0,3),E(-1,1)、F(-4,1);所得到的图形与原来的图形相比形状、大小保持不变.
(4)△ABC各点的横坐标不变,纵坐标乘以-2,所得的点的坐标分别是G(3,-4)、B(2,0)、C(-1,0);SABC=
×3×2=3,SGBC=
×3×4=6,两个三角形的底边相同,高度增加一倍,所以面积增加一倍.
练习18.2(3)
1.填空:
(1)与点A(3,-3)关于x轴对称的点的坐标为;
(2)与点B(-3,-1)关于y轴对称的点的坐标为;
(3)与点C(x,0)关于原点对称的点的坐标为;
(4)如果点D在第二象限,那么与点D关于原点对称的点在第象限;
(5)如果一个点关于x轴的对称点为(-2,3),那么这个点的坐标是;
(6)若A(2,-3)关于y轴对称的点是A1,点A1与A2关于原点对称,则点A2的坐标是.
2.已知A、B、C三点的坐标分别是A(-2,O),B(3,1),C(0,3),在平面直角坐标系中,
(1)画出△ABC;
(2)画出△ABC关于x轴对称的圆形△A’B’C’,并写出点A’、B’、C’的坐标;
(3)求四边形AOBC的面积.
3.如图,我们给中国象棋棋盘建立一个平面直角坐标系(每个小正方形的边长均为1),根据象棋中“马”走“日”的规定,若“马”的位置在图中点P.
(1)写出下一步“马”可能到达的点的坐标;
(2)顺次连接
(1)中的所有点,得到的图形是图形(填“中心对称”、“旋转对称”、“轴对称”);
(3)指出
(1)中关于点P成中心对称的点.
练习18.2(3)答案
1
(1)(3,3)
(2)(3,-1)(3)(-x,0)(4)四(5)(-2,-3)(6)(2,3)
2
(1)略
(2)A’(-2,0)、B’(3,-1)、C’(0,-3)(3)7.5
3
(1)(0,0)(0,2)(1,3)(3,3)(4,2)(4,0)
(2)轴对称(3)(0,0)与(4,2),(0,2)与(4,0)
练习18.2
(1)
1.
(1)在直角坐标平面内,点A(x,y)到x轴的距离为,到了轴的距离为.
(2)在直角坐标平面内,如果点A(x1,y)、点B(x2,y),那么A、B两点间的距离为;如果点C(x,y1)、点D(x,y2),那么C、D两点间的距离为.
(3)在x轴上离开原点的距离为4个单位的点的坐标为.
(4)点A到点B(2,-4)的距离为3.5个单位长度,且直线AB与y轴平行,则点A的坐标是.
(5)已知点A(-3,2)、点B(-3,-4),则直线AB与y轴,直线AB与x轴.
(6)点A在直线x=-3上,到x轴的距离为5,则点A的坐标为.
(7)点B在y轴右侧,在x轴下方,到x轴的距离为2,到y轴的距离为3,则点B的坐标为.
(8)已知,点A(-3,2),点B在直线y=2上,且|AB|=4,则点B的坐标为.
(9)依次连接A(-3,-4)、B(2,1)、C(-1,4)、D(-6,-1)四点,则四边形ABCD是.
(10)已知等边三角形ABC的一个顶点的坐标为A(4,0),另一顶点B在x轴上且|AB|=4,AB上的高为2
,则顶点C的坐标为.
2.
(1)一平行于x轴的直线上有一点P(-2,3),那么这条直线上另一点不可能为().
(A)(-7,3)(B)(7,3)(C)(5,-3)(D)(3,3)
(2)若点A(-2,y)、点B(-2,3),且AB=5,则y等于().
(A)-2(B)8(C)-2或8(D)以上都不对
(3)在直角坐标平面内,已知A(2,-2),在坐标轴上确定点B,使△AOB为等腰三角形,则符合条件的点B个数有().
(A)5(B)6(C)7(D)8
(4)到x轴和y轴的距离都是3个单位的点共有().
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
3.在直角平面坐标内的四点A、B、C、D的坐标分别是(-1,2)、(-1,-2)、(2,-1)、(2,3),求四边形ABCD的面积.
4.计算图中三角形ABC的面积.
5.计算图中四边形ABCD的面积.
6.在直角坐标平面内,已知点A(0,0)、点B(0,4),点C在x轴上,且△ABC的面积是12,求点C的坐标.
练习18.2
(1)答案
①
(1)|y|,|x|
(2)|x1-x2|,|y1-y2|(3)(4,0)、(-4,0)(4)(2,-0.5)、(2,-7.5)(5)平行,垂直(6)(-3,5)、(-3,-5)(7)(3,-2)、(1,2)(9)长方形
(10)(2,2
)、(6,2
)、(2,-2
)、(6,-2
)
②
(1)C
(2)C(3)D(4)D
③12④7⑤13.5⑥(6,0)、(-6,0)
练习18.2
(2)
1.
(1)把点A(2,-3)沿x轴左方向平移4个单位,得到点A'的坐标为;把点A向下平移4个单位,得到点A"的坐标为.
(2)把点A(2,-3)先向右平移3个单位,再向上平移2个单位得到的点A'的坐标是.
(3)把点M(a-3,
)向上平移5个单位后落在x轴上,则a的值是.
(4)通过平移把A(3,-2)移到A'(1,1),则B(4,0)经过同样的平移方法可移到B’的坐标是.
(5)已知点A(a+1,-3)在第二、四象限的角平分线上,则a的值是.
(6)将点A(-9,12)向平移个单位,得到点B的坐标是(-4,12),再将点B向平移个单位,得到点C的坐标是(-4,15).
(7)在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或都减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向(或向)平移个单位长度.
(8)已知△ABC,A(-3,2),B(1,1),C(-1,2),现将△ABC平移,使点A到点(1,-2)的位置上,则B、C的坐标分别为,____.
2.
(1)将点A(-3,2)向右平移5个单位后,再向下平移4个单位,会落在().
(A)第一象限内(B)第二象限内(C)第三象限内(D)第四象限内
(2)已知点N(a+b,ab)在第二象限,则点M(a,b)在().
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
(3)若点N(m,n)向右平移2个单位到M(2,3+
),则().
(A)m=0,n=3+
(B)m=0,n=1+
(C)m=4,n=3+
(D)m=4,n=1+
(4)在平面直角坐标系中,点P(-
,-m2-3)一定在().
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
3.已知直角坐标平面内两点A(-2,-3)、B(3,-3),将点B向上平移5个单位到达点C,求:
(1)A、B两点间的距离;
(2)写出点C的坐标;
(3)求四边形OABC的面积.
4.在直角坐标系内,已知点A、B、C的坐标分别为(3,0)、(-3,1)、(-1,0),若以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形,求顶点D的坐标,并画图说明.
5.在直角坐标平面内,作出点A(6,0)、点B(0,8),在坐标轴上找点C,使△ABC成等腰三角形,求所有符合条件的点C的坐标.
练习18.2
(2)答案
①
(1)(-2,-3),(2,-7)
(2)(5,-1)(3)10(4)(2,3)(5)2(6)右,5,上,3
(7)右,左,a(8)B(5,-3),C(3,-2)
②
(1)D
(2)C(3)A(4)C
③
(1)AB=5
(2)(3,2)(3)15
④(1,1)或(-7,1)或(5,-1)
⑤(-6,0)、(-4,0)、(16,0)、
、(0,-8)、
、(0,-2)、(0,18)
练习18.2(3)
1.
(1)已知AB∥x轴,A点的坐标为(3,2),并且AB=5,则B的坐标为,点B关于x轴对称的点的坐标为.
(2)点A(2,-3)关于对称的点的坐标是(-2,3);点B(3,-2)关于对称的点的坐标是(-3,-2).
(3)已知点A(a-1,2)与B(-2,2b+4)是不同的两点,当a=,b=时,点A与点B关于x轴对称.
(4)如果点A(x+3,2)与点B(-2,y-2)关于x轴对称,则xy=.
(5)若点A(x,y)在第三象限,那么点B(-x,-y2)在第象限.
(6)已知点A(a,b)在第一象限,则点B(-a,a+b)关于原点对称的点在第象限.
(7)若点A到x轴正半轴的距离是2,到y轴负半轴的距离是4,则点A关于y轴对称的点的坐标是.
(8)已知点A(a+1,3)在第二、四象限的角平分线上,点A绕原点O逆时针旋转90°后的点B的坐标是.
2.
(1)已知点A关于x轴的对称点A'的坐标是(2,-5),则点A关于y轴的对称点A’’的坐标是().
(A)(2,5)(B)(-2,-5)(C)(-2,5)(D)(5,-2)
(2)知果点A(a,b)在第三象限,则点B(-a+1,3b-5)关于原点的对称点在().
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
(3)已知点M(m,-2)关于原点的对称点为N(-1,n),则().
(A)m=1,n=2(B)m=-1,n=2(C)m=1,n=-2(D)m=-1,n=-2
3.已知△ABC的顶点坐标是A(-1,5)、B(-5,5)、C(-6,2).
(1)分别写出与点A、B、C关于原点O对称的点A'、B’、C’的坐标:
A’,
B’,
C’;
(2)在坐标平面内画出△A’B’C’;
(3)△A’B’C’的面积等于.
4.在平面直角坐标系中,点A(a-2,4)关于y轴对称的点的坐标是B(6,3-2b),求a、b的值,并求点C(b,-a)关于x轴对称的点D的坐标.
5.如图,在一张破旧的地图上已知两个小岛的位置:
岛A和岛B的坐标分别是(-3,2)、(-3,-2),宝藏在点C(4,2)位置上,根据条件建立合适的平面直角坐标系,并确定宝藏C的位置.
练习18.2
(1)答案
①
(1)(8,2)、(-2,2),(8,-2)、(-2,-2)
(2)原点,y轴(3)-1,-3(4)1
(5)四(6)四(7)(-4,-2)(8)(-3,-3)
②
(1)C
(2)B(3)A
③
(1)(1,-5),(5,-5),(6,-2)(3)6
④a=-4,b=-
;D
⑤图略