人教版八年级数学上册复习资料.docx
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人教版八年级数学上册复习资料
初二全等三角形所有知识点总结和常考题
知识点:
1.基本定义:
⑴全等形:
能够完全重合的两个图形叫做全等形.
⑵全等三角形:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
⑶对应顶点:
全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.
⑷对应边:
全等三角形中互相重合的边叫做对应边.
⑸对应角:
全等三角形中互相重合的角叫做对应角.
2.基本性质:
⑴三角形的稳定性:
三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状、大小就全确定,
这个性质叫做三角形的稳定性.
⑵全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等,对应角相等.
3.全等三角形的判定定理:
⑴边边边(SSS):
三边对应相等的两个三角形全等.
⑵边角边(SAS):
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
⑶角边角(ASA):
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
⑷角角边(AAS):
两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
⑸斜边、直角边(HL):
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
全等.
4.角平分线:
⑴画法:
⑵性质定理:
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
⑶性质定理的逆定理:
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
第1页(共40页)
5.证明的基本方法:
⑴明确命题中的已知和求证.(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶
角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系)
⑵根据题意,画出图形,并用数字符号表示已知和求证.
⑶经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.
初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含
答案解析)
一.选择题(共14小题)
1.(2013?
西宁)使两个直角三角形全等的条件是()
A.一个锐角对应相等B.两个锐角对应相等
C.一条边对应相等D.两条边对应相等
【解答】
D、若一直角边对应相等,一斜边对应相等,可证全等,故D选项正确.
故选:
D.
【点评】HL可全等.
2.(2013?
安顺)如图,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一个条件后,仍无
法判定△ADF≌△CBE的是()
A.∠A=∠CB.AD=CB
第2页(共40页)
C.BE=DFD.AD∥BC
【分析】求出AF=CE,再根据全等三角形的判定定理判断即可.
【解答】解:
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+E,F
∴AF=CE,
A、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(ASA),正确,故本选项错误;
B、根据AD=CB,AF=CE,∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE,错误,故本选项正确;
C、∵在△ADF和△CBE中
初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题
知识点:
6.基本运算:
⑴同底数幂的乘法:
mnmn
aaa
⑵幂的乘方:
n
mmn
aa
⑶积的乘方:
nnn
abab
7.整式的乘法:
⑴单项式单项式:
系数系数,同字母同字母,不同字母为积的因式.
⑵单项式多项式:
用单项式乘以多项式的每个项后相加.
⑶多项式多项式:
用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.
8.计算公式:
⑴平方差公式:
22
ababab
第3页(共40页)
⑵完全平方公式:
2222
abaabb;
2222
abaabb
9.整式的除法:
⑴同底数幂的除法:
mnmn
aaa
⑵单项式单项式:
系数系数,同字母同字母,不同字母作为商的因式.
⑶多项式单项式:
用多项式每个项除以单项式后相加.
⑷多项式多项式:
用竖式.
10.因式分解:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式
子因式分解.
11.因式分解方法:
⑴提公因式法:
找出最大公因式.
⑵公式法:
①平方差公式:
22
ababab
②完全平方公式:
222
aabbab
2
③立方和:
33()(22)
ababaabb
④立方差:
33()(22)
ababaabb
⑶十字相乘法:
2
xpqxpqxpxq
⑷拆项法⑸添项法
初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题
一.选择题
1.(2015?
甘南州)下列运算中,结果正确的是()
A.x3?
x3=x6B.3x2+2x2=5x4C.(x2)3=x5D.(x+y)
3?
x3=x6B.3x2+2x2=5x4C.(x2)3=x5D.(x+y)
2=x2+y2
【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果,即可做出判断;
B、合并同类项得到结果,即可做出判断;
C、利用幂的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断;
D、利用完全平方公式展开得到结果,即可做出判断.【解答】解:
A、x
3?
x3=x6,本选项正确;
2+2x2=5x
2
,本选项错误;B、3x
C、(x
2)3=x6,本选项错误;
D、(x+y)
2=x2+2xy+y2
,本选项错误,
故选A
【点评】此题考查了完全平方公式,合并同类项,同底数幂的乘法,以及幂的乘方,熟练掌握公式及
法则是解本题的关键.
第4页(共40页)
2.(2008?
南京)计算(ab
2)3的结果是()
5B.ab6C.a3b5D.a3b
A.ab
6
【分析】根据积的乘方的性质进行计算,然后直接选取答案即可.
23=a3?
(b2
3=a3b6【解答】解:
(ab
)).
故选D.
【点评】本题考查积的乘方,把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
3.(2011?
呼和浩特)计算2x
2?
(﹣3x3)的结果是()
5B.6x5C.﹣2x6D.2x
A.﹣6x
6
【分析】根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘,底数不变,指数相加计算后选取答案.【解答】解:
2x
2?
(﹣3x3),
=2×(﹣3)?
(x
2?
x3),
=﹣6x
5.
故选:
A.
【点评】本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性质.
4.(2005?
茂名)下列各式由左边到右边的变形中,是分解因式的为()A.a(x+y)=ax+ayB.x
2﹣4x+4=x(x﹣4)+422
C.10x﹣5x=5x(2x﹣1)D.x﹣16+3x=(x﹣4)(x+4)+3x
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式,利用排除法求解.【解答】解:
A、是多项式乘法,故A选项错误;
B、右边不是积的形式,x
2﹣4x+4=(x﹣2)2,故B选项错误;
C、提公因式法,故C选项正确;
D、右边不是积的形式,故D选项错误;
故选:
C.
【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断.
5.(2017春?
薛城区期末)下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()
A.a﹣20mnC.﹣x﹣y
2+(﹣b)2B.5m2D.﹣x2+9
22
【分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是:
两项平方项,符号相反.
【解答】解:
A、a符号相同,不能用平方差公式分解因式,故A选项错误;
2+(﹣b)
2
B、5m
2﹣20mn两项不都是平方项,不能用平方差公式分解因式,故B选项错误;
C、﹣x
2﹣y2符号相同,不能用平方差公式分解因式,故C选项错误;
2+9=﹣x2+3
2
D、﹣x,两项符号相反,能用平方差公式分解因式,故D选项正确.
故选:
D.
【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点,两平方项的符号相反.
6.(2013?
张家界)下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是()
2+x+1B.x2+2x﹣1C.x
22
A.x﹣1D.x﹣6x+9
【分析】根据完全平方公式的特点:
两项平方项的符号相同,另一项是两底数积的2倍,对各选项分
析判断后利用排除法求解.【解答】解:
A、x
2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点,故A错误;
B、x
2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点,故B错误;2
C、x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点,故C错误;
D、x
2﹣6x+9=(x﹣3)2,故D正确.
第5页(共40页)
故选:
D.
【点评】本题考查了用公式法进行因式分解,能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记.
7.(2009?
眉山)下列因式分解错误的是()A.x
2﹣y2=(x+y)(x﹣y)B.x2+6x+9=(x+3)2C.x2+xy=x(x+y)D.x2+y2=(x+y)2
【分析】根据公式特点判断,然后利用排除法求解.
【解答】解:
A、是平方差公式,故A选项正确;
B、是完全平方公式,故B选项正确;
C、是提公因式法,故C选项正确;
D、(x+y)
2=x2+2xy+y2,故D选项错误;故选:
D.
【点评】本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解,需熟练掌握.
2
8.(2015?
菏泽)把代数式ax﹣4ax+4a分解因式,下列结果中正确的是()
2B.a(x+2)2C.a(x﹣4)2D.a(x+2)(x﹣2)
A.a(x﹣2)
【分析】先提取公因式a,再利用完全平方公式分解即可.
【解答】解:
ax
2﹣4ax+4a,=a(x
2﹣4x+4),
2
=a(x﹣2)
.
故选:
A.
【点评】本题先提取公因式,再利用完全平方公式分解,分解因式时一定要分解彻底.
9.(2016秋?
南漳县期末)如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项,则m的值为()
A.﹣3B.3C.0D.1
【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积,并且把m看作常数合并关于x的同类项,
令x的系数为0,得出关于m的方程,求出m的值.
【解答】解:
∵(x+m)(x+3)=x
2+3x+mx+3m=2x+(3+m)x+3m,又∵乘积中不含x的一次项,
∴3+m=0,
解得m=﹣3.
故选:
A.
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算,根据乘积中不含哪一项,则哪一项的系数等于0
列式是解题的关键.
10.(2009?
内江)在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲),把余
下的部分拼成一个矩形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证()
2=a2+2ab+b2B.(a﹣b)2=a
22
A.(a+b)﹣2ab+b
2﹣b2=(a+b)(a﹣b)D.(a+2b)(a﹣b)=a2+ab﹣2b
2
C.a
第6页(共40页)
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形
的面积,等于a
2﹣b2;第二个图形阴影部分是一个长是(a+b),宽是(a﹣b)的长方形,面积是(a+b)
(a﹣b);这两个图形的阴影部分的面积相等.
22
【解答】解:
∵图甲中阴影部分的面积=a﹣b,图乙中阴影部分的面积=(a+b)(a﹣b),
而两个图形中阴影部分的面积相等,
∴阴影部分的面积=a
2﹣b2=(a+b)(a﹣b).
故选:
C.
【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式.即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方
差,这个公式就叫做平方差公式.
11.(2013?
枣庄)图
(1)是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)
剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图
(2)那样拼成一个正方形,则中间空
的部分的面积是()
A.abB.(a+b)
2C.(a﹣b)2D.a2﹣b2
【分析】中间部分的四边形是正方形,表示出边长,则面积可以求得.
【解答】解:
中间部分的四边形是正方形,边长是a+b﹣2b=a﹣b,
则面积是(a﹣b)
2.
故选:
C.
【点评】本题考查了列代数式,正确表示出小正方形的边长是关键.
12.(2012?
枣庄)如图,从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形
(a>0),剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),则矩形的面积为()
2+5a)cm2B.(6a+15)cm2C.(6a+9)cm2D.(3a+15)cm
2
A.(2a
【分析】大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积,据此即可求解.
22
【解答】解:
矩形的面积是:
(a+4)﹣(a+1)
=(a+4+a+1)(a+4﹣a﹣1)=3(2a+5)
2
=6a+15(cm
).
故选B.
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景,理解大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积是
关键.
二.填空题(共13小题)
13.(2015?
黄石)分解因式:
3x
2﹣27=3(x+3)(x﹣3).
第7页(共40页)
【分析】观察原式3x
2﹣27,找到公因式3,提出公因式后发现x2﹣9符合平方差公式,利用平方差公
式继续分解.
【解答】解:
3x
2﹣27,2
=3(x﹣9),
=3(x+3)(x﹣3).
故答案为:
3(x+3)(x﹣3).
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式,熟记公式是解题的关键,难
点在于要进行二次分解因式.
14.(2013?
上海)分解因式:
a
2﹣1=(a+1)(a﹣1).
【分析】符合平方差公式的特征,直接运用平方差公式分解因式.平方差公式:
a
2﹣b2=(a+b)(a
﹣b).
【解答】解:
a
2﹣1=(a+1)(a﹣1).
故答案为:
(a+1)(a﹣1).
【点评】本题主要考查平方差公式分解因式,熟记公式是解题的关键.
15.(2013?
邵阳)因式分解:
x
2﹣9y2=(x+3y)(x﹣3y).
【分析】直接利用平方差公式分解即可.
2
2=(x+3y)(x﹣3y).【解答】解:
x﹣9y
【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式,熟记公式结构是解题的关键.
16.(2017?
大庆)分解因式:
x
3﹣4x=x(x+2)(x﹣2).
【分析】应先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
3
【解答】解:
x﹣4x,
=x(x
2﹣4),
=x(x+2)(x﹣2).
故答案为:
x(x+2)(x﹣2).
【点评】本题考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解,
分解因式一定要彻底,直到不能再分解为止.
3
2=a(a+b)(a﹣b).17.(2016?
乐山)因式分解:
a﹣ab
【分析】观察原式a
3﹣ab2,找到公因式a,提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式,利用平方差公式
继续分解可得.
322
2=a(a
【解答】解:
a﹣ab﹣b)=a(a+b)(a﹣b).
【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解:
先提取公因式,然后再应用一次公式.
本题考点:
因式分解(提取公因式法、应用公式法).
18.(2013?
三明)分解因式:
x
2+6x+9=(x+3)2.
【分析】直接用完全平方公式分解即可.
【解答】解:
x
2+6x+9=(x+3)2.
【点评】本题考查了公式法分解因式,熟记完全平方公式法的结构特点是解题的关键.
19.(2017?
咸宁)分解因式:
2a
2﹣4a+2=2(a﹣1)2.
【分析】原式提取2,再利用完全平方公式分解即可.【解答】解:
原式=2(a
2﹣2a+1)
第8页(共40页)
=2(a﹣1)
2.
故答案为:
2(a﹣1)
2.
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
20.(2015?
西藏)分解因式:
x3﹣6x2+9x=x(x﹣3)
3﹣6x2+9x=x(x﹣3)
2.
【分析】先提取公因式x,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.
【解答】解:
x
3﹣6x2+9x,=x(x
2﹣6x+9),
2
=x(x﹣3)
.
故答案为:
x(x﹣3)
2.
【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式,关键在于需要进行二次分解因
式.
22
21.(2008?
大庆)分解因式:
ab﹣2ab+a=a(b﹣1)
.
【分析】先提取公因式a,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.
【解答】解:
ab
2﹣2ab+a,
=a(b
2﹣2b+1),=a(b﹣1)
2.
【点评】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式,难点在于提取公因式后利用完全平
方公式进行二次因式分解.
22.(2013?
安顺)分解因式:
2a
3﹣8a2+8a=2a(a﹣2)2.
【分析】先提取公因式2a,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.
32+8a,【解答】解:
2a﹣8a
=2a(a
2﹣4a+4),
=2a(a﹣2)
2
.
故答案为:
2a(a﹣2)
2.
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然
后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
2
2=3(a﹣2b)2
23.(2013?
菏泽)分解因式:
3a﹣12ab+12b
.
【分析】先提取公因式3,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案.
【解答】解:
3a
2﹣12ab+12b2=3(a2﹣4ab+4b2)=3(a﹣2b)2.
故答案为:
3(a﹣2b)
2
.
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识.一个多项式有公因式首先提取公因
式,然后再用其他方法进行因式分解,注意因式分解要彻底.
24.(2013?
内江)若m
2﹣n2=6,且m﹣n=2,则m+n=3.22
【分析】将m﹣n按平方差公式展开,再将m﹣n的值整体代入,即可求出m+n的值.
【解答】解:
m
2﹣n2=(m+n)(m﹣n)=(m+n)×2=6,
故m+n=3.故答案为:
3.
【点评】本题考查了平方差公式,比较简单,关键是要熟悉平方差公式(a+b)(a﹣b)=a
2﹣b2.
25.(2014?
西宁)如图,边长为a、b的矩形,它的周长为14,面积为10,则a
2b+ab2的值为70.
第9页(共40页)
【分析】应把所给式子进行因式分解,整理为与所给周长和面积相关的式子,代入求值即可.
【解答】解:
∵a+b=7,ab=10,∴a
2b+ab2=ab(a+b)=70.
故答案为:
70.
【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握,又考查了代数式求值的方法,同时还隐含了整体的数
学思想和正确运算的能力.
三.解答题(共15小题)
2
26.(2006?
江西)计算:
(x﹣y)﹣(y+2x)(y﹣2x)
【分析】利用完全平方公式,平方差公式展开,再合并同类项.
【解答】解:
(x﹣y)
2﹣(y+2x)(y﹣2x),
=x
2﹣2xy+y2﹣(y2﹣4x2),=x
2﹣2xy+y2﹣y2+4x2,
2
=5x﹣2xy.
【点评】本题考查完全平方公式,平方差公式,属于基础题,熟记公式是解题的关键,去括号时要注
意符号的变化.
27.(2013春?
苏州期末)若2x+5y﹣3=0,求4
x?
32y的值.
【分析】由方程可得2x+5y=3,再把所求的代数式化为同为2的底数的代数式,运用同底数幂的乘法
的性质计算,最后运用整体代入法求解即可.
【解答】解:
4
x?
32y=22x?
25y=22x+5y
∵2x+5y﹣3=0,即2x+5y=3,∴原式=2
3=8.
【点评】本题考查了同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方,理清指数的变化是解题的关键.
28.(2009?
十堰)已知:
a+b=3,ab=2,求下列各式的值:
2b+ab
2
(1)a
(2)a
2+b2.
【分析】
(1)把代数式提取公因式ab后把a+b=3,ab=2整体代入求解;
(2)利用完全平方公式把代数式化为已知的形式求解.
【解答】解:
(1)a
2b+ab2=ab(a+b)=2×3=6;
2=a2+2ab+b
2
(2)∵(a+b)
2+b2=(a+b)
2
∴a﹣2ab,
=3
2﹣2×2,
=5.
【点评】本题考查了提公因式法分解因式,完全平方公式,关键是将原式整理成已知条件的形式,即
转化为两数和与两数积的形式,将a+b=3,ab=2整体代入解答.
29.(2015?
张家港市模拟)若x+y=3,且(x+2)(y+2)=12.
第10页(共40页)
(1)求xy的值;
(2)求x
2+3xy+y2的值.
【分析】
(1)先去括号,再整体代入即可求出答案;
(2)先变形,再整体代入,即可求出答案.
【解答】解:
(1)∵x+y=3,(x+2)(y+2)=12,
∴xy+2x+2y+4=12,
∴xy+2(x+y)=8,
∴xy+2×3=8,
∴xy=2;
(2)∵x+y=3,xy=2,
∴x
2+3xy+y2
=(x+y)
=32+2
2+2
=11.
2+xy
【点评】本题考查了整式的混合运算和完全平方公式的应用,题目是一道比较典型的题目,难度适中.
30.(2014秋?
德惠市期末)先化简,再求值3a(2a
2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4),其中a=﹣2.
【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号,然后合并同类项,最后代入已知的数值计算
即可.
【解答】解:
3a(2a
2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4)
3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a
2
=6a
=﹣20a
2+9a,
当a=﹣2时,原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98.