小学奥数方法讲解前20讲适合四年级docx.docx
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小学奥数方法讲解
前20讲
（适用于四年级）
第十一讲份数法32
第十二讲消元法33
第十三讲比较法36
第十四讲演示法38
第十五讲列表法39
第十六讲倍比法42
第十七讲逆推法44
第十八讲图解法47
第十九讲对应法52
第二十讲集合法56
第一讲观察法
在解答数学题时，第一步是观察。
观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。
小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的笫一步。
观察法，是通过观察题目屮数字的变化规律及位置特点，条件与结论之I'可的关系，题
目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系,把题目解答出来的一种解题方法。
观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察屮要动脑，要想出道理、找出规律。
*例1（适于一年级程度）此题是九年义务教育六年制小学教科书数学
E1-1
第二册，第11页中的一道思考题。
书中除图的图形外没有文字说明。
这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。
这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：
在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。
实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。
解：
现在通过观察、思考，看小方格中应填入什么数字。
从横中行10+6+□二18会想到，18-10-6=2,在横中行右面的小方格中应填入2（图1-2）o
7
10
6
2
S1-2
从竖右列7+2+□二18（图1-2）会想到，18-7-2=9,在竖右列下面的小方格中应填入9（图1-3）o
7
10
6
2
9
E11-3
从正方形对角线上的9+6+□二18（图1-3）会想到，18-9-6二3,在大正方形左上角的小方格中应填入3（图1-4）o
3
7
10
6
2
5
9
E1-4
从正方形对角线上的7+6+□二18（图1-3）会想到，18-7-6二5,在大正方形左下角的小方格中应填入5（图1-4）。
3
8
7
10
6
2
5
4
9
E1-5
从横上行3+0+7=18（图1-4）会想到,18-3-7=8,在横上行中间的小方格中应填入8（图1-5）o
又从横下行5+口+9二18（图1-4）会想到，18-5-9二4,在横下行中间的小方格中应填入4（图1-5）o
图1-5是填完数字后的幻方。
例2看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。
（适于二年级程度）
16^26^、、、o
9、18、27、、、、。
80、73、66>、、、o
解：
观察6、16、26这三个数可发现，6、16、26的排列规律是：
16比6大10,26比16大10,即后面的每一个数都比它前面的那个数大10o
观察9、18、27这三个数可发现，9、18、27的排列规律是：
18比9大9,27比18大9,即后面的每一个数都比它前面的那个数大9。
观察80、73、66这三个数可发现，80、73、66的排列规律是：
73比80小7,66比73小7,即后面的每一个数都比它前面的那个数小7o
这样可得到本题的答案是：
6、16、26、36.46>56.66O
9、18、27、36、45、54、63。
80、73、66、59、52、45、380
例3将1〜9这九个数字填入图1-6的方框中，使图中所有的不等号均成立。
（适于三年级程度）
解：
仔细观察图屮不等号及方框的排列规律可发现：
只有屮心的那个方框屮的数小于周围的四个数，看来在中心的方框中应填入最小的数1。
再看它周围的方框和不等号，只有左下角的那个方框中的数大于相邻的两个方框中的数，其它方框中的数都是一个比一个大,而且方框中的数是按顺时针方向排列越來越小。
所以，在左下角的那个方框中应填9,在它右邻的方框中应填2,在2右面的方框中填3,在3上而的方框中填4,以后依次填5、6、7、8。
图1-7是填完数字的图形。
例4从一个长方形上剪去一个角后，它还剩下几个角？
（适于三年级程度）
解：
此题不少学生不加思考就回答：
“一个长方形有四个角，剪去一个角剩下三个角。
”
我们认真观察一下，从一个长方形的纸上剪去一个角，都怎么剪？
都是什么情况？
（1）从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角，剩下三个角（图1-8）o
（2）从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角，剩下四个角（图1-9）o
（3）从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角，
剩下五个角（图1-10）0
例5甲、乙两个人面对面地坐着，两个人中间放着一个三位数。
这个三位数的每个数
字都相同，并且两人中一个人看到的这个数比另一个人看到的这个数大一半，这个数是多少?
（适于三年级程度）
解：
首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的，不然就没法考虑了。
甲看到的数与乙看到的数不同，这就是说，这个三位数正看、倒看都表示数。
在阿拉伯数字中，只有0、1、6、8、9这五个数字正看、倒看都表示数。
这个三位数在正看、倒看时，表示的数值不同，显然这个三位数不能是000,也不能是111和888,只可能是666或999。
如果这个数是666,当其中一个人看到的是666时，另一个人看到的一定是999,999-666二333,333正好是666的一半。
所以这个数是666,也可以是999。
*例61966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少？
（适于三年级程度）
解：
这道题可以有多种解法，把五个数直接相加，虽然可以求出正确答案，但因数字大，计算起來容易出错。
如果仔细观察这五个数可发现，第一个数是1966,第二个数比它大10,第三个数比它大20,第四个数比它大30,第五个数比它大40。
因此，这道题可以用下面的方法计算：
1966+1976+1986+1996+2006
二1966X5+10X（1+2+3+4）
=9830+100
=9930
这五个数还有另一个特点：
屮间的数是1986,第一个数1966比屮间的数1986小20,最后一个数2006比中间的数1986大20,1966和2006这两个数的平均数是1986。
1976和1996的平均数也是1986。
这样，中间的数1986是这五个数的平均数。
所以，这道题还可以用下面的方法计算：
1966+1976+1986+1996+2006
=1986X5
=9930
例7你能从4004-25=（400X4）4-（25X4）=400X44-100=16中得到启发,很快算出
（1）6004-25
（2）9004-25（3）14004-25（4）18004-25（5）72504-25的得数吗？
（适于四年级程度）
解：
我们仔细观察一下算式：
4004-25=（400X4）4-（25X4）=400X44-100=16
不难看出，原來的被除数和除数都乘以4,目的是将除数变成1后面带有0的整百数。
这样做的根据是“被除数和除数都乘以一个相同的数（零除外），商不变”。
进行这种变化的好处就是当除数变成了1后面带有0的整百数以后，就可以很快求出商。
按照这个规律，可迅速算出下列除法的商。
（1）6004-25
=（600X4）一（25X4）
=600X4-?
100
=24
（3）14004-25
=（1400X4）4-（25X4）
=1400X44-100
=56
（2）900=25
二（900X4）4-（25X4）
=900X44-100
=36
（4）18004-25
=（1800X4）4-（25X4）
=1800X44-100
=72
（5）72504-25
=（7250X4）4-（25X4）
=29000-?
100
二290
第二讲尝试法
解应用题时，按照自己认为可能的想法，通过尝试，探索规律，从而获得解题方法，叫做尝试法。
尝试法也叫“尝试探索法”。
一般来说，在尝试时可以提出假设、猜想，无论是假设或猜想，都要目的明确，尽可能恰当、合理，都要知道在假设、猜想和尝试过程中得到的结果是什么，从而减少尝试的次数，提高解题的效率。
例1把数字3、4、6、7填在图2-1的空格里，使图中横行、坚列三个数相加都等于14。
（适于一年级程度）
解：
七八岁的儿童，观察、总结、发现规律的能力薄弱，做这种填空练习，一般都感到困难。
可先启发他们认识解此题的关键在于试填中间的一格。
中间一格的数确定后，下面一格的数便可由竖列三个数之和等于14來确定，剩下的两个数自然应填入左右两格了。
屮间一格应填什么数呢？
先看一个tl常生活中的例子。
如果我们要从一种月刊全年的合订本中找到第六期的第23页，我们一定要从合订本大约一半的地方打开。
要是翻到第五期，就要再往后翻；要是翻到第七期、第八期，就要往前翻。
找到第六期后，再往接近第23页的地方翻，……
这样反复试探几次，步步逼近，最后就能找到这一页。
这就是在用“尝试法”解决问题。
本题的试数范围是3、4、6、7四个数，可由小至大，或由大至小依次填在中间的格中，按“横行、竖列三个数相加都得14”的要求来逐个尝试。
如果中间的格中填3,则竖列下面的一格应填多少呢？
因为14-5-3=6,所以竖列下面的一格屮应填6（图2-2）o
下面就要把剩下的4、7,分别填入横行左右的两个格屮（图2-3）o把横行格屮的4、3、7三个数加起来，得14,合乎题目要求。
如果屮间一格填4、或填6、7都不合乎题目的要求。
所以本题的答案是图2-3或图2-4o
例2把1、2、3……11各数填在图2-5的方格里，使每一横行、每一竖行的数相加都等于18。
（教科书第四册第57页的思考题，适于二年级程度）
解：
图2-5中有11个格，正好每一格填写一个数。
图2-6中写有A、B、C的三个格中的三个数，既要参加横向的运算，又要参加纵向的运算，就是说这三个数都要被用两次。
因此，确定A、B、C这三个数是解此题的关键。
因为1〜11之屮屮间的三个数是5、6、7,所以，我们以A、B、C分别为5、
6、7开始尝试（图2-7）o
以6为中心尝试，看6上、下两个格中应填什么数。
因为18-6=12,所以6上、下两格屮数字的和应是12。
考虑6已是1〜11Z中中间的数，那么6上、下两格屮的数应是1〜11Z屮两头的数。
再考虑6上面的数还要与5相加，6下面的数还要与7相加，5比7小，题中要求是三个数相加都等于18,所以在6上面的格中填11,在6下面的格中填1（图2-8）。
L
5
11
1
6
[T
7
1
图2-8
6+11+1=18
看图2-8。
6上面的数是11,11左邻的数是5,18-11-5=2,所以5左邻的数是2（图
2-9）o
再看图2-8o6下面的数是1,1右邻的数是7,18-1-7=10,所以7右邻的数是10（图
2-9）o
现在1〜11之中只剩下3、4、8、9这四个数，图2-9中也只剩下四个空格。
在5的上、下，在7的上、下都应填什么数呢？
因为18-5=13,所以5上、下两格中数字的和应是13,3、4、8、9这四个数中，只有4+9二13,所以在5的上、下两格中应填9与4（图2-10）o
看图2-10«因为6左邻的数是4,18-4-6=8,所以6右邻的数是8。
因为18-7-8=3,并且1-11的数中，只剩下3没有填上，所以在7下面的格中应填上3o
图2-10是填完数字的图形。
*例3在9只规格相同的手镯中混有1只较重的假手镯。
在一架没有舷码的天平上，最多只能称两次，你能把假手镯找出来吗？
（适于三年级程度）
解：
先把9只手镯分成A、B、C三组，每组3只。
1把A、B两组放在天平左右两边的秤盘上，如果平衡，则假的1只在C组里；若不平衡，则哪组较重，假的就在哪组里。
2再把有假手镯的那组中的两只分别放在天平的左右秤盘上。
如果平衡，余下的1只是假的；若不平衡，较重的那只是假的。
*例4在下面的15个8Z间的任何位置上，添上+、-、X、十符号，使得下面的算式成立。
（适于三年级程度）888888888888888二1986
解：
先找一个接近1986的数，如：
88884-8+888=1999o
1999比1986大13。
往下要用剩下的7个8经过怎样的运算得出一个等于13的算式呢？
884-8=11,11与13接近，只差2。
往下就要看用剩下的4个8经过怎样的运算等于2o8T+X8二2。
把上血的思路组合在一起，得到下面的算式：
8888F8+888-884-8-8十8~84-8=1986
例5三个连续口然数的积是120,求这三个数。
（适于四年级程度）
解：
假设这三个数是2、3、4,贝IJ：
2X3X4=24
24<120,这三个数不是2、3、4；
假设这三个数是3、4、5,贝I」：
3X4X5=60
60<120,这三个数不是3、4、5；
假设这三个数是4、5、6,贝9：
4X5X6=120
4、5、6的积正好是120,这三个数是4、5、6。
例6在下面式子里的适当位置上加上括号，使它们的得数分别是47、75、23、35。
（适于四年级程度）
（1）7X9+12-3-2=47
（2）7X9+124-3-2=75
（3）7X9+124-3-2=23
（4）7X9+124-3-2=35
解：
本题按原式的计算顺序是先做第二级运算，再做第一级运算，即先做乘除法而后做加减法，结果是：
7X9+124-3-2
=63+4-2
二65
“加上扌舌号”的目的在于改变原来的计算顺序。
rti于此题加屮扌舌号还是加小扌舌号均未限制，因此解本题的关键在于加写括号的位置。
可以从加写一个小括号想起，然后再考虑加写屮括号。
如:
（1）7X7=49,再减2就是47。
这里的第一个数7是原算式中的7,要减去的2是原算式等号前的数，所以下面应考虑能否把9+12一3通过加括号后改成得7的算式。
经过加括号，（9+12）4-3=7,因此：
7X[（9+12）4-3]-2=47
因为一个数乘以两个数的商，可以用这个数乘以被除数再除以除数，所以本题也可以写成：
7X（9+12）4-3-2=47
（2）7X11二77,再减2就得75。
这里的7是原算式中的第一个数，要减去的2是等号前面的数。
下面要看9+12—3能不能改写成得11的算式。
经尝试9+12十3不能改写成得11的算式，所以不能沿用上一道题的解法。
7X9+12得75,这里的7、9、12就是原式屮的前三个数，所以只要把3-2用小括号括起來，使7X9+12之和除以1,问题就可解决。
由此得到：
（7X9+12）4-（3-2）二75
因为（3-2）的差是1,所以根据“两个数的和除以一个数，可以先把两个加数分别除以这个数，然后把两个商相加”这一运算规则，上面的算式又可以写成：
7X9+124-（3-2）=75
在上面的这个算式中，本应在7X9的后面写上“一（3-2）",因为任何数除以1等于这个数本身，为了适应题目的要求，不在7X9的后写出“一（3-2）"o
（3）25-2=23,这个算式中，只有2是原算式等号前的数，只要把7X9+124-3改写成得25的算式，问题就可解决。
又因为7X9+12二75,754-3=25,所以只要把7X9+12用小括号括起来，就得到题中所求了。
（7X9+12）4-3-2=23
（4）7X5二35,7是原算式屮的第一个数，原算式屮的9+124-3-2能否改写成得5的算式呢？
因为7-2=5,要是9+124-3能改写成得7的算式就好了。
经改写为（9+12）4-3=7,因此问题得到解决。
题中要求的算式是：
7X[（9+12）4-3-2]=35
*例7王明和李平一起剪羊毛，王明剪的天数比李平少。
王明每天剪20只羊的羊毛，李平每天剪12只羊的羊毛。
他俩共剪了112只羊的羊毛，两人平均每天剪14只羊的羊毛。
李平剪了几天羊毛？
（适于四年级程度）
解：
王明、李平合在一起，按平均每天剪14只羊的羊毛计算，一共剪的天数是：
1124-14=8（天）
因为王明每天剪20只，李平每天剪12只，一共剪了112只，两人合起來共剪了8天，并且李平剪的天数多，所以假定李平剪了5天。
贝!
J：
12X5+20X（8-5）=120（只）
120>112,李平不是剪了5天，而是剪的天数多于5天。
假定李平剪了6天，贝II：
12X6+20X（8-6）=112（只）
所以按李平剪6天计算，正满足题屮条件。
答：
李平剪了6天。
第三讲列举法
解应用题时，为了解题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列举出来加以分析、解决，最终达到解决整个问题的目的。
这种分析、解决问题的方法叫做列举法。
列举法也叫枚举法或穷举法。
用列举法解应用题时，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要画图。
例1一本书共100页，在排页码时要用多少个数字是6的铅字？
（适于三年级程度）
解：
把个位是6和十位是6的数一个一个地列举出来，数一数。
个位是6的数字有：
6、16、26、36、46、56、66、76、86、96,共10个。
十位是6的数字有：
60、61、62、63、64、65、66、67、68、69,共10个。
10+10=20（个）
答：
在排页码时要用20个数字是6的铅字。
*例2从A市到B市有3条路，从B市到C市有两条路。
从A市经过B市到C市有儿种走法？
（适于三年级程度）
解：
作图3-1,然后把每一种走法一一列举出來。
①④
E3-1
第一种走法:
第二种走法:
第三种走法:
第四种走法:
第五种走法:
第六种走法:
答：
从A市经过B市到C市共有6种走法。
*例3901307=100
140205二口
把+、-、X、十四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。
这吋长方形中的数是几？
（适于四年级程度）
解：
把+、-、X、一四种运算符号填在四个圆圈里，有许多不同的填法，要是逐一讨论怎样填会特别麻烦。
如杲用些简单的推理，排除不可能的填法，就能使问题得到简捷的解答。
先看第一个式子：
901307=100
如果在两个圆圈内填上“十”号，等式右端就要出现小于100的分数；如果在两个圆圈内仅填“+”、“-”号，等式右端得出的数也小于100,所以在两个圆圈内不能同时填“三”号，也不能同时填“+”、“-”号。
要是在等式的一个圆圈中填入“X”号，另一个圆圈中填入适当的符号就容易使等式右端得出100。
9X13-7=117-7=110,未凑出100。
如果在两个圈中分别填入“+”和“X”号，就会凑出100To
9+13X7=100
再看第二个式子：
140205二口
上面已经用过四个运算符号中的两个，只剩下“十”号和“-”号了。
如果在第一个圆圈内填上“十”号，14一2得到整数，所以：
14三2-5二2
即长方形屮的数是2。
*例4印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？
（适
于四年级程度）
解:
（1）数码一共有10个：
0、1、2……8、9。
0不能用于表示页码，所以页码是一位数的页有9页，用数码9个。
（2）页码是两位数的从第10页到第99页。
因为99-9二90,所以，页码是两位数的页有90页，用数码：
2X90=180（个）
（3）还剩下的数码:
1890-9-180=1701（个）
（4）因为页码是三位数的页，每页用3个数码，100页到999页，999-99=900,而剩下的1701个数码除以3时，商不足600,即商小于900。
所以页码最高是3位数，不必考虑是4位数了。
往下要看1701个数码可以排多少页。
17014-3=567（页）
（5）这木书的页数：
9+90+567二666（页）
答略。
*例5用一根80厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都要是5的倍数。
哪一种方法圉成的长方形面积最大？
（适于四年级程度）
解：
要知道哪种方法所围成的面积最大，应将符合条件的围法一一列举出来，然后加以比较。
因为长方形的周长是80厘米，所以长与宽的和是40厘米。
列表3-1：
表3-1
1
2
3
4
长
35
30
25
20
5
10
15
20
表3-1屮，长、宽的数字都是5的倍数。
因为题目要求的是哪一种围法的长方形面积最大，第四种围法围出的是正方形，所以第四种围法应舍去。
前三种I詞法的长方形面积
分别是：
35X5=175（平方厘米）
30X10=300（平方厘米）
25X15=375（平方厘米）
答：
当长方形的长是25厘米，宽是15厘米时，长方形的面积最大。
第四讲综合法
从已知数量与已知数量的关系入手，逐步分析已知数量与未知数量的关系，一直到求出未知数量的解题方法叫做综合法。
以综合法解应用题时，先选择两个已知数量，并通过这两个已知数量解出一个问题，然后将这个解出的问题作为一个新的己知条件，与其它已知条件配合，再解出一个问题……一直到解出应用题所求解的未知数量。
运用综合法解应用题时，应明确通过两个已知条件可以解决什么问题，然后才能从已知逐步推到未知，使问题得到解决。
这种思考方法适用于已知条件比较少，数量关系比较简单的应用题。
例1甲、乙两个土建工程队共同挖一条长300米的水渠，4天完成任务。
甲队每天挖40米，乙队每天挖多少米？
（适于三年级程度）
解：
根据“甲、乙两个土建工程队共同挖一条长300米的水渠”和“4天完成任务”这两个已知条件，可以求出甲乙两队每天共挖水渠多少米（图4-1）o
3004-4=75（米）
根据“甲、乙两队每天共挖水渠75米”和“甲队每天挖40米”这两个条件，可以求出乙队每天挖多少米（图4-1）o
75-40=35（米）
综合算式：
3004-4-40
=75-40
=35（米）
答：
乙队每天挖35
E4-1
例2两个工人排一木39500字的书稿。
甲每小时排3500字，乙每小时排3000字，两人合排5小时后，还有多少字没有排？
（适于四年级程度）
解：
根据甲每小时排3500字，乙每小时排3000字，可求出两人每小时排多少字（图4一2）°
S4-2
3500+3000=6500（字）
根据两个人每小时排6500字，两人合排5小时，可求出两人5小时已排多少字（图4一2）o
6500X5=32500（字）
根据书稿是39500字，两人已排32500字，可求出还有多少字没有排（图4-2）039500-32500=7000（字）
综合算式：
39500-（3500+3000）X5
=39500-6500X5
=39500-32500
=7000（字）
答略。
例3客车、货车同时由甲、乙两地出发，相向而
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