第四章 MATLAB的数值计算功能.docx
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第四章MATLAB的数值计算功能
第四章MATLAB的数值计算功能
Chapter4:
NumericalcomputationofMATLAB
一、多项式(Polynomial)`.
1.多项式的表达与创建(ExpressionandCreatingofpolynomial)
(1)多项式的表达(expressionofpolynomial)_
Matlab用行矢量表达多项式系数(Coefficient),各元素按变量的降幂顺序排列,如多项式为:
P(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2…an-1x+an
则其系数矢量(Vectorofcoefficient)为:
P=[a0a1…an-1an]
如将根矢量(Vectorofroot)表示为:
ar=[ar1ar2…arn]
则根矢量与系数矢量之间关系为:
(x-ar1)(x-ar2)…(x-arn)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2…an-1x+an
(2)多项式的创建(polynomialcreating)
a)系数矢量的直接输入法
利用poly2sym函数直接输入多项式的系数矢量,就可方便的建立符号形式的多项式。
例:
创建多项式x3-4x2+3x+2
poly2sym([1-432])
ans=
x^3-4*x^2+3*x+2
b)由根矢量创建多项式
通过调用函数p=poly(ar)产生多项式的系数矢量,再利用poly2sym函数就可方便的建立符号形式的多项式。
注:
(1)根矢量元素为n,则多项式系数矢量元素为n+1;
(2)函数poly2sym(pa)把多项式系数矢量表达成符号形式的多项式,缺省情况下自变量符号为x,可以指定自变量。
(3)使用简单绘图函数ezplot可以直接绘制符号形式多项式的曲线。
例1:
由根矢量创建多项式。
将多项式(x-6)(x-3)(x-8)表示为系数形式
a=[638]%根矢量
pa=poly(a)%求系数矢量
ppa=poly2sym(pa)%以符号形式表示原多项式
ezplot(ppa,[-50,50])
pa=
1-1790-144
ppa=
x^3-17*x^2+90*x-144
注:
含复数根的根矢量所创建的多项式要注意:
(1)要形成实系数多项式,根矢量中的复数根必须共轭成对;
(2)含复数根的根矢量所创建的多项式系数矢量中,可能带有很小的虚部,此时可采用取实部的命令(real)把虚部滤掉。
进行多项式的求根运算时,有两种方法,一是直接调用求根函数roots,poly和roots互为逆函数。
另一种是先把多项式转化为伴随矩阵,然后再求其特征值,该特征值即是多项式的根。
例3:
由给定复数根矢量求多项式系数矢量。
r=[-0.5-0.3+0.4i-0.3-0.4i];
p=poly(r)
pr=real(p)
ppr=poly2sym(pr)
p=
1.00001.10000.55000.1250
pr=
1.00001.10000.55000.1250
ppr=
x^3+11/10*x^2+11/20*x+1/8
c)特征多项式输入法
用poly函数可实现由矩阵的特征多项式系数创建多项式。
条件:
特征多项式系数矢量的第一个元素必须为一。
例2:
求三阶方阵A的特征多项式系数,并转换为多项式形式。
a=[638;756;135]
Pa=poly(a)%求矩阵的特征多项式系数矢量
Ppa=poly2sym(pa)
Pa=
1.0000-16.000038.0000-83.0000
Ppa=
x^3-16*x^2+38*x-83
注:
n阶方阵的特征多项式系数矢量一定是n+1阶的。
注:
(1)要形成实系数多项式,根矢量中的复数根必须共轭成对;
(2)含复数根的根矢量所创建的多项式系数矢量中,可能带有很小的虚部,此时可采用取实部的命令(real)把虚部滤掉。
进行多项式的求根运算时,有两种方法,一是直接调用求根函数roots,poly和roots互为逆函数。
另一种是先把多项式转化为伴随矩阵,然后再求其特征值,该特征值即是多项式的根。
例4:
将多项式的系数表示形式转换为根表现形式。
求x3-6x2-72x-27的根
a=[1-6-72-27]
r=roots(a)
r=
12.1229
-5.7345
-0.3884
MATLAB约定,多项式系数矢量用行矢量表示,根矢量用列矢量表示。
>>
1.多项式的乘除运算(Multiplicationanddivisionofpolynomial)
多项式乘法用函数conv(a,b)实现,除法用函数deconv(a,b)实现。
例1:
a(s)=s2+2s+3,b(s)=4s2+5s+6,计算a(s)与b(s)的乘积。
a=[123];b=[456];
c=conv(a,b)
cs=poly2sym(c,’s’)’s’——是指定变量为s
c=
413282718
cs=
4*s^4+13*s^3+28*s^2+27*s+18
例2:
展开(s2+2s+2)(s+4)(s+1)(多个多项式相乘)
c=conv([1,2,2],conv([1,4],[1,1]))
cs=poly2sym(c,’s’)%(指定变量为s)
c=
1716188
cs=
s^4+7*s^3+16*s^2+18*s+8
例2:
求多项式s^4+7*s^3+16*s^2+18*s+8分别被(s+4),(s+3)除后的结果。
c=[1716188];
[q1,r1]=deconv(c,[1,4])%q—商矢量,r—余数矢量
[q2,r2]=deconv(c,[1,3])
cc=conv(q2,[1,3])%对除(s+3)结果检验
test=((c-r2)==cc)
q1=
1342
r1=
00000
q2=
1446
r2=
0000-10
cc=
17161818
test=
11111
1.其他常用的多项式运算命令(Othercomputationcommandofpolynomial)
pa=polyval(p,s)按数组运算规则计算给定s时多项式p的值,p为多项式系数矢。
pm=polyvalm(p,s)按矩阵运算规则计算给定s时多项式p的值。
[r,p,k]=residue(b,a)部分分式展开,b,a分别是分子分母多项式系数矢量,r,p,k分别是留数、极点和直项矢量
p=polyfit(x,y,n)用n阶多项式拟合x,y矢量给定的数据。
polyder(p)多项式微分。
注:
对于多项式b(s)与不重根的n阶多项式a(s)之比,其部分分式展开为:
式中:
p1,p2,…,pn称为极点(poles),r1,r2,…,rn称为留数(residues),k(s)称为直项(directterms),假如a(s)含有m重根pj,则相应部分应写成:
例5:
对一组实验数据进行多项式最小二乘拟合(leastsquarefit)
x=[12345];%实验数据
y=[5.543.1128290.7498.4];
p=polyfit(x,y,3)%做三阶多项式拟合
x2=1:
.1:
5;
y2=polyval(p,x2);%根据给定值计算多项式结果
plot(x,y,’o’,x2,y2)
一.线性代数(LinearAlgebra)
解线性方程(Linearequation)就是找出是否存在一个唯一的矩阵x,使得a,b满足关系:
ax=b或xa=b
MALAB中x=a\b是方程ax=b的解,x=b/a是方程式xa=b的解。
通常线性方程多写成ax=b,“\”较多用,两者的关系为:
(b/a)’=(a’\b’)
系数矩阵a可能是m行n列的,有三种情况:
*方阵系统:
(Squarematrix)m=n可求出精确解(a必须是非奇异(nonsingular),即满秩(fullrank))
*超定系统:
(Overdetermindsystem)m>n可求出最小二乘解
*不定系统:
(Underdetermindsystem)m1.方阵系统:
(Squarearray)
最常见的是系数矩阵为方阵a,常数项b为列矢量,其解x可写成x=a\b,x和b大小相同。
例1:
求方阵系统的根。
a=[1167;5139;1718]
b=[16134]’
x=a\b
a=
1167
5139
1718
b=
16
13
4
x=
3.9763
5.4455
-8.6303
例2:
假如a,b为两个大小相同的矩阵,求方阵系统的根。
a=[459;18195;1413]
b=[1512;31519;7610]
x=a\b
C=a*x
a=
459
18195
1413
b=
1512
31519
7610
x=
-3.6750-0.73332.9708
3.72501.4667-2.1292
-0.32500.06671.1958
C=
1.00005.000012.0000
3.000015.000019.0000
7.00006.000010.0000
若方阵a的各个行矢量线性相关(linearcorrelation),则称方阵a为奇异矩阵。
这时线性方程将有无穷多组解。
若方阵是奇异矩阵,则反斜线运算因子将发出警告信息。
2.超定系统(Overdetermindsystem)
实验数据较多,寻求他们的曲线拟合。
如在t内测得一组数据y:
ty
0.00.82
0.30.72
0.80.63
1.10.60
1.60.55
2.20.50
这些数据显然有衰减指数趋势:
y(t)~c1+c2e-t
此方程意为y矢量可以由两个矢量逐步逼近而得,一个是单行的常数矢量,一个是由指数e-t项构成,两个参数c1和c2可用最小二乘法求得,它们表示实验数据与方程y(t)~c1+c2e-t之间距离的最小平方和。
例1:
求上述数据的最小二乘解。
将数据带入方程式y(t)~c1+c2e-t中,可得到含有两个未知数的6个等式,可写成6行2列的矩阵e.
t=[00.30.81.11.62.2]’;
y=[0.820.720.630.600.550.50]’;
e=[ones(size(t))exp(-t)]%求6个y(t)方程的系数矩阵
c=e\y%求方程的解
e=
1.00001.0000
1.00000.7408
1.00000.4493
1.00000.3329
1.00000.2019
1.00000.1108
c=
0.4744
0.3434
带入方程得:
y(t)~0.4744+0.3434e-t
用此方程可绘制曲线:
t=[00.30.81.11.62.2]’;
y=[0.820.720.630.600.550.50]’;
t1=[0:
0.1:
2.5]’;y1=[ones(size(t1)),exp(-t1)]*c
plot(t1,y1,’b’,t,y,’ro’)
如果一个矩阵的行矢量是线性相关的,则它的最小二乘解并不唯一,因此,a\b运算将给出警告,并产生含有最少元素的基解。
3.不定系统:
(Underdetermindsystem)
不定系统为线性相关系统,其解都不唯一,MATLAB会计算一组构成通解的基解,而方程的特解则用QR分解法决定。
两种解法:
最少元素解a\b,最小范数解pinv(a)*b.
例:
用两种方法求解欠定系统。
对a和矢量b分别用a\b和pinv(a)*b求解:
a=[111;11-1]
b=[106]’
p=a\b
q=pinv(a)*b
a=
111
11-1
b=
10
6
p=
8.0000
0
2.0000
q=
4.0000
4.0000
2.0000
三.逆矩阵及行列式(Reversanddeterminantofmatrix)
1.方阵的逆和行列式(Reversanddeterminantofsquarematrix)
若a是方阵,且为非奇异阵,则方程ax=I和xa=I有相同的解X。
X称为a的逆矩阵,记做a-1,在MATLAB中用inv函数来计算矩阵的逆。
计算方阵的行列式则用det函数。
DETDeterminant.
INVMatrixinverse.
例:
计算方阵的行列式和逆矩阵。
a=[3-31;-35-2;1-21];
b=[14135;5112;6145];
d1=det(a)
x1=inv(a)
d2=det(b)
x2=inv(b)
d1=
1
x1=
1.00001.00001.0000
1.00002.00003.0000
1.00003.00006.0000
d2=
-1351
x2=
0.1207-0.0037-0.1118
-0.0348-0.02960.1058
-0.04740.08730.0377
四.矩阵分解(Matrixdecomposition)
MATLAB求解线性方程的过程基于三种分解法则:
(1)Cholesky分解,针对对称正定矩阵;
(2)高斯消元法,针对一般矩阵;
(3)正交化,针对一般矩阵(行数≠列数)
这三种分解运算分别由chol,lu和qr三个函数来分解.
1.Cholesky分解(CholeskyDecomposition)
仅适用于对称和上三角矩阵
例:
cholesky分解。
a=pascal(6)
b=chol(a)
a=
111111
123456
136101521
1410203556
15153570126
162156126252
b=
111111
012345
0013610
0001410
000015
000001
2.LU分解(LUfactorization).
用lu函数完成LU分解,将矩阵分解为上、下两个三角阵,其调用格式为:
[l,u]=lu(a)l代表下三角阵,u代表上三角阵。
例:
LU分解。
a=[472422;11440;303841]
[l,u]=lu(a)
a=
472422
11440
303841
l=
1.000000
0.23401.00000
0.63830.59091.0000
u=
47.000024.000022.0000
038.3830-5.1489
0030.0000
3.QR分解(Orthogonal-triangulardecomposition).
函数调用格式:
[q,r]=qr(a),q代表正规正交矩阵,r代表三角形矩阵。
原始阵a不必一定是方阵。
如果矩阵a是m×n阶的,则矩阵q是m×m阶的,矩阵r是m×n阶的。
例:
QR分解.
A=[22462020;30364644;398452];
[q,r]=qr(A)
q=
-0.4082-0.7209-0.5601
-0.5566-0.28980.7786
-0.72360.6296-0.2829
r=
-53.8981-44.6027-66.3289-34.1014
0-38.55640.5823-25.9097
0011.880022.4896
4.特征值与特征矢量(Eigenvaluesandeigenvectors).
MATLAB中使用函数eig计算特征值和特征矢量,有两种调用方法:
*e=eig(a),其中e是包含特征值的矢量;
*[v,d]=eig(a),其中v是一个与a相同的n×n阶矩阵,它的每一列是矩阵a的一个特征值所对应的特征矢量,d为对角阵,其对角元素即为矩阵a的特征值。
例:
计算特征值和特征矢量。
a=[342515;18359;41219]
e=eig(a)
[v,d]=eig(a)
a=
342515
18359
41219
e=
68.5066
15.5122
-6.0187
v=
-0.6227-0.4409-0.3105
-0.49690.6786-0.0717
-0.6044-0.58750.9479
d=
68.506600
015.51220
00-6.0187
EIGEigenvaluesandeigenvectors.
五.数据分析(DataAnalyaia)
MATLAB对数据分析有两条约定:
(1)若输入量X是矢量,则不论是行矢量还是列矢量,运算是对整个矢量进行的;
(2)若输入量X是数组,(或称矩阵),则命令运算是按列进行的。
即默认每个列是有一个变量的不同“观察“所得的数据组成。
1.基本统计命令(表4-1)
例:
做各种基本统计运算。
A=[5-10-60;263-3;-95-1011;-22170-19;-16-44]
Amax=max(A)%找A各列的最大元素
Amin=min(A)%找A各列的最小元素
Amed=median(A)%找A各列的中位元素
Amean=mean(A)%找A各列的平均值
Astd=std(A)%求A各列的标准差
Aprod=prod(A)%求A各列元素的积
Asum=sum(A)%求A各列元素的和
S=cumsum(A)%求A各列元素的累积和
P=cumprod(A)%求A各列元素的累积积
I=sort(A)%使A的各列元素按递增排列
A=
5-10-60
263-3
-95-1011
-22170-19
-16-44
Amax=
517311
Amin=
-22-10-10-19
Amed=
-16-40
Amean=
-5.00004.8000-3.4000-1.4000
Astd=
10.83979.62815.079411.1490
Aprod=
-1980-3060000
Asum=
-2524-17-7
S=
5-10-60第一行就是原数据,
7-4-3-3第二行是前两行之和,
-21-138以此类推。
-2418-13-11
-2524-17-7
P=
5-10-60
10-60-180
-90-3001800
1980-510000
-1980-3060000
I=
-22-10-10-19
-95-6-3
-16-40
2604
517311
>>
求矩阵元素的最大值、最小值可用:
Amax=max(max(A))或Amax=max(A(:
)),
Amin=min(min(A))或Amin=min(A(:
))
六.插值:
(Interpolation)
在已知数据之间计算估计值的过程。
1.一维插值(1DInterpolation)
由interp1实现,用多项式技术计算插值点。
Yi=interp1(x,y,xi,method)y—函数值矢量,x—自变量取值范围,xi—插值点的自变量矢量,
Method—插值方法选项。
MATLAB6.1的4种方法:
*临近点插值:
method=‘nearest’
*线性插值:
method=‘linear’
*三次样条插值:
method=‘spline’
*立方插值:
method=‘pchip’or‘cubic’
选择插值方法时主要考虑因素:
运算时间、占用计算机内存和插值的光滑程度。
比较:
运算时间、占用计算机内存光滑程度。
*临近点插值:
快少差
*线性插值:
稍长较多稍好
*三次样条插值:
最长较多最好
*立方插值:
较长多较好
例1:
一维插值函数插值方法的对比。
x=0:
10;
y=sin(x);
xi=0:
0.25:
10;
strmod={'nearest','linear','spline','cubic'}%将插值方法定义为单元数组
str1b={'(a)method=nearest','(b)method=linear',...
'(c)method=spline','(d)method=cubic'}%将图标定义为单元数组
fori=1:
4
yi=interp1(x,y,xi,strmod{i});
subplot(2,2,i)
plot(x,y,'ro',xi,yi,'b'),xlabel(str1b(i))
end
strmod=
'nearest''linear''spline''cubic'
例2:
三次样条插值
x0=0:
10;
y0=sin(x0);
x=0:
.25:
10;
y=spline(x0,y0,x);
plot(x0,y0,'or',x,y,'k')
与interp1结果一样
2.二维插值(2DInterpolation)
用于图形图象处理和三维曲线拟合等领域,由interp2实现,一般格式为:
ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)X,Y—自变量组成的数组,尺寸相同。
XI,YI—插值点的自变量数组
Method—插值方法选项,4种
*临近点插值:
method=‘nearest’
*线性插值:
method=‘linear’该方法是interp2函数的缺省方法
*三次样条插值:
method=‘spline’
*立方插值:
method=‘pchip’or‘cubic’
例:
二维插值4种方法的对比。
[x,y,z]=peaks(7);figure