（2）点（x，y）在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值．
10．（12分）（2011·长沙月考）经观测，某公路段在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间有函数关系y＝（v>0）．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？
最大车流量为多少？
（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
11．（14分）某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用（即有400千克不需要保管）．
（1）设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；
（2）求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值．
学案36 基本不等式及其应用
自主梳理
1．
（1）a>0，b>0
（2）a＝b 2.
（1）2ab
（2）2 （4）≤
3. 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4.
（1）x＝y 小 2
（2）x＝y 大
自我检测
1．A 2.A 3.C
4．大 －2－1 5.[，＋∞）
课堂活动区
例1
解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式（一般是凑和或积为定值的形式），构造出基本不等式的形式再进行求解．基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必须验证等号成立的条件．
解
（1）∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝（x＋y）
＝＋＋10≥6＋10＝16.
当且仅当＝时，上式等号成立，又＋＝1，
∴x＝4，y＝12时，（x＋y）min＝16.
（2）∵x<，∴5－4x>0.
y＝4x－2＋＝－＋3
≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，
即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.
（3）由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，
∴＋＝1.
∴x＋y＝（x＋y）＝10＋＋
＝10＋2
≥10＋2×2×＝18，
当且仅当＝，即x＝2y时取等号．
又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6.
∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.
变式迁移1 C [∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝（＋）（）＝＋（＋）≥＋2＝（当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立），故y＝＋的最小值为.]
例2
解题导引 “1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简捷的方法．
在不等式证明时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转化是否有误的一种方法．
证明 方法一 因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＋＝1＋＝2＋.
同理1＋＝2＋.
所以（1＋）（1＋）＝（2＋）（2＋）
＝5＋2（＋）≥5＋4＝9.
所以（1＋）（1＋）≥9（当且仅当a＝b＝时等号成立）．
方法二 （1＋）（1＋）＝1＋＋＋
＝1＋＋＝1＋，
因为a，b为正数，a＋b＝1，
所以ab≤（）2＝，于是≥4，≥8，
因此（1＋）（1＋）≥1＋8＝9（当且仅当a＝b＝时等号成立）．
变式迁移2 证明 ∵x>0，y>0，z>0，
∴＋≥>0，
＋≥>0，
＋≥>0.
∴
≥＝8.
当且仅当x＝y＝z时等号成立．
所以（＋）（＋）（＋）≥8.
例3
解题导引 1.用基本不等式解应用题的思维程序为：
→→→→
2．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：
（1）先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数；
（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；（3）在定义域内求函数最值；（4）正确写出答案．
解
（1）依题意得
y＝（560＋48x）＋
＝560＋48x＋（x≥10，x∈N*）．
（2）∵x>0，∴48x＋
≥2＝1440，
当且仅当48x＝，即x＝15时取到“＝”，
此时，平均综合费用的最小值为560＋1440＝2000（元）．
答 当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元．
变式迁移3 解
（1）由题意可设3－x＝，
将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－.
当年生产x万件时，
∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，
∴年生产成本为32x＋3＝32＋3.
当销售x（万件）时，年销售收入为
150%＋t.
由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y＝（t≥0）．
（2）y＝＝50－
≤50－2＝50－2＝42（万元），
当且仅当＝，即t＝7时，ymax＝42，
∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大．
课后练习区
1．B [因为3a·3b＝3，所以a＋b＝1，
＋＝（a＋b）＝2＋＋
≥2＋2＝4，当且仅当＝即a＝b＝时，“＝”成立．]
2．B [不等式（x＋y）≥9对任意正实数x，y恒成立，则1＋a＋＋≥a＋2＋1≥9，
∴≥2或≤－4（舍去）．
∴正实数a的最小值为4.]
3．C [因为＋＋2≥2＋2
＝2≥4，当且仅当＝且＝，
即a＝b＝1时，取“＝”号．]
4．B [第一列货车到达B市的时间为h，由于两列货车的间距不得小于2km，所以第17列货车到达时间为＋＝＋≥8，当且仅当＝，即a＝100km/h时成立，所以最快需要8h．]
5．A
6．18
解析 由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得
xy≥2＋6（当且仅当2x＝y时，取“＝”），
即（）2－2－6≥0，
∴（－3）·（＋）≥0.
又∵>0，∴≥3，即xy≥18.
故xy的最小值为18.
7．4
解析 过原点的直线与f（x）＝交于P、Q两点，则直线的斜率k>0，设直线方程为y＝kx，由得或
∴P（，），Q（－，－）或P（－，－），Q（，）．
∴|PQ|＝
＝2≥4.
8．（－∞，2－1）
解析 由f（x）>0得32x－（k＋1）·3x＋2>0，解得k＋1<3x＋，而3x＋≥2，∴k＋1<2，k<2－1.
9．解
（1）∵0∴x（4－3x）＝（3x）（4－3x）≤2＝，（4分）
当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，“＝”成立．
∴当x＝时，x（4－3x）的最大值为.（6分）
（2）已知点（x，y）在直线x＋2y＝3上移动，∴x＋2y＝3.
∴2x＋4y≥2＝2＝2＝4.
（10分）
当且仅当即x＝，y＝时，“＝”成立．
∴当x＝，y＝时，2x＋4y的最小值为4.
（12分）
10．解
（1）y＝＝≤
＝≈11.08.（4分）
当v＝，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时（6分）
（2）据题意有≥10，（8分）
化简得v2－89v＋1600≤0，即（v－25）（v－64）≤0，
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内．
（12分）
11．解
（1）每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x天（也就是下次购买原材料的前一天）用掉最后的400千克原材料需保管（x－1）天．
∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用
y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋（x－1）]
＝6x2－6x.（6分）
（2）由
（1）可知，购买一次原材料的总费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x，
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为
y＝（6x2－6x＋600）＋1.5×400＝＋6x＋594.（9分）
∴y≥2＋594＝714，（12分）
当且仅当＝6x，即x＝10时，取等号．
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最小，且最小为714元．（14分）
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