高中导数经典知识点及例题讲解.docx
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高中导数经典知识点及例题讲解
高中导数经典知识点及例题讲解
§变化率与导数变化率问题
自学引导
1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．
2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率.课前热身
Δy1.函数f（x）在区间[x1，x2]上的平均变化率为＝________.
ΔxΔy 2．平均变化率另一种表示形式：
设Δx＝x－x0，则＝________，表示函
Δx数y＝f（x）从x0到x的平均变化率.
答案fx2－fx11.x2－x0＋Δx－fx0Δx
名师讲解
1.如何理解Δx，Δy的含义
Δx表示自变量x的改变量，即Δx＝x2－x1；Δy表示函数值的改变量，即Δy＝f（x2）－f（x1）．
2．求平均变化率的步骤
求函数y＝f（x）在[x1，x2]内的平均变化率．
（1）先计算函数的增量Δy＝f（x2）－f（x1）．
（2）计算自变量的增量Δx＝x2－x1.
Δyfx2－fx1
（3）得平均变化率＝.
Δxx2－x1
对平均变化率的认识
函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y＝sinx在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在
π
sin－sin0
2π2
[0，]上的平均变化率为＝.
2ππ
－02
在平均变化率的意义中，f（x2）－f（x1）的值可正、可负，也可以为零．但Δx＝x2－x1≠0.
1
典例剖析
题型一求函数的平均变化率
例1一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.
（1）求此物体的初速度；
（2）求t＝0到t＝1的平均速度．
分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S
（1）
ΔS－S（0），再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商就可以得到平均速度．
ΔtS3t－t2
解
（1）于v＝＝＝3－t.
tt∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．
（2）ΔS＝S
（1）－S（0）＝3×1－12－0＝2Δt＝1－0＝1
ΔS2
∴v＝＝＝2.
Δt1
∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.
误区警示本题1不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零.
变式训练1已知函数f（x）＝－x2＋x的图像上一点（－1，－2）及邻近一点
Δy（－1＋Δx，－2＋Δy），则＝（）
ΔxA．3 B．3Δx－（Δx）2C．3－（Δx）2 D．3－Δx
解析Δy＝f（－1＋Δx）－f（－1）＝－（－1＋Δx）2＋（－1＋Δx）－（－2）＝－（Δx）2＋3Δx.
Δy－Δx2＋3Δx∴＝＝－Δx＋3ΔxΔx答案D
题型二平均变化率的快慢比较
πππ
例2求正弦函数y＝sinx在0到之间及到之间的平均变化率．并比
632
较大小．
分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．
π
解设y＝sinx在0到之间的变化率为k1，则
6
2
π
－sin063
k1＝＝.ππ－06
ππ
y＝sinx在到之间的平均变化率为k2。
32
sinsin
则k2＝
ππ3－sin1－23232－3
＝＝.ππππ－236
332－333－1
∵k1－k2＝－＝>0。
πππ
∴k1>k2.
π3ππ
答：
函数y＝sinx在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变6π3232－3332－3
化率为，且>.πππ
变式训练2试比较余弦函数y＝cosx在0到化率的大小．
π
cos3－cos0
π
解设函数y＝cosx在0到3之间的平均变化率是k1，则k1＝π＝－3－032π.
ππ
函数y＝cosx在3到2之间的平均变化率是k2，
ππ－cos233
则k2＝＝－.
πππ－23333
∵k1－k2＝－－（－）＝>0。
2ππ2π
∴k1>k2.
πππ
∴函数y＝cosx在0到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化
332
率．
题型三平均变化率的应用
例3已知一物体的运动方程为s（t）＝t2＋2t＋3，求物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度．
cos
πππ
之间和到之间的平均变332
3
Δs分析物体运动方程―→写出位移变化量Δs―→Δt解物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的位移增量Δs＝s（1＋Δt）－s
（1）
＝[（1＋Δt）2＋2（1＋Δt）＋3]－（12＋2×1＋3）＝（Δt）2＋4Δt.
物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为
2
ΔsΔt＋4Δt
＝4＋Δt.
Δt＝Δt
变式训练3一质点作匀速直线运动，其位移s与时间t的关系为s（t）＝t2＋1，该质点在[2,2＋Δt]（Δt>0）上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围．
解质点在[2,2＋Δt]上的平均速度为
s2＋Δt－s2－v＝
Δt[2＋Δt2＋1]－22＋1＝
Δt4Δt＋Δt2＝＝4＋Δt.
Δt又－v≤5，∴4＋Δt≤5.
∴Δt≤1，又Δt>0。
∴Δt的取值范围为（0,1]. §函数的单调性与极值导数的概念
自学引导
1.经历平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景．
2．了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数．
3．掌握函数f（x）在某一点x0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x0处的导数.
4
课前热身
1.瞬时速度．
设物体的运动方程为S＝S（t），如果一个物体在时刻t0时位于S（t0），在时刻t0＋Δt这段时间内，物体的位置增量是ΔS＝S（t0＋Δt）－S（t0）．那么位置增量ΔS与时间增量Δt的比，就是这段时间内物体的________，即v＝
St0＋Δt－St0
.
Δt 当这段时间很短，即Δt很小时，这个平均速度就接近时刻t0的速度．Δ
t越小，v就越接近于时刻t0的速度，当Δt→0时，这个平均速度的极限v＝lim
Δt→0
ΔSSt0＋Δt－St0＝lim就是物体在时刻t0的速度即为________．ΔtΔtΔt→0
2．导数的概念．
设函数y＝f（x）在区间（a，b）上有定义，x0∈（a，b），当Δx无限趋近0时，Δyfx0＋Δx－fx0比值＝无限趋近于一个常数A，这个常数A就是函数
ΔxΔxf（x）在点x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0.用符号语言表达为f′（x0）
Δy＝lim＝________
ΔxΔx→0
答案1.平均速度瞬时速度fx0＋Δx－fx0ΔxΔx→0
名师讲解
1.求瞬时速度的步骤
（1）求位移增量ΔS＝S（t＋Δt）－S（t）；
ΔS
（2）求平均速度v＝；
ΔtΔSSt＋Δt－St
（3）求极限lim＝lim；
ΔtΔtΔt→0
Δt→0
5
§变化率与导数变化率问题
自学引导
1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．
2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率.课前热身
Δy1.函数f（x）在区间[x1，x2]上的平均变化率为＝________.
ΔxΔy 2．平均变化率另一种表示形式：
设Δx＝x－x0，则＝________，表示函
Δx数y＝f（x）从x0到x的平均变化率.
答案fx2－fx11.x2－x0＋Δx－fx0Δx
名师讲解
1.如何理解Δx，Δy的含义
Δx表示自变量x的改变量，即Δx＝x2－x1；Δy表示函数值的改变量，即Δy＝f（x2）－f（x1）．
2．求平均变化率的步骤
求函数y＝f（x）在[x1，x2]内的平均变化率．
（1）先计算函数的增量Δy＝f（x2）－f（x1）．
（2）计算自变量的增量Δx＝x2－x1.
Δyfx2－fx1
（3）得平均变化率＝.
Δxx2－x1
对平均变化率的认识
函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y＝sinx在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在
π
sin－sin0
2π2
[0，]上的平均变化率为＝.
2ππ
－02
在平均变化率的意义中，f（x2）－f（x1）的值可正、可负，也可以为零．但Δx＝x2－x1≠0.
1
典例剖析
题型一求函数的平均变化率
例1一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.
（1）求此物体的初速度；
（2）求t＝0到t＝1的平均速度．
分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S
（1）
ΔS－S（0），再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商就可以得到平均速度．
ΔtS3t－t2
解
（1）于v＝＝＝3－t.
tt∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．
（2）ΔS＝S
（1）－S（0）＝3×1－12－0＝2Δt＝1－0＝1
ΔS2
∴v＝＝＝2.
Δt1
∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.
误区警示本题1不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零.
变式训练1已知函数f（x）＝－x2＋x的图像上一点（－1，－2）及邻近一点
Δy（－1＋Δx，－2＋Δy），则＝（）
ΔxA．3 B．3Δx－（Δx）2C．3－（Δx）2 D．3－Δx
解析Δy＝f（－1＋Δx）－f（－1）＝－（－1＋Δx）2＋（－1＋Δx）－（－2）＝－（Δx）2＋3Δx.
Δy－Δx2＋3Δx∴＝＝－Δx＋3ΔxΔx答案D
题型二平均变化率的快慢比较
πππ
例2求正弦函数y＝sinx在0到之间及到之间的平均变化率．并比
632
较大小．
分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．
π
解设y＝sinx在0到之间的变化率为k1，则
6
2
π
－sin063
k1＝＝.ππ－06
ππ
y＝sinx在到之间的平均变化率为k2。
32
sinsin
则k2＝
ππ3－sin1－23232－3
＝＝.ππππ－236
332－333－1
∵k1－k2＝－＝>0。
πππ
∴k1>k2.
π3ππ
答：
函数y＝sinx在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变6π3232－3332－3
化率为，且>.πππ
变式训练2试比较余弦函数y＝cosx在0到化率的大小．
π
cos3－cos0
π
解设函数y＝cosx在0到3之间的平均变化率是k1，则k1＝π＝－3－032π.
ππ
函数y＝cosx在3到2之间的平均变化率是k2，
ππ－cos233
则k2＝＝－.
πππ－23333
∵k1－k2＝－－（－）＝>0。
2ππ2π
∴k1>k2.
πππ
∴函数y＝cosx在0到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化
332
率．
题型三平均变化率的应用
例3已知一物体的运动方程为s（t）＝t2＋2t＋3，求物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度．
cos
πππ
之间和到之间的平均变332
3
Δs分析物体运动方程―→写出位移变化量Δs―→Δt解物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的位移增量Δs＝s（1＋Δt）－s
（1）
＝[（1＋Δt）2＋2（1＋Δt）＋3]－（12＋2×1＋3）＝（Δt）2＋4Δt.
物体在t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为
2
ΔsΔt＋4Δt
＝4＋Δt.
Δt＝Δt
变式训练3一质点作匀速直线运动，其位移s与时间t的关系为s（t）＝t2＋1，该质点在[2,2＋Δt]（Δt>0）上的平均速度不大于5，求Δt的取值范围．
解质点在[2,2＋Δt]上的平均速度为
s2＋Δt－s2－v＝
Δt[2＋Δt2＋1]－22＋1＝
Δt4Δt＋Δt2＝＝4＋Δt.
Δt又－v≤5，∴4＋Δt≤5.
∴Δt≤1，又Δt>0。
∴Δt的取值范围为（0,1]. §函数的单调性与极值导数的概念
自学引导
1.经历平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景．
2．了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数．
3．掌握函数f（x）在某一点x0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x0处的导数.
4
课前热身
1.瞬时速度．
设物体的运动方程为S＝S（t），如果一个物体在时刻t0时位于S（t0），在时刻t0＋Δt这段时间内，物体的位置增量是ΔS＝S（t0＋Δt）－S（t0）．那么位置增量ΔS与时间增量Δt的比，就是这段时间内物体的________，即v＝
St0＋Δt－St0
.
Δt 当这段时间很短，即Δt很小时，这个平均速度就接近时刻t0的速度．Δ
t越小，v就越接近于时刻t0的速度，当Δt→0时，这个平均速度的极限v＝lim
Δt→0
ΔSSt0＋Δt－St0＝lim就是物体在时刻t0的速度即为________．ΔtΔtΔt→0
2．导数的概念．
设函数y＝f（x）在区间（a，b）上有定义，x0∈（a，b），当Δx无限趋近0时，Δyfx0＋Δx－fx0比值＝无限趋近于一个常数A，这个常数A就是函数
ΔxΔxf（x）在点x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0.用符号语言表达为f′（x0）
Δy＝lim＝________
ΔxΔx→0
答案1.平均速度瞬时速度fx0＋Δx－fx0ΔxΔx→0
名师讲解
1.求瞬时速度的步骤
（1）求位移增量ΔS＝S（t＋Δt）－S（t）；
ΔS
（2）求平均速度v＝；
ΔtΔSSt＋Δt－St
（3）求极限lim＝lim；
ΔtΔtΔt→0
Δt→0
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