4.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,
其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手,
甲说：
“是乙或丙获奖.”乙说：
“甲、丙都未获奖.”丙说：
“我获奖了丁说:
“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）
事件5,则P（回A）二（）
・D
6.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的而枳，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的〃的值为（）
（参考数据：
6比1.732，sin15°«0.2588,sin7.5°^0.1305）
A.12B.24C.48D.96
7.设〃x）,g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当X<0时，
/'（x）g（x）+/（x）g'（x）>。
，且。
（-3）=0,则不等式/（x）g（x）〈。
的解集为
8.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外「其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平而上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表
I234567S9
财IIIinmimuttnrm旗式_===叁」,=L上上
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：
J_T_III，则9117用算筹可表示为
A.全I_TB.>_IT
C-iI_±D.+_|，
9.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当而_L无§时，其离心率为避」，2
此类椭圆被称为“黄金椭圆'二类比"黄金椭圆可推算出“黄金双曲线”的离心率《等于
一人答对的概率为
则m+n等于（）
B.10C.8D.1
12.函数f（x）的定义域为[-1,1],图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[-2,2],图象如图2所示，设函数f（g（x））有m个零点，函数g（f（x））有n个零点,
A.6
二、填空题
13.观察下列等式:
2-l3=3X2X1+1,
33-23=3X3X2+1,4T3=3X4X3+1,
照此规律，第n（n£N.）个等式可为
14.设复数z2=Z]—乜（其中表示复数4的共匏复数），若Z2的实部是-1,则Z2的虚部是
15.某工程由A、B、C、。
四道工序完成，完成它们需用的时间依次2、5、X、4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：
A、8可以同时开工：
A完成后，C可以开工；B、C完成后，。
可以开工，若完成该工程总时间数为9天，则完成工序。
需要的天数x最大为.
16.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价*元）
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y（件）
90
84
83
80
75
68
由表中数据,求得线性回归方程为5二-20肝出若在这些样本中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为.
三、解答题
17.已知基函数/*）=（加_1）2--4/2在（0,"）上单调递增，函数g（x）=2'—z；
（1）求m的值：
（2）当xe[l,2]时，记"X）、g（x）的值域分别是A、B,若A=8=A,求实数％的
取值范围：
记.⑴用综合法证明匕+人+2^^+^^+\/^^"，b,c均为正实数）；
（II）已知:
xeR，”=Y-1,〃=4x+5,求证:
“，〃中至少有一个不小于0.
19.2021年9月3日，抗战胜利71周年纪念活动在北京隆重举行，受到全国人民的瞩目.纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、拥待会和文艺晚会等，据统计，抗战老兵由于身体原因，参加纪念大会、阅兵式、招待会这个环节（可参加多个，也可都不参加）的情况及其概率如下表所示：
参加纪念活动的环节数小
0Q
LQ
2。
3。
概率小
1
一76
1
一。
3
（I）若m=2n,则从这60名抗战老兵中按照参加纪念活动的环行数分层抽取6人进行座
谈,求从参加纪念活动环节数为1的抗战老兵中抽取的人数：
（H）某医疗部门决定从（I）中抽取的6名抗战老兵中随机抽取2名进行体检,求这2名抗战老兵中至少有1人参加纪念活动的环行数为3的概率.
20.十八届五中全会公报指出：
努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策。
提高生殖健康、妇幼保健、托幼等公共服务水平。
为了解适龄公务员对放开生育二胎政策的态度,某部门随机调查了200位30到40岁的公务员，得到情况如下表：
男公务员，
女公务员"
生二胎4
80。
40Q
不生二胎〃
40。
40q
（I）是否有9玳以上的把握认为“生二胎与性别有关”，并说明理由：
（II）将频率看作概率，现从社会上随机抽取甲、乙、丙3位30到40岁的男公务员，求这三人中至少有一人要生二胎的概率.
n（ad-be）2
p-k"
0.050^
0.01g
0.003
3.84W
6.63M
10.828©
21.已知函数/（xXxlnx.gaAax3--x—二.
23e
（I）求函数/（X）的单调递增区间和最小值：
（II）若函数尸/Q）与函数y=g（x）的图象在交点处存在公共切线，求实数"的值.
{
x=1+V3cosc?
_（。
是参数,
y=J3sin（p
。
工夕工4）.以。
点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
JT
（peR）与曲
（1）求曲线G的极坐标方程:
（2）直线乙的极坐标方程是2Psi6+彳+3jJ=。
，直线小线G的交点为夕，与直线6的交点为。
，求线段PQ的长.
23.选修4—5:
不等式选讲
已知函数/（X）=2x-a+x-1.
（I）当a=3时,求不等式/（x）22的解集:
（II）若“X）^5-x对Vx£R恒成立,求实数a的取值范同
参考答案
1.c
【解析】
・.•集合8={xl-3vx<2,工eN}
・•・集合B={0,l,2}
・.•集合A={T1,3}
・•.Ad3={-1,0,1,2,3}
AU6中元素的个数为5
故选C.
2.D
【解析】
1.2017\—i13.
・・•复数币—,=（1+%1）一'二二5’
•••复数」--尸”7在复平而内对应的点在第四象限
1+Z
故选D.
3.D
【解析】
［产L1
Vx=-=5。
">5。
=1，0=logs11二1i
—2y/e
y故选D.
4.C
【详解】
若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不分题意：
若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，与题意不符:
若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，与题意不符:
当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题意相符.
故选C.
点睛：
本题主要考查的是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分别是获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可.
5.A
【分析】
根据条件概率求结果
【详解】
“第一次出现正面"：
P（A）=-,
2
“两次出现正面”：
==l
224
故选;A
【点睛】
此题考查条件概率问题，关键点是读懂每个事件的含义，准确写出其概率.尸（叫A）表示的
是在A事件的基础上B事件的概率是多少.
6.B
【分析】
列出循环过程中S与〃的数值，满足判断框的条件即可结束循环.
【详解】
解：
模拟执行程序，可得：
n=6,S=3sin600=：
立，
2
不满足条件S23.10,〃=12,S=6xsin30°=3,
不满足条件S23.10,〃=24,S=12xsin150=12x0.2588=3.1056,
满足条件S23.10,退出循环，输出〃的值为24.
故选：
B.
【点睛】
本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题.
7.D
【分析】
由题，构造新函数〃（x）=/（x）g（x）,然后求得其单调性和奇偶性，然后解得其结果即可.
【详解】
由题意令〃（x）=/（x）g（x）,则当R<0时，/?
'（x）=/'（x）g（x）+/（x）g'（x）>0,所以当
x<0时，函数例M为单调递增函数，又由/a）,g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函
数，所以/?
"）是定义在R上的奇函数，所以当x>0时，函数力（x）为单调递增函数，且
/（—3）=-/（3）=0,当x<0时，不等式f（x）g（x）<0的解集是xe（—s,-3）；当工>0时,不等式fMg（x）<0的解集是xe（0,3）,所以不等式f（x）g（x）<0的解集是
（f-3川（0,3）,故选D.
【点睛】
本题解答中涉及利用导数研究函数的单调性以及单调性的应用、函数的奇偶性及其应用、不等关系的求解等知识点，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应
用.本题的解答中根据题设条件，得出函数〃*）=/（x）g（x）的单调性和奇偶性是解答的关
键，试题有一定的难度，属于中档试题.
8.A
【解析】
试题分析：
由定义知：
千位9为横式=L：
百位1为纵式：
十位1为横式：
个位7为纵式,选A
考点：
新定义
9.A
【分析】根据丽・丽=0得到/T=e，计算得到答案.
【详解】
在“黄金双曲线”中，因为fB,AB，所以FBAB=0
又FB=（C,/?
）,AB=（—。
/?
）,所以％2=4C,而〃2=，一”2,所以C2—02=加
在等号两边同除以霹，得/-1=°,解得？
=虫±!
.（e=匕正舍去）22
故选：
A
【点睛】
本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和推理能力.
10.A
【解析】
第一种：
甲答对，乙答错，此时概率为:
、［1一；）=捺；第二种：
甲答错，乙答对，此时
4
20
347
综上，两人中恰有一人答对的概率为一+——=一202020
故选A.
11.C
【解析】
若戈<0,则一x>0,-幻=/一2x=/（x）,若x>0,则一x<0.
/（—x）=/+2x=/（x）,故函数八幻为偶函数，且当xNO时，函数单调递增.
・••不等式/（-«）+/（«）<2/
（1）等价于2/3）<2/
（1）,即f（a）
（1）
同《1
故选C.
点暗：
本题考查与分段函数有关的不等式问题.解决与分段函数有关的不等式时，要注意观
察分段函数的表达式，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，从而将不等式/（-«）+/（«）<2/
（1）等价于2f（a）<2/
（1）.
12.B
【解析】
解：
由图象可知，
若f（g（x））=0,则g（x）=-1或g（x）=0或g（x）=1；
由图2知，g（x）=・1时，x=-1或x=1；
g（x）=0时，x的值有3个；g（x）=1时，x=2或x=-2；
g（X）=-1时,x=1或x=・1.
故m=7：
若g（f（x））=0,则f（x）=-1.5或f（x）=1.5或f（x）=0；
由图1知，f（x）=1.5与f（x）=-1.5无解；
f（x）=0时，x=-1,x=l或x=0,故n=3；
故m+n=10；
故选：
B.
点睛：
（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及K表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象
研究.
13.（n+1）8-n3=3（n+1）n+1
【解析】
•••23-13=3x2x1+1，33-23=3x3x2+1，43-33=3x4x3+l--
•••第n（neN）个等式可为（〃+1）'-/=3（〃+1）〃+1
故答案为（〃+I）'—/=3（〃+1）〃+1.
14.1
【解析】
设z，i=a+bi（a,b£R）,则4=〃一切.
:
.马=4_设1=a+bi_i（a_bi）=a+bi_b_ai=（a_b）_（a_b）i
••“2的实部是一1
15.3
【解析】
如图，根据题意，画出工序图，如图所示:
由于工期为9天，故2+X+4V9,解得x43,
即完成工序C需要的天数x最大是3.
1
16.-
3
【解析】
8+8.2+8.4+8.6+8.8+9_
由表格数据可知:
=8.5,
6
90+84+83+80+75+68on=oU.
6
•/b=-20>a=y-bx
•••4=80+20x8.5=250
.•.回归直线方程为»=-20x+250
分别将6个点代入方程得小于0的点有（8.2,84）,（9,68）两个点，则其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，其中这两点恰好在回归直线两侧的共有2种不同的取法，故满足
21
条件的概率P=；=；.
63
故答案为
3
点睛：
本题考查的知识是线性回归方程及等可能性事件的概率.回归直线方程中系数的两种求法①公式法：
利用公式，求出回归系数£,/；；②待定系数法：
利用回归直线过样本点中心（工，刃求系数：
求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键.
17.
（1）0;
（2）［0,1］
【分析】
（1）根据箱函数的定义有。
〃-1）2=1，求出〃？
的值，然后再根据单调性确定出〃?
的值.
（2）根据函数f（x）、g（x）的单调性分别求出其值域，再由A=8=A得BqA,再求k的取值范闱.
【详解】
⑴函数/（X）=（团—1）2-2为幕函数,
则（7H—1）2=1,解得：
=0或m—2.
当〃7=0时，/“）=/在（0,十8）上单调递增，满足条件.
当"?
=2时，/*）=厂2在（0,+8）上单调递减，不满足条件.
综上所述〃?
=0.
⑵由⑴可知，/（x）=Y,则/（X）、g（x）在口,2］单调递增，
所以在［1,2］上的值域A=［1,4］,g"）在［1,2］的值域8=［2-攵,4一周.
2-kNl
4一攵«4
因为A=8=A，即3qA,
\>k
即，所以。
《女41・0所以实数k的取值范围是［0』］.
【点睛】
本题考查事函数的概念，函数值域和根据集合的包含关系求参数的范围，属于基础题.
18.（I）见解析；（II）见解析.
【解析】试题分析：
（I）根据x+），N2历（x,ye/f），当且仅当工=）'时等号成立，累加即可得
证：
（0）用反证法，假设<。
则a+Z?
<0,又
6/+Z7=x2-1+4x+5=x2+4x+4=（x+2）2>0,这与假设所得的结论矛盾，故假设不成立，命题得证.
试题解析：
（I）•••力工均为正实数
•-a+b>2瓢（当且仅当。
=匕时等号成立），①
b+c>2病（当且仅当人=c时等号成立），②
c+〃22向（当且仅当a=c时等号成立）.③
，①+©+@,得（a+/?
）+（Z?
+c）+（c+4）2+即
2（a+b+c）>2（>/ab+y[bc+>/ca）
a+b+c>\[ab+\/bc+\/ca，当且仅当a=Z?
=c时取等号.
••a+b+c>4（^+\[bc+4ca-
（H）假设。
，/?
都小于。
，即a<0,〃v0，则4+Z?
<0.
又=x：
—1+4x+5=x?
+4x+4=（x+2）2之0
，这与假设所得a+Z?
<0矛盾，故假设不成立.
・••〃，/?
中至少有一个不小于O.
点睛：
（1）对于含有“都是”、“都不是”、“至多”、“至少”形式的命题，或直接从正面入手难以寻觅解题的突破口的问题，证明时可考虑使用反证法.
（2）用反证法证明命题的基本步骤：
①反设，设要证明的结论的反而成立.作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏：
②归谬，从反设出发，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论；
③否定反设，从而得出原命题结论成立.
3
19.（i）2：
（II）r
【解析】
试题分析：
（I）由题意可知，〃?
+〃+；+!
=1,再由〃?
=2〃，能求出这60名抗战老兵中63
参加纪念活动的环节数为。
』，2,3的抗战老兵的人数分别为10,20,10,2。
，由此利用分层抽
样法能求出参加纪念活动的环节数为1的抗战老兵中应抽取的人数：
（H）抽取的这6名抗战老兵中1名参加了0个环节，记为A：
2名参加了1个环节，记为4，C：
1名参加了2个环节，分别记为。
；2名参加了3个环节，分别记为£，F;则从这6名抗战老兵中随机抽取2人，利用列举法能求出这2名抗战老兵中至少有1人参加纪念活动的环节数为3的概率.
试题解析：
（I）由题意可知：
〃?
+〃+；+?
=1.
63
又m=2n
，这60名抗战老兵中参加纪念活动的环节.数为0,1.2,3的抗战老兵的人数分别为10,20,10,20,故从参加纪念活动的环节数为1的抗战老兵中应抽取的人数为20乂3=2.
60
（0）由（I）可知抽取的这6名抗战老兵中1名参加了。
个环节，记为A，2名参加了1个环节，记为B,C,1名参加了2个环节，分别记为D,2名参加了3个环节.分别记为E,F,则从这6名抗战老兵中随机抽取2人，有
（A,B）,（A,C）,（A,D）,（A,E）,（A,F）,（B,C）,（B.D）,（B,E）,（B,F）,（C,D）,（C,E）.（C,F）,（D,E）,（D,F）,（E,F）洪15个基本事件.记“这2名抗战老兵中至少有1人参加纪念活动的环节数为3”为事件M,则事件M包含的基本事件有
（A,E）,（A,F）,（B,E）,（B,F）,（C,E）,（C,F）,（D,E）,（D,F）,（E,F）,共9个.故所求概率93
为P（M）=^=；
20.（I）见解析；（II）称.
【解析】
试题分析：
（I）根据题意列出2x2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值
2
同临界值进行比较，即可得出结论：
（H）由题意可知：
一名男公务员要生二胎的概率为:
，一名男公务员不生二胎的概率为:
，记事件4为这三人中至少有一人要生二胎，则这三人
中至少有一人要生二胎的概率为P（A）=1-P（A）.
试题解析：
（I）由于k2=23）x（X（）X4（）-4（）X4（）匚=三＜6635，故没有99%以上的把120x80x120x809
握认为“生二胎与性别有关;
802
（II）由题意可得，一名男公务员要生二胎的概率为西=|,一名男公务员不生二胎的概率为
40_1
120-3-
记事件A为这三人中至少有一人要生二胎，则所求概率为
P（A）===这三人中至少有一人要生二胎的概率去
2
21.（I）见解析；（H）a二U.
6
【解析】
试题分析：
（I）求出/*）的导数，求得单调区间和极值,即可得最小值；（II）设函数y=fM
与函数y=g（x）的图象在交点（%,y0）处存在公共切线，则根据切线的斜率相等以及交点在
试题解析：
（[）•••/'（x）=xlnx
A/V）=ln.r+1,x＞0
•••当X£（0,,）时，/V）＜0；当X£（_L,+co）时，/V）＞0.ee
••・函数在（0,-）上单调递减，在（Lxo）上单调递增.e©
•••所求函数.〃x）的单调递增区间为（工母），最小值为/d）=llnl=—'.eeeee
（U）设函数¥=/3）与函数卜=放外的图象在交点（为,为）处存在公共切线，则根据切线
3
xolnxo+-xo=36/xo3
-32公
Inx（）+-x0+—=3c/x（）
2e
3321
:
.x（）lnx0+-x0=3/In/+—/+—,化简得/Inx。
=--22ee
：
.a0是方程j\x）=-1的一个实数解.e
e
，玉）=一,将之代入Inx。
+1=—
e2
又;由（I）易知方程/（x）=—，有唯一的实数解，且该解为x=L
点暗：
本题主要考查利用导数求单调区间，最值及曲线切线方程.求曲线切线方程的一般步骤是：
（1）求出＞=/（工）在X=X0处的导数，即y=/（x）在点夕（XoJ（x。
））出的切线斜
率为/（七）（当曲线＞=/（切在夕处的切线与y轴平行时，切线方程为x=x。
）：
（2）由
点斜式求得切线方程）‘一/（/）=r（/）,（%-天）・
22.
（1）p2-2/?
cos6>-2=0,0<6><^：
（2）5.
【解析】试题分析：
（【）曲线C的参数方程消去参数8,能求出曲线。
的普通方程，再由
x=pcos6,y=psin＜9,能求出曲线C的极坐标方程：
（H）设P（月「4），。
（生,女），列
出方程组求出自，02，由|P@=3—用得出结果.
试题解析：
（【）曲线C的普通方程为（x—l）2+V=3,其中
又「x=pcos8,y=psine
工曲线C的极坐标方程为22—22（：
0§6-2=0，其中0＜夕＜乃.
p1-2pcos9-2=0
（H）
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