人教版八年级数学上册复习资料.docx
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人教版八年级数学上册复习资料
初二全等三角形所有知识点总结和常考题
知识点：
1.基本定义：
⑴全等形：
能够完全重合的两个图形叫做全等形.
⑵全等三角形：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
⑶对应顶点：
全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.
⑷对应边：
全等三角形中互相重合的边叫做对应边.
⑸对应角：
全等三角形中互相重合的角叫做对应角.
2.基本性质：
⑴三角形的稳定性：
三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，
这个性质叫做三角形的稳定性.
⑵全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
3.全等三角形的判定定理：
⑴边边边（SSS）：
三边对应相等的两个三角形全等.
⑵边角边（SAS）：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
⑶角边角（ASA）：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
⑷角角边（AAS）：
两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
⑸斜边、直角边（HL）：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
全等.
4.角平分线：
⑴画法：
⑵性质定理：
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
⑶性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
第1页（共40页）
5.证明的基本方法：
⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶
角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）
⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.
⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习（含
答案解析）
一．选择题（共14小题）
1．（2013?
西宁）使两个直角三角形全等的条件是（）
A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等D．两条边对应相等
【解答】
D、若一直角边对应相等，一斜边对应相等，可证全等，故D选项正确．
故选：
D．
【点评】HL可全等．
2．（2013?
安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无
法判定△ADF≌△CBE的是（）
A．∠A=∠CB．AD=CB
第2页（共40页）
C．BE=DFD．AD∥BC
【分析】求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+E，F
∴AF=CE，
A、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；
C、∵在△ADF和△CBE中
初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题
知识点：
6.基本运算：
⑴同底数幂的乘法：
mnmn
aaa
⑵幂的乘方：
n
mmn
aa
⑶积的乘方：
nnn
abab
7.整式的乘法：
⑴单项式单项式：
系数系数，同字母同字母，不同字母为积的因式.
⑵单项式多项式：
用单项式乘以多项式的每个项后相加.
⑶多项式多项式：
用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.
8.计算公式：
⑴平方差公式：
22
ababab
第3页（共40页）
⑵完全平方公式：
2222
abaabb；
2222
abaabb
9.整式的除法：
⑴同底数幂的除法：
mnmn
aaa
⑵单项式单项式：
系数系数，同字母同字母，不同字母作为商的因式.
⑶多项式单项式：
用多项式每个项除以单项式后相加.
⑷多项式多项式：
用竖式.
10.因式分解：
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式
子因式分解.
11.因式分解方法：
⑴提公因式法：
找出最大公因式.
⑵公式法：
①平方差公式：
22
ababab
②完全平方公式：
222
aabbab
2
③立方和：
33（）（22）
ababaabb
④立方差：
33（）（22）
ababaabb
⑶十字相乘法：
2
xpqxpqxpxq
⑷拆项法⑸添项法
初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题
一．选择题
1．（2015?
甘南州）下列运算中，结果正确的是（）
A．x3?
x3=x6B．3x2+2x2=5x4C．（x2）3=x5D．（x+y）
3?
x3=x6B．3x2+2x2=5x4C．（x2）3=x5D．（x+y）
2=x2+y2
【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、合并同类项得到结果，即可做出判断；
C、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．【解答】解：
A、x
3?
x3=x6，本选项正确；
2+2x2=5x
2
，本选项错误；B、3x
C、（x
2）3=x6，本选项错误；
D、（x+y）
2=x2+2xy+y2
，本选项错误，
故选A
【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟练掌握公式及
法则是解本题的关键．
第4页（共40页）
2．（2008?
南京）计算（ab
2）3的结果是（）
5B．ab6C．a3b5D．a3b
A．ab
6
【分析】根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．
23=a3?
（b2
3=a3b6【解答】解：
（ab
））．
故选D．
【点评】本题考查积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
3．（2011?
呼和浩特）计算2x
2?
（﹣3x3）的结果是（）
5B．6x5C．﹣2x6D．2x
A．﹣6x
6
【分析】根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．【解答】解：
2x
2?
（﹣3x3），
=2×（﹣3）?
（x
2?
x3），
=﹣6x
5．
故选：
A．
【点评】本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性质．
4．（2005?
茂名）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）A．a（x+y）=ax+ayB．x
2﹣4x+4=x（x﹣4）+422
C．10x﹣5x=5x（2x﹣1）D．x﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．【解答】解：
A、是多项式乘法，故A选项错误；
B、右边不是积的形式，x
2﹣4x+4=（x﹣2）2，故B选项错误；
C、提公因式法，故C选项正确；
D、右边不是积的形式，故D选项错误；
故选：
C．
【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
5．（2017春?
薛城区期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）
A．a﹣20mnC．﹣x﹣y
2+（﹣b）2B．5m2D．﹣x2+9
22
【分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是：
两项平方项，符号相反．
【解答】解：
A、a符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；
2+（﹣b）
2
B、5m
2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；
C、﹣x
2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；
2+9=﹣x2+3
2
D、﹣x，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．
故选：
D．
【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点，两平方项的符号相反．
6．（2013?
张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）
2+x+1B．x2+2x﹣1C．x
22
A．x﹣1D．x﹣6x+9
【分析】根据完全平方公式的特点：
两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分
析判断后利用排除法求解．【解答】解：
A、x
2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；
B、x
2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；2
C、x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；
D、x
2﹣6x+9=（x﹣3）2，故D正确．
第5页（共40页）
故选：
D．
【点评】本题考查了用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记．
7．（2009?
眉山）下列因式分解错误的是（）A．x
2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2+6x+9=（x+3）2C．x2+xy=x（x+y）D．x2+y2=（x+y）2
【分析】根据公式特点判断，然后利用排除法求解．
【解答】解：
A、是平方差公式，故A选项正确；
B、是完全平方公式，故B选项正确；
C、是提公因式法，故C选项正确；
D、（x+y）
2=x2+2xy+y2，故D选项错误；故选：
D．
【点评】本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．
2
8．（2015?
菏泽）把代数式ax﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）
2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）
A．a（x﹣2）
【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：
ax
2﹣4ax+4a，=a（x
2﹣4x+4），
2
=a（x﹣2）
．
故选：
A．
【点评】本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．
9．（2016秋?
南漳县期末）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）
A．﹣3B．3C．0D．1
【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，
令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．
【解答】解：
∵（x+m）（x+3）=x
2+3x+mx+3m=2x+（3+m）x+3m，又∵乘积中不含x的一次项，
∴3+m=0，
解得m=﹣3．
故选：
A．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0
列式是解题的关键．
10．（2009?
内江）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余
下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）
2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a
22
A．（a+b）﹣2ab+b
2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b
2
C．a
第6页（共40页）
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形
的面积，等于a
2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）
（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
22
【解答】解：
∵图甲中阴影部分的面积=a﹣b，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积=a
2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
故选：
C．
【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方
差，这个公式就叫做平方差公式．
11．（2013?
枣庄）图
（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）
剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图
（2）那样拼成一个正方形，则中间空
的部分的面积是（）
A．abB．（a+b）
2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2
【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．
【解答】解：
中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b=a﹣b，
则面积是（a﹣b）
2．
故选：
C．
【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．
12．（2012?
枣庄）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形
（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）
2+5a）cm2B．（6a+15）cm2C．（6a+9）cm2D．（3a+15）cm
2
A．（2a
【分析】大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积，据此即可求解．
22
【解答】解：
矩形的面积是：
（a+4）﹣（a+1）
=（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）=3（2a+5）
2
=6a+15（cm
）．
故选B．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，理解大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积是
关键．
二．填空题（共13小题）
13．（2015?
黄石）分解因式：
3x
2﹣27=3（x+3）（x﹣3）．
第7页（共40页）
【分析】观察原式3x
2﹣27，找到公因式3，提出公因式后发现x2﹣9符合平方差公式，利用平方差公
式继续分解．
【解答】解：
3x
2﹣27，2
=3（x﹣9），
=3（x+3）（x﹣3）．
故答案为：
3（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难
点在于要进行二次分解因式．
14．（2013?
上海）分解因式：
a
2﹣1=（a+1）（a﹣1）．
【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：
a
2﹣b2=（a+b）（a
﹣b）．
【解答】解：
a
2﹣1=（a+1）（a﹣1）．
故答案为：
（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．
15．（2013?
邵阳）因式分解：
x
2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）．
【分析】直接利用平方差公式分解即可．
2
2=（x+3y）（x﹣3y）．【解答】解：
x﹣9y
【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
16．（2017?
大庆）分解因式：
x
3﹣4x=x（x+2）（x﹣2）．
【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
3
【解答】解：
x﹣4x，
=x（x
2﹣4），
=x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：
x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，
分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．
3
2=a（a+b）（a﹣b）．17．（2016?
乐山）因式分解：
a﹣ab
【分析】观察原式a
3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式
继续分解可得．
322
2=a（a
【解答】解：
a﹣ab﹣b）=a（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：
先提取公因式，然后再应用一次公式．
本题考点：
因式分解（提取公因式法、应用公式法）．
18．（2013?
三明）分解因式：
x
2+6x+9=（x+3）2．
【分析】直接用完全平方公式分解即可．
【解答】解：
x
2+6x+9=（x+3）2．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式法的结构特点是解题的关键．
19．（2017?
咸宁）分解因式：
2a
2﹣4a+2=2（a﹣1）2．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：
原式=2（a
2﹣2a+1）
第8页（共40页）
=2（a﹣1）
2．
故答案为：
2（a﹣1）
2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．（2015?
西藏）分解因式：
x3﹣6x2+9x=x（x﹣3）
3﹣6x2+9x=x（x﹣3）
2．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：
x
3﹣6x2+9x，=x（x
2﹣6x+9），
2
=x（x﹣3）
．
故答案为：
x（x﹣3）
2．
【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因
式．
22
21．（2008?
大庆）分解因式：
ab﹣2ab+a=a（b﹣1）
．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：
ab
2﹣2ab+a，
=a（b
2﹣2b+1），=a（b﹣1）
2．
【点评】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于提取公因式后利用完全平
方公式进行二次因式分解．
22．（2013?
安顺）分解因式：
2a
3﹣8a2+8a=2a（a﹣2）2．
【分析】先提取公因式2a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
32+8a，【解答】解：
2a﹣8a
=2a（a
2﹣4a+4），
=2a（a﹣2）
2
．
故答案为：
2a（a﹣2）
2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然
后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
2
2=3（a﹣2b）2
23．（2013?
菏泽）分解因式：
3a﹣12ab+12b
．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案．
【解答】解：
3a
2﹣12ab+12b2=3（a2﹣4ab+4b2）=3（a﹣2b）2．
故答案为：
3（a﹣2b）
2
．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因
式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．
24．（2013?
内江）若m
2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n=3．22
【分析】将m﹣n按平方差公式展开，再将m﹣n的值整体代入，即可求出m+n的值．
【解答】解：
m
2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=（m+n）×2=6，
故m+n=3．故答案为：
3．
【点评】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟悉平方差公式（a+b）（a﹣b）=a
2﹣b2．
25．（2014?
西宁）如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a
2b+ab2的值为70．
第9页（共40页）
【分析】应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．
【解答】解：
∵a+b=7，ab=10，∴a
2b+ab2=ab（a+b）=70．
故答案为：
70．
【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数
学思想和正确运算的能力．
三．解答题（共15小题）
2
26．（2006?
江西）计算：
（x﹣y）﹣（y+2x）（y﹣2x）
【分析】利用完全平方公式，平方差公式展开，再合并同类项．
【解答】解：
（x﹣y）
2﹣（y+2x）（y﹣2x），
=x
2﹣2xy+y2﹣（y2﹣4x2），=x
2﹣2xy+y2﹣y2+4x2，
2
=5x﹣2xy．
【点评】本题考查完全平方公式，平方差公式，属于基础题，熟记公式是解题的关键，去括号时要注
意符号的变化．
27．（2013春?
苏州期末）若2x+5y﹣3=0，求4
x?
32y的值．
【分析】由方程可得2x+5y=3，再把所求的代数式化为同为2的底数的代数式，运用同底数幂的乘法
的性质计算，最后运用整体代入法求解即可．
【解答】解：
4
x?
32y=22x?
25y=22x+5y
∵2x+5y﹣3=0，即2x+5y=3，∴原式=2
3=8．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
28．（2009?
十堰）已知：
a+b=3，ab=2，求下列各式的值：
2b+ab
2
（1）a
（2）a
2+b2．
【分析】
（1）把代数式提取公因式ab后把a+b=3，ab=2整体代入求解；
（2）利用完全平方公式把代数式化为已知的形式求解．
【解答】解：
（1）a
2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6；
2=a2+2ab+b
2
（2）∵（a+b）
2+b2=（a+b）
2
∴a﹣2ab，
=3
2﹣2×2，
=5．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，完全平方公式，关键是将原式整理成已知条件的形式，即
转化为两数和与两数积的形式，将a+b=3，ab=2整体代入解答．
29．（2015?
张家港市模拟）若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．
第10页（共40页）
（1）求xy的值；
（2）求x
2+3xy+y2的值．
【分析】
（1）先去括号，再整体代入即可求出答案；
（2）先变形，再整体代入，即可求出答案．
【解答】解：
（1）∵x+y=3，（x+2）（y+2）=12，
∴xy+2x+2y+4=12，
∴xy+2（x+y）=8，
∴xy+2×3=8，
∴xy=2；
（2）∵x+y=3，xy=2，
∴x
2+3xy+y2
=（x+y）
=32+2
2+2
=11．
2+xy
【点评】本题考查了整式的混合运算和完全平方公式的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
30．（2014秋?
德惠市期末）先化简，再求值3a（2a
2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．
【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算
即可．
【解答】解：
3a（2a
2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）
3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a
2
=6a
=﹣20a
2+9a，
当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98．
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