中考考点全等三角形知识总结.docx
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中考考点全等三角形知识总结
中考考点：
全等三角形
全等三角形是相似三角形的特例。
全等三角形的特征：
1.形状,大小完全相同，相似比是k=1。
全等三角形一定是相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形。
因此，相似三角形包括全等三角形。
全等三角形的定义：
能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（注：
全等三角形是相似三角形中的特殊情况）
当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此，可以得出：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边一定是对应边；
（4）有公共角的，角一定是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
三角形全等的判定公理及推论：
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS或“边边边”），这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS或“边角边”）。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA或“角边角”）。
由3可推到
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS或“角角边”）
5、直角三角形全等条件有：
斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL或“斜边，直角边”）
所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意：
在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
SSA中的A不为锐角时可以证明全等
A是英文角的缩写（angle），S是英文边的缩写（side）。
全等三角形的性质：
1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。
2、全等三角形的对应边上的高对应相等。
3、全等三角形的对应角平分线相等。
4、全等三角形的对应中线相等。
5、全等三角形面积相等。
6、全等三角形周长相等。
7、三边对应相等的两个三角形全等。
（SSS）
8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（SAS）
9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（ASA）
10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
（AAS）
11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（HL）
全等三角形的运用：
1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。
而全等的判定却刚好相反。
2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。
在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。
3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。
4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。
以及等角，用于工业和军事。
有一定帮助。
全等三角形做题技巧：
一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
因此我们可以来采取逆思维的方式。
来想要证全等，则需要什么
另一种则要根据题目中给出的已知条件，求出有关信息。
然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。
位似
概念：
相似且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行的两个图形叫做位似。
位似一定相似但相似不一定位似~
中考考点：
直角三角形
定义：
有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。
性质：
直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质2：
在直角三角形中，两个锐角互余。
性质3：
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R＝C/2）。
性质4：
直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5：
在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
判定：
直角三角形的判定方法：
判定1：
有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：
一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形。
判定3：
若a的平方＋b的平方=c的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
判定4：
若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定5：
两个锐角互余的三角形是直角三角形。
中考考点：
位似图形
定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
性质：
位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等与相似比。
位似多边形的对应边平行或共线。
位似的作用利用：
位似可以将一个图形放大或缩小。
位似中心的落点：
位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
注意：
1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；
2、两个位似图形的位似中心只有一个；
3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；
4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；
5、平行于三角形的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。
作图步骤：
①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；
②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；
③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；
④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形，最好做两个。
位似变换：
把一个几何图形变换成与之位似的图形,叫做位似变换。
物理中的透镜成像就是一种位似变换,位似中心为光心.位似变换应用极为广泛，特别是可以证明共线等问题.
中考考点：
相似三角形
1.相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方
注意：
全等是特殊的相似，即相似比为1：
1的情况
相似三角形的判定
1.两个三角形的两个角对应相等
2.两边对应成比例,且夹角相等
3.三边对应成比例
4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形的判定方法
根据相似图形的特征来判断。
（对应边成比例，对应边的夹角相等）
1.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似；
（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）
2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；
3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；
4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；
5.对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形（用定义证明）
绝对相似三角形
1.两个全等的三角形一定相似。
2.两个等腰直角三角形一定相似。
（两个等腰三角形，如果顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。
）
3.两个等边三角形一定相似。
直角三角形相似判定定理
1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
射影定理
三角形相似的判定定理推论
推论一：
顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：
腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：
如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
推论六：
如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
1、概念：
三条边对应成比例，三个角对应相等的两个三角形叫相似三角形。
2、相似比：
在相似三角形中，对应边的比叫作这两个三角形的相似比。
3、全等三角形：
形状和大小都相同的三角形称为全等三角形。
全等三角形是相似三角形的特例。
例：
1、两个全等三角形一定相似吗？
为什么？
相似.因为对应角相等,对应边成比例
2、两个直角三角形一定相似吗？
为什么？
两个直角三角形不一定相似。
因为对应角不一定相等，对应边也不一定成比例.
3、两个等腰直角三角形呢？
两个等腰直角三角形相似.因为对应角相等,对应边成比例.
4、两个等腰三角形一定相似吗？
为什么？
两个等腰三角形不一定相似.
5、两个等边三角形呢？
两个等边三角形相似.
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