市北资优七年级分册 第18章 182 直角坐标平面内点的运动+詹刚键.docx

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市北资优七年级分册第18章182直角坐标平面内点的运动+詹刚键

第二节直角坐标平面内点的运动

18．2直角坐标平面内点的运动

数轴上，如果点A、B所对应的实数分别是a、b，那么A、B两点的距离AB＝|a－b|．

思考

在直角坐标平面内，已知x轴上两个点A（x1，0）、B（x2，0），y轴上两点C（0，y1）、D（0，y2），如何求AB、CD呢？

问题

在直角坐标平面内，已知直线AB平行于x轴，直线CD平行于y轴，A（一3，3）、B（4，3）、C（2，－2）、D（2，4），如何求AB、CD呢？

如图18．2．1，分别过A、B两点作x轴的垂线，垂足分别A'、B’，那么A’、B’的坐标分别为（－3，0）、（4，0），所以AB＝A'B'＝|（－3）－4|＝7．

同理，可得CD＝C’D‘＝|（－2）－4|＝6．

在直角坐标平面内，平行于x轴的直线上两点A（x1，y）、B（x2，y）的距离AB＝|x1－x2|；

平行于y轴的直线上两点C（x，y1）、D（x，y2）的距离CD＝|y1－y2|．

例1在直角坐标平面内：

（1）已知点A（2，3），B（2，－5），求AB；

（2）已知点A（－5，－6），B（－7，－6），求AB．

解

（1）AB＝|3－（－5）|＝8．

（2）AB＝|－5－（－7）|＝2．

例2如图18．2．2，在直角坐标平面内，已知点A的位置．

（1）描出点B，使直线AB平行于x轴，并且A、B两点的距离为2个单位；

（2）描出点C．使直线AC平行于y轴，并且A、C两点的距离为3个单位；

（3）点B的坐标是，点C的坐标是．

解到点A距离为2的点有无数个，是以A为圆心以2为半径的圆，但要使AB平行于x轴的点B有左右两个即B1（－3，－2）、B2（1，－2），同理点C有上下两个即C1（－1，1）、C2（－1，－5）．

例3如图18．2．3所示直角坐标平面内的四点A、B、C、D的坐标分别是（3，1）、（0，－2）、（－2，1）、（0，2），求四边形ABCD的面积．

解把四边形ABCD的面积分成三角形BCD与三角形ABD的面积之和，则有

SABCD＝S△BCD＋S△ABD＝

×BD×CH＋

×BD×AH＝

×4×2＋

×4×3＝10．

练习18．2

（1）

1．如图，长方形ABCD的各边分别与x轴或y轴平行，已知A（－4．5，3．5）、B（－4．5，－1．5）、C（2．5、－1．5）、（2．5，3．5），那么这个长方形的周长是多少？

面积是多少？

2．直角坐标平面内的一个图形如图所示．

（1）求梯形ABCD的面积；

（2）求三角形AOB的面积．

3．已知A（1，3）、B（1，－1），且四边形ABCD是正方形，写出点C、D的坐标．

练习18．2

（2）答案

1

（1）（－2，－3）

（2）（－3，4）（3）右9（4）下5

2

（1）AB＝7

（2）（5，－3）（3）等腰直角三角形

3A’（－2，－3），B’（－1，0），C’（2，－3）

操作1

如图18．2．4，将点A（－1，5）向右平移4个单位，到达点A'的位置，这个点A'的坐标是（3，5）；

将点B（－2，3）向左平移4个单位，到达点B’的位置，这个点B’的坐标是（－6，3）；

将点C（2，－3）向上平移4个单位，到达点C’的位置，这个点C’的坐标是（2，1）；

将点D（3，－1）向下平移4个单位，到达点D'的位置，这个点D'的坐标是（3，－5）；

小结

一般地，在直角坐标平面内，如果点M（x，y）沿着x轴或y轴平行的方向平移m（m＞0）个单位，那么可以得到以下结论：

向右平移所对应的点的坐标为（x＋m，y）；向左平移所对应的点的坐标为（x－m，y）；

向上平移所对应的点的坐标为（x，y＋m）；向下平移所对应的点的坐标为（x，y－m）．

平面内的点的平移可归纳为：

左右平移时x左减右加，上下平移时上加下减．

例4直角坐标平面内，已知点A的坐标是（－3，－2），把点A向右平移5个单位到B点，点B向右平移2个单位再向上平移6个单位到C点，点C向左平移5个单位到D点，

（1）写出B、C、D的坐标；

（2）把A、B、C、D顺次连接后得到什么图形？

（3）它的面积是多少？

分析可先确定各点的位置，再由图形特征，利用平行四边形的面积公式S＝ah求得．

解如图18．2．5所示，

（1）确定B、C、D各点的坐标为：

B（2，－2）、C（4，4）、D（－1，4）．

（2）顺次连接A、B、C、D得到平行四边形ABCD．

（3）∴AB＝|－3－2|＝5，从点D作DH上AB于H，得到DH＝|4－（－2）|＝6，

∴SABCD＝AB×DH＝5×6＝30

练习18．2

（2）

1．填空

（1）把点A（2，－3）沿x轴向左方向平移4个单位，得到点的坐标为；

（2）把点B（－3，－1）向上平移5个单位，得到点的坐标为；

（3）把点C（－6，－4）向平移个单位，得到点的坐标为（3，－4）；

（4）把点D（－1，5）向平移个单位，得到点的坐标为（－1，0）；

2．在直角坐标平面内，已知点A（－2，－3）、B（－2，4），将点A向右方向平移7个单位，得到点C．

（1）求A、B两点的距离；

（2）写出点C的坐标；

（3）判断三角形ABC的形状．

3．如图，画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的图形△A'B'C'，并写出各点坐标．

练习18．2

（1）答案

1这个长方形的周长是24，面积是35

2点A、B、C、D的坐标分别是（2，3）、（－3，4）、（－3，0）、（2，0）

（1）AD＝|3－0|＝3，BC＝|4－0|＝4，CD＝|－3－2|＝5．

所以梯形ABCD的面积S＝

（AD＋BC）·CD＝

×（3＋4）×5＝

＝17．5

（2）三角形AOB的面积＝梯形ABCD的面积－三角形BOC的面积－三角形AOD的面积，

S＝

－

·OC·BC－

·OD·AD＝

－

×3×4－

×2×3＝

＝8．5

3C（5，－1）、D（5，3）或C（－3，－1）、D（－3，3）

问题1

在直角坐标平面内，与点M（x，y）关于x轴或y轴对称的点的坐标是什么？

操作2

如图18．2．6，在直角坐标平面内，描出点A（－3，2），再描出点A关于x轴对称的点B，点A关于y轴对称的点C，根据什么性质，可求点B、点C的坐标是多少？

根据轴对称中，对称轴垂直平分两个对称点的连线，得点B（－3，－2），点C（3，2）．

一般地，与点M（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；与点M（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）．

问题2

在直角坐标平面内，点M（x，y）关于原点对称的点的坐标是什么？

操作3

在直角坐标平面内，描出点A（－3，2），再描出点A关于原点对称的点B，如图18．2．7，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为A’、B’因为OA'＝OB'（为什么？

），所以点A与点B的横坐标互为相反数；同样，点A与点B的纵坐标也互为相反数．于是得到点B的坐标是（3，－2）．

一般地，在直角坐标平面内，与点M（x，y）关于原点对称的点的坐标是（－x，－y）．

例5在直角坐标平面内，已知点A（0，3）与点C关于x轴对称，点B（－3，－5）与点D关于y轴对称，写出点C、D的坐标，并把这些点按A－B－C－D－A顺次联结起来，观察所得图形的形状．

解因为点A（0，3）与点C关于x轴对称，所以点C的坐标为（0，－3）；因为点B（－3，－5）与点D关于y轴对称，所以点D的坐标为（3，－5）．

按A－B－C－D－A顺次连接起来所得的图形是箭头的形状，如图18．2．8所示．

例6直角坐标平面内，△ABC的位置如图18．2．9所示．

（1）画出△ABC关于x轴对称的图形，并写出各点的坐标；

（2）画出△ABC关于原点对称的图形，并写出各点的坐标；

（3）把△ABC各点的横坐标减3，纵坐标加1，再把所得的点依次连接起来，所得到的图形与原来的图形相比有什么变化？

（4）把△ABC各点的横坐标不变，纵坐标乘以－2，再把所得的点依次连接起来，所得到的图形与原来的图形相比面积有什么变化？

分析先确定各点的位置，再由图形特征，利用三角形的面积公式S＝

ah求得．

解如图18．2．9所示：

（1）△ABC关于x轴对称的图形是△A'BC，A'、B、C的坐标分别为：

A’（3，－2）、B（2，0）、C（－1，0）．

（2）△ABC关于原点对称的图形是△A"B"C"，坐标分别为A"（－3，－2）、B"（－2，0）、C"（1，0）．

（3）把△ABC各点的横坐标减3，纵坐标加1，得到图形△DEF，坐标分别为：

D（0，3），E（－1，1）、F（－4，1）；所得到的图形与原来的图形相比形状、大小保持不变．

（4）△ABC各点的横坐标不变，纵坐标乘以－2，所得的点的坐标分别是G（3，－4）、B（2，0）、C（－1，0）；SABC＝

×3×2＝3，SGBC＝

×3×4＝6，两个三角形的底边相同，高度增加一倍，所以面积增加一倍．

练习18．2（3）

1．填空：

（1）与点A（3，－3）关于x轴对称的点的坐标为；

（2）与点B（－3，－1）关于y轴对称的点的坐标为；

（3）与点C（x，0）关于原点对称的点的坐标为；

（4）如果点D在第二象限，那么与点D关于原点对称的点在第象限；

（5）如果一个点关于x轴的对称点为（－2，3），那么这个点的坐标是；

（6）若A（2，－3）关于y轴对称的点是A1，点A1与A2关于原点对称，则点A2的坐标是．

2．已知A、B、C三点的坐标分别是A（－2，O），B（3，1），C（0，3），在平面直角坐标系中，

（1）画出△ABC；

（2）画出△ABC关于x轴对称的圆形△A’B’C’，并写出点A’、B’、C’的坐标；

（3）求四边形AOBC的面积．

3．如图，我们给中国象棋棋盘建立一个平面直角坐标系（每个小正方形的边长均为1），根据象棋中“马”走“日”的规定，若“马”的位置在图中点P．

（1）写出下一步“马”可能到达的点的坐标；

（2）顺次连接

（1）中的所有点，得到的图形是图形（填“中心对称”、“旋转对称”、“轴对称”）；

（3）指出

（1）中关于点P成中心对称的点．

练习18．2（3）答案

1

（1）（3，3）

（2）（3，－1）（3）（－x，0）（4）四（5）（－2，－3）（6）（2，3）

2

（1）略

（2）A’（－2，0）、B’（3，－1）、C’（0，－3）（3）7．5

3

（1）（0，0）（0，2）（1，3）（3，3）（4，2）（4，0）

（2）轴对称（3）（0，0）与（4，2），（0，2）与（4，0）

练习18．2

（1）

1．

（1）在直角坐标平面内，点A（x，y）到x轴的距离为，到了轴的距离为．

（2）在直角坐标平面内，如果点A（x1，y）、点B（x2，y），那么A、B两点间的距离为；如果点C（x，y1）、点D（x，y2），那么C、D两点间的距离为．

（3）在x轴上离开原点的距离为4个单位的点的坐标为．

（4）点A到点B（2，－4）的距离为3．5个单位长度，且直线AB与y轴平行，则点A的坐标是．

（5）已知点A（－3，2）、点B（－3，－4），则直线AB与y轴，直线AB与x轴．

（6）点A在直线x＝－3上，到x轴的距离为5，则点A的坐标为．

（7）点B在y轴右侧，在x轴下方，到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点B的坐标为．

（8）已知，点A（－3，2），点B在直线y＝2上，且|AB|＝4，则点B的坐标为．

（9）依次连接A（－3，－4）、B（2，1）、C（－1，4）、D（－6，－1）四点，则四边形ABCD是．

（10）已知等边三角形ABC的一个顶点的坐标为A（4，0），另一顶点B在x轴上且|AB|＝4，AB上的高为2

，则顶点C的坐标为．

2．

（1）一平行于x轴的直线上有一点P（－2，3），那么这条直线上另一点不可能为（）．

（A）（－7，3）（B）（7，3）（C）（5，－3）（D）（3，3）

（2）若点A（－2，y）、点B（－2，3），且AB＝5，则y等于（）．

（A）－2（B）8（C）－2或8（D）以上都不对

（3）在直角坐标平面内，已知A（2，－2），在坐标轴上确定点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B个数有（）．

（A）5（B）6（C）7（D）8

（4）到x轴和y轴的距离都是3个单位的点共有（）．

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

3．在直角平面坐标内的四点A、B、C、D的坐标分别是（－1，2）、（－1，－2）、（2，－1）、（2，3），求四边形ABCD的面积．

4．计算图中三角形ABC的面积．

5．计算图中四边形ABCD的面积．

6．在直角坐标平面内，已知点A（0，0）、点B（0，4），点C在x轴上，且△ABC的面积是12，求点C的坐标．

练习18．2

（1）答案

①

（1）|y|，|x|

（2）|x1－x2|，|y1－y2|（3）（4，0）、（－4，0）（4）（2，－0．5）、（2，－7．5）（5）平行，垂直（6）（－3，5）、（－3，－5）（7）（3，－2）、（1，2）（9）长方形

（10）（2，2

）、（6，2

）、（2，－2

）、（6，－2

）

②

（1）C

（2）C（3）D（4）D

③12④7⑤13．5⑥（6，0）、（－6，0）

练习18．2

（2）

1．

（1）把点A（2，－3）沿x轴左方向平移4个单位，得到点A'的坐标为；把点A向下平移4个单位，得到点A"的坐标为．

（2）把点A（2，－3）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到的点A'的坐标是．

（3）把点M（a－3，

）向上平移5个单位后落在x轴上，则a的值是．

（4）通过平移把A（3，－2）移到A'（1，1），则B（4，0）经过同样的平移方法可移到B’的坐标是．

（5）已知点A（a＋1，－3）在第二、四象限的角平分线上，则a的值是．

（6）将点A（－9，12）向平移个单位，得到点B的坐标是（－4，12），再将点B向平移个单位，得到点C的坐标是（－4，15）．

（7）在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或都减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向（或向）平移个单位长度．

（8）已知△ABC，A（－3，2），B（1，1），C（－1，2），现将△ABC平移，使点A到点（1，－2）的位置上，则B、C的坐标分别为，____．

2．

（1）将点A（－3，2）向右平移5个单位后，再向下平移4个单位，会落在（）．

（A）第一象限内（B）第二象限内（C）第三象限内（D）第四象限内

（2）已知点N（a＋b，ab）在第二象限，则点M（a，b）在（）．

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

（3）若点N（m，n）向右平移2个单位到M（2，3＋

），则（）．

（A）m＝0，n＝3＋

（B）m＝0，n＝1＋

（C）m＝4，n＝3＋

（D）m＝4，n＝1＋

（4）在平面直角坐标系中，点P（－

，－m2－3）一定在（）．

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

3．已知直角坐标平面内两点A（－2，－3）、B（3，－3），将点B向上平移5个单位到达点C，求：

（1）A、B两点间的距离；

（2）写出点C的坐标；

（3）求四边形OABC的面积．

4．在直角坐标系内，已知点A、B、C的坐标分别为（3，0）、（－3，1）、（－1，0），若以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，求顶点D的坐标，并画图说明．

5．在直角坐标平面内，作出点A（6，0）、点B（0，8），在坐标轴上找点C，使△ABC成等腰三角形，求所有符合条件的点C的坐标．

练习18．2

（2）答案

①

（1）（－2，－3），（2，－7）

（2）（5，－1）（3）10（4）（2，3）（5）2（6）右，5，上，3

（7）右，左，a（8）B（5，－3），C（3，－2）

②

（1）D

（2）C（3）A（4）C

③

（1）AB＝5

（2）（3，2）（3）15

④（1，1）或（－7，1）或（5，－1）

⑤（－6，0）、（－4，0）、（16，0）、

、（0，－8）、

、（0，－2）、（0，18）

练习18．2（3）

1．

（1）已知AB∥x轴，A点的坐标为（3，2），并且AB＝5，则B的坐标为，点B关于x轴对称的点的坐标为．

（2）点A（2，－3）关于对称的点的坐标是（－2，3）；点B（3，－2）关于对称的点的坐标是（－3，－2）．

（3）已知点A（a－1，2）与B（－2，2b＋4）是不同的两点，当a＝，b＝时，点A与点B关于x轴对称．

（4）如果点A（x＋3，2）与点B（－2，y－2）关于x轴对称，则xy＝．

（5）若点A（x，y）在第三象限，那么点B（－x，－y2）在第象限．

（6）已知点A（a，b）在第一象限，则点B（－a，a＋b）关于原点对称的点在第象限．

（7）若点A到x轴正半轴的距离是2，到y轴负半轴的距离是4，则点A关于y轴对称的点的坐标是．

（8）已知点A（a＋1，3）在第二、四象限的角平分线上，点A绕原点O逆时针旋转90°后的点B的坐标是．

2．

（1）已知点A关于x轴的对称点A'的坐标是（2，－5），则点A关于y轴的对称点A’’的坐标是（）．

（A）（2，5）（B）（－2，－5）（C）（－2，5）（D）（5，－2）

（2）知果点A（a，b）在第三象限，则点B（－a＋1，3b－5）关于原点的对称点在（）．

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

（3）已知点M（m，－2）关于原点的对称点为N（－1，n），则（）．

（A）m＝1，n＝2（B）m＝－1，n＝2（C）m＝1，n＝－2（D）m＝－1，n＝－2

3．已知△ABC的顶点坐标是A（－1，5）、B（－5，5）、C（－6，2）．

（1）分别写出与点A、B、C关于原点O对称的点A'、B’、C’的坐标：

A’，

B’，

C’；

（2）在坐标平面内画出△A’B’C’；

（3）△A’B’C’的面积等于．

4．在平面直角坐标系中，点A（a－2，4）关于y轴对称的点的坐标是B（6，3－2b），求a、b的值，并求点C（b，－a）关于x轴对称的点D的坐标．

5．如图，在一张破旧的地图上已知两个小岛的位置：

岛A和岛B的坐标分别是（－3，2）、（－3，－2），宝藏在点C（4，2）位置上，根据条件建立合适的平面直角坐标系，并确定宝藏C的位置．

练习18．2

（1）答案

①

（1）（8，2）、（－2，2），（8，－2）、（－2，－2）

（2）原点，y轴（3）－1，－3（4）1

（5）四（6）四（7）（－4，－2）（8）（－3，－3）

②

（1）C

（2）B（3）A

③

（1）（1，－5），（5，－5），（6，－2）（3）6

④a＝－4，b＝－

；D

⑤图略