辽宁省丹东市届高三总复习质量测试一数学理试题扫描版.docx

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辽宁省丹东市届高三总复习质量测试一数学理试题扫描版

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。

二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分．

（1）A

（2）B（3）A（4）D（5）C（6）C

（7）B（8）C（9）D（10）D（11）C（12）D

（11）题引申：

如果把题中的“

”改成“

”，答案是

或

．

（12）题①②④是正确的．

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13）

（14）

（15）

（16）

三、解答题：

本大题共6小题，共70分．

（17）（本小题满分12分）

解：

（I）由

得

，

∴

是首项为1，公差为2的等差数列；…………（6分）

（II）由（I）得

，于是

，

当

时，

而

，∴

的通项公式

．…………（12分）

【注意】“累加”法，不要忘记验证

情形．

（18）（本小题满分12分）

（I）证明：

如图，连结A1B与AB1交于E，连结DE，则E为A1B的中点，

∴BC1∥DE，

平面

，

平面

，

∴

∥平面

；…………（6分）

（II）方法1：

过D作DF⊥A1B1于F，由正三棱柱的性质，AA1⊥DF，

∴DF⊥平面ABB1A1，连结EF，DE，

∴DE⊥AB1，∴可得EF⊥AB1，

则∠DEF为二面角A1－AB1－D的平面角，…………（8分）

在正三角形A1B1C1中，∵D是A1C1的中点，

∴

＝

，

又在直角三角形AA1D中，∵AD＝

＝

，

∴AD＝B1D，可求得

，

∵△B1FE∽△B1AA1，得

，

∴cos∠DEF＝

，即二面角A1－AB1－D的余弦值为

．…………（12分）

方法2：

建立如图所示空间直角坐标系，

则

，

，

，

，

，

∴

＝（0，1，

），

＝（－

a，－

0），

设n1＝（x，y，z）是平面AB1D的一个法向量，

则可得

，即

．

∴n1＝（－

，1，－

）．

，

又平面ABB1A1的一个法向量n2＝

＝（－

0,0），

设n1与n2的夹角是θ，则cosθ＝

＝

，

又可知二面角A1－AB1－D是锐角，

∴二面角A1－AB1－D的余弦值为

．…………（12分）

（19）（本小题满分12分）

解：

（I）∵

，

，

∴这100名学生数学成绩的中位数是

；…………（6分）

（II）∵数学成绩在[100，140）之内的人数为

∴数学成绩在[140，150]的人数为

人，

而数学成绩在[130，140）的人数为

人，

可取0,1,2，

，

，

，

分布列

0

1

2

∴

．…………（12分）

【引申】本题还可以这样设问：

根据题中的数据，分析比较这个班级的语文成绩数学成绩．

可以从以下几个方面选择回答：

①由直方图估分别计出语文成绩数学成绩的中无数，比较其大小，写出一个统计结论；

②比较语文成绩数学成绩130或140以上人数的多少，写出一个统计结论；

③由直方图估分别计出语文成绩数学成绩的众数（或从形成单峰处），比较其大小，写出一个统计结论；

④由直方图估分别计出语文成绩数学成绩的平均分，比较其大小，写出一个统计结论；

⑤由直方图估分别计出语文成绩数学成绩的方差，写比较其大小，出一个统计结论．

（20）（本小题满分12分）

解：

（I）根据已知，椭圆的左右焦点为分别是

，

，

，

∵

在椭圆上，

∴

，

，

，

椭圆的方程是

；…………（6分）

（II）方法1：

设

，则

，

，

∵

，∴

，

在圆中，

是切点，

∴

，

∴

，

同理

，∴

，

因此△

的周长是定值

．…………（12分）

方法2：

设

的方程为

，

由

，得

设

，则

，

，

∴

，

∵

与圆

相切，∴

，即

，

∴

，

∵

，

∵

，∴

，同理

，

∴

，

因此△

的周长是定值

．…………（12分）

（21）（本小题满分12分）

解：

（I）

，由题意

，得

，…………（2分）

此时

，定义域是

，

令

，

∵

，∴

在

是减函数，且

，

因此当

时，

，当

时，

，

∴

在

上是增函数，在

上是减函数；…………（6分）

（II）不等式

可以化为

，

设

，则

，

即判断是否存在

，使

在

是减函数，…………（8分）

∵

，

∵

，

，

，

∴

在

和

上各有一个零点，分别设为

和

，列表：

极小

极大

∴

在

是增函数，在

是减函数，

∵

，∴不存在这样的

值．…………（12分）

【注意】“当

时，不等式

对任意正实数

都成立”这句话符合必修1中函数单调性定义，说明

在

是减函数．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

解：

（I）

的极坐标方程化为

，

∴

的直角坐标方程是

，

即

，

的参数方程是

，

是参数；…………（5分）

（II）由

（

是参数）得到

∴

的最大值是6，最小值是2．…………（10分）

（24）（本小题满分10分）选修4-5：

不等式选讲

解：

（I）当

时，此不等式为

，解得

，

∴不等式的解集为

；…………（5分）

（II）∵

，

∴原不等式解集为

等价于

，∵

，∴

，

∴实数

的取值范围为

．…………（10分）