系统辨识答案.docx

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系统辨识答案

1：

修改课本p61的程序，并画出相应的图形;

Columns12through16

HL二

ZL二

al二

a2=

bl=

1

b2=

2：

修改课本p63的程序，并画出相应的图形（V的取值

范围为54-200）；

p=【，，，，，r

ZL=〔，，，，，］「

HL=

alpha=

beita=+001

3：

表1屮是在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值,

根据测量值确定该电阻的数学模型，并求出当温度在70弋时

表1热敬电阻的测量值

t（°c）

20.5

26

32.7

40

51

61

73

80

88

95.7

RQ）

765

790

826

850

873

910

942

980

1010

1032

的电阻值。

要求用递推最小二乘求解：

（a）设观测模型为7

yi=a+bt+vi

利用头两个数据给岀

JP（O）=P（厶）=（矶％尸[6（o）=p（o）h凤

（b）写出最小二乘的递推公式;

（c）利用Matlab计算

Q（k）=[b伙）,a伙）]7

并画岀相应的图形。

解：

首先写成z（k）=h'（k）0=btk+a=[h2%（：

]=[_1.：

的形式。

利用头两个数据给岀最小二乘的初值:

"20.5r

"765_

261

，ZL0=

790

这样可以算得

p（o）=p（4）=（h^h^）-

6（o）=p（o）h：

s

求得

P（O）=P（厶）二

0.0661-1.5372

e（o）=p（o）H賦

-1.537236.2397

「4.54551'

671.8182

注意对于手工计算，可以直接用2阶矩阵求逆公式

ab

-1

1

~d-b

cd

ad-be

-cCi

有了初值，可以写出递推公式:

Z/=[82685087391094298010101032]T

32.7000

1.0000

40.0000

1.0000

51.0000

1.0000

61.0000

1.0000

73.0000

1.0000

80.0000

1.0000

88.0000

1.0000

95.7000

1.0000

这样可以根据公式进行计算。

&伙）=&伙一1）+K伙）［z伙）一『伙）6伙一1）］

--1-1

K伙）=P伙一l）h伙）h「伙）P伙一l）h伙）+—A伙）.

P伙）=P伙一1）一K伙）K0）h「伙）P伙一l）h伙）+—A伙）

算得:

P（l）=

P

（2）=

P（3）=

P（4）=

P（5）二

P（6）=

P（7）二

P（8）=

6伙）=

5.01344.44703.58783.44433.27783.36683.42923.4344~

661.3131675.2295698.6728702.9463708.4127705.3110702.9683702.7620

进而可以画出相应的图形

800

700・口

（I-D

600-

500-

□□口□4】

T^b的变化回蛾—e-a的变化冋址・

400

300、

200-

编程：

H_L0=[1;261];

z丄0=[765;790];

P_L0=inv（H_L0,*H_L0）;

Theta_0=P_L0*H_L0,*z_L0;

vv=[405161738088];

HL=[vv;ones（1,8）]，;

z_L=[82685087391094298010101032]:

L=8;N=2;

P二zeros（N,N,L）;

KK=zeros（N,L）;

P_k=P_LO;

Theta二zeros（N,L）

alpha_k=0;

h二zeros（1,N）;

h=HL（k,:

）,;

alpha_k=h，*P_k*h+l;

KK（:

k）=P_k*h/alpha_k;

Theta（:

k）=Theta0+KK（:

k）*（zL（k）-h'*Theta0）

P（:

:

k）=P_k-KK（:

k）*KK（:

k）'*alpha_k;

第三章补充习题

4：

叙述并推导递推最小二乘递推公示（pp64-66）。

在加阶“持续激励”输入信号的作用下，加权最小二乘法的解

e^=（HrALHLylH[ALzL

-r=l

（力⑴_i=l

记&时刻的参数估计值为

_k

令斤伙）=工皿）〃（训"），并利用

f-i

ak-\

斤伙一1）8伙-1）=工/l（/）"（i）z（j）,

则有

<6（k）=0（k一1）+斤t（k）h（k）A（k）[z（k）^hT（k）0伙一1）]R（k）=R（k一1）+A（k）h（k）h'（k）

又设R（k）=-R（k）f可导出如下的加权最小二乘估计递推算法，记k

TOLS（WeightedRecursiveLeastSquaresalgorithm）,

'八AA

&伙）=e（k-1）+-R'（k）h（k）A（k）[z伙）一X伙）0伙一I）]k

R（k）=R（k—1）+1[A（k）h（k”厂伙）—R（k一1）]

k

置p伙）=1R-*伙）=£A（i）h（讪（J

kr=i

=pT伙一1）+A伙）h伙）h「伙）『,并

利用矩阵反演公式

（A+CBCr）}=A“}+CrA^［C）CrA^,

令增益矩阵为：

K伙）=P伙）h伙）A伙）

那么算法将演变成下面所示的另一种递推算法形式

八八入

0（k）=eik-1）+K（k）[z（k）一hT（k）0（k一1）]

K（灯=P{k-\）h{k）hT（k）P伙一1）〃伙）+」一

4伙）

P（k）=[I-K（k）hT{k）]P伙—1）

第四章

1：

叙述课本定理并推导之（pp92-94）；

确定性问题的梯度校正参数辨识方法的参数估计递推公式为:

$（k+1）=$伙）+斤伙）h伙）［），伙）一h「伙方伙）］

并且权矩阵斤伙）选取如下形式：

R（k）=c⑹d沏g［A«）,\伙）'…,A”伙）］

如果权矩阵满足以下条件:

1.0

2.“个4伙）中存在一个4“伙），使得

盘伙）—4”伙+1）、4伙）一4伙+1）

或者

4”伙+1）二4伙+1）

盘伙）一4伙）

c2

3.0vc伙）＜—

±4⑹斤⑹

J-1

4./伙）=久-Z伙）与h伙）不正交

则不管参数估计值的初始值如何选择，参数估计值总是全局一致

渐近收敛的，即有：

lim0（k）=久

定理的证明：

①建立关于参数估计偏差e伙）的离散时间运动方程。

由

于：

勿£+1）=5⑹+斤伙）h（灯［y伙）—h「伙方伙）］=/伙）+*（約!

1伙）［11'伙）久—1】「伙）5伙）］=力伙）+水伙）h伙）h「伙）［仇—Z伙）］

令：

Q伙）=久—Z伙），由：

久-处+1）=伙）h伙）h「伙）［必一Z伙）］

我们有：

沁+1）=/伙）一斤伙）h伙）h「伙）2伙）

即

（**）

沁+1）=[Z-j?

伙）h伙）h「伙）]方伙）

②建立方程（**）的Lyapunov能量函数。

定义Lyapunov能•量函数如下:

其中A加满足定理中的条件2、@伙）=目-&伙）。

由Lyapunov稳定性定理，只要V[^k\k]满足以下条件，则离散时间运动方程（**）具有全局一致渐近稳定的零点。

（a）I心伙），幻＞0,对于所有的沁“0;

（b）V®伙），幻=0,对于所有的沁）=0；

（c）当0伙）|ts时，有伙），幻TS；

（d）[反幻2V0伙+i）*+i]—v矽伙），幻＜0,对妙f有的/伙）工0。

由定理给定的条件可知（a）,（b）和（c）一定满足。

③条件（d）满足的证明

记:

歹伙+1）术+1]V®伙），幻

心伙+1）九（k）

则由Lyapunov能量函数的定义，有:

其中:

入伙）

「字伙+1）—玄2伙）］=£恆伙+1）—瓦伙）］恆伙+1）+&伙）一20］

将/伙+1）=厶伙）+斤伙）h伙）［y伙）-h「伙莎伙）］及斤伙）的定义式代入,由

于：

&伙）=y伙）一力「⑹/伙）=2/伙）禺一力「伙卩伙）=2/伙）/伙）我们有：

0=C伙）£伙）£/7“）［c伙）A"）%伙）£伙）一2@伙）］

J-1

=c（k）s2（k）C伙）£A,伙）叶伙）—2

由定理给的条件2,有

二C宀,伙）f+1）导歹伙+1）

-九伙）自入伙+1）

=Q+第仁入；丫¥）啡伙+1）*+1]A,”（叽伙+1）

门\/[3伙+1）*+1]伙+1）*+1]

伙）

=Q+

利用△匕[孙|和厶切乳幻的定义，由

W伙+1）*+1]

九伙+1）

vi£mi

心伙）

上而的不等式可得：

（）二小"3⑹'幻“歹伙+1）*+11

-A",伙）心灯

伙+1）术+1]—V0伙），幻△"[//]

A”,伙）A,”⑹

即有：

AV\^.k]

由于A”"）>0,所以为了使M反幻V0,必须QvO,即要求:

'N'

c伙）只伙）€伙）工A：

伙）/『伙）一2<0

.r=l-

由定理的条件4,有8（k）=hT伙）歹伙）H0,因此上面的不等式为:

0

乞入•伙）斤伙）

i-i

至此证明了只要定理的条件满足，必有小/|反幻<0,定理证毕。

2：

设X和Y是两个随机变量（向量），且X取值所形成的空

间为S,试解释r=h（（X）=E{Y\X}的几何含义；

用X的某一函数〃（X）来作为Y的预测，记作y=//（x）,使得£{[丫-汗}达到最小。

3：

随机逼近原理的内容为：

给定设方程：

h{x）=E{Y\X=x]=a

（C）

有唯一的解。

可以取X的样木值心吃，…，以及对应丫的样木值，记为yg）,yg），…，通过迭代，逐步逼近上述方程的解。

是叙述随机逼近R-M算法的内容。

x（k+1）=x伙）+p（k）[a一y（x伙））]

其中：

。

伙）称为收敛因子。

如果Q伙）满足：

（D）

p（k）>0,limp（k）=0

工。

（灯=S；力°’伙）

X:

=l/r=i

则由（C）确定的X伙）在均方意义下收敛于方程（B）的解。

一般。

伙）取：

Q伙）=i；Q伙）=—^―

ka+k

另外：

当满足以下条件时

匸卜一/心）]「/“（），卜）VS

|/心）|

h{x）a,（x>x0）

VQ,久，0v§v久vs,inf|/i（x）-0."-JjSlx-XolSJ：

1

由（C）确定的x伙）满足：

P{limx伙）=Xq}=1

第五章

1:

什么是极大似然估计；

设z是随机变量，己知条件概率密度函数观测序列为&伙）;k=1,2,…,厶｝,记为向量形式丢=[?

（l）,z

（2）,…,z（D],则Z]的联合条

件概率密度函数为〃（勾0）,那么参数&的极大化似然估计就是使

=max的参数估计值。

即有：

竺0=0或弹。

"切纠'=0

b夕

1-"mi.一

给定一组数据习=[z（l）,z

（2）,…,亦）],此时〃（可0）只是0的函数,

我们称为0的似然函数，记为L（zl^）o因此极大似然原理可表示为:

其中log厶②|夕）称为对数似然函数。

九称作极大似然参数估计值。

2：

运用极大似然估计给岀参数估计，所得的统计量一般是什么

统计量其物理含义是什么

对数似然函数统计量，对一组确定的随机序列勺，设法找到参数估计值几「使得随机变量z在久°条件下的概率密度函数最大可能地逼近随机变量z在仇（真值）条件下的概率密度函数，即有：

p（z|况）

可以证明：

（A）或（B）式是实现上式的条件。

3：

设对某电阻进行测量，其观测值服从正态分布N（“&）,现获取的iid样本为&，…,X”，试求（〃。

）的极大似然估计。

将模型写成最小二乘格式：

其中:

可=孩⑴忆⑵,…

=[e⑴,e

（2）,…,

夕=[5,5…4上1厶’…也F

"（0）

“⑴

m（L-1）•…u（L-n）

_-Z（O）…-2（1-/?

）

__Z

（1）…-z（2-n）

hL=

_z（厶一1）…-z（L-h）

记噪声心）的协方差阵为=E{eLe[},则由咻）的正态性，可知:

因此，有:

卩（勺0）=（2”戸（血运戸

exp|-£（可-丹/0）「工；匕厶

对应的对数似然函数为:

/（z』0）=log/心』夕）=

=————log（detSr）———Hl^）Y.~l（zL—H

厶厶乙

由极大似然原理可得：

并且

因此（D）式

给出了参数夕的极大似然估计值。