数值分析实验3.docx
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数值分析实验3
实验三解线性方程组的迭代法
实验目的
1.深入理解Jacobi迭代法和Gauss-Seide迭代法
2.通过对两种迭代法的程序设计，提高程序设计能力
3.应用编写的程序解决具体问题，掌握两种基本迭代法的使用，通过结果的分析了解每一种迭代法的特点
实验要求
（1）认识迭代法收敛的含义以及迭代初值和方程组系数矩阵性质对收敛速度的影响。
（2）迭代法收敛速度试验、病态的线性方程组的求解
实验题目
3.1用迭代法求解方程组Ax二b，其中AR2020，它的每条对角钱元素是常数,
-1/2-1/4
3
-1/2
-1/4
-1/2
3
-1/2
+
+
*+
-1/4
-1/4
-1/23
-1/2
-1/4-1/2
3
3
-1/2
-1/4A=
（1）选取不同的初始向量x（0）和不同的方程组右端项向量b，给定迭代误差要求，用Jacobi迭代法和Gauss-Seide迭代法计算，观测得到的迭代向量序列是否均收敛？
若收敛；记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论；
（2）取定右端向量b和初始向量x（0），将A的主对角线元素成倍增长若干次，非主对角线元素不变，每次用Jacobi迭代法计算，要求迭代误差满足||x（k1）-x（k）||L：
10°。
比较收敛速度，分析现象并得出你的结论。
（1）1.选取初始向量为x（0）=zeros（20,1），右端向量
b=ones（20,1）,eps=1.0e-5；
①实验程序（Jacobi迭代法）
function[x,n]=jacobi（A,b,xO,eps,M）
%A为方程组得系数矩阵
%b为方程组得右端项
%x0为初始向量
%eps为精度要求
%册最大迭代次数
%x为方程组的解
%n为迭代次数
eps=1.0e-5;%精度要求
M=200;%最大迭代次数
A=zeros（20,20）;
fori=1:
1:
20
A（i,i）=3;
end
fori=1:
1:
20
forj=1:
1:
20
ifabs（i-j）==1
A（i,j）=-1/2;
end
end
end
fori=1:
1:
20
forj=1:
1:
20
ifabs（i-j）==2
A（i,j）=-1/4;
end
end
end
b=ones（20,1）;
x0=zeros（20,1）;
D=diag（diag（A））;%取A的对角阵
L=-tril（A,-1）;%取A的下三角阵
U=-triu（A,1）;%取A的上三角阵
B=D\（L+U）;
f=D\b;
x=B*xO+f;
n=1;
disp（['第’,num2str（n）,'步求解结果为：
’]）;
disp（x）;
whilenorm（x-x0）>=eps
x0=x;
x=B*x0+f;
n=n+1;
disp（['第’,num2str（n）,'步求解结果为：
’]）;
disp（x）;
if（n>=M）
disp（'Warning:
迭代次数太多
return;
end
end
disp（'最终结果为：
’）；
disp（'x='）;
disp（x）;
disp（['n=',num2str（n）]）;
实验结果
最终结果为：
x=
0.4816
0.5734
0.6328
0.6521
0.6609
0.6643
0.6657
0.6663
0.6665
0.6666
0.6666
0.6665
0.6663
0.6657
0.6643
0.6609
0.6521
0.6328
0.5734
0.4816
n=18
可能不收敛r）;
②实验程序（Gauss-Seide迭代法）
function[x,n]=gauseidel（A,b,x0,eps,M）
%A为方程组得系数矩阵
%b为方程组得右端项
%x0为迭代初始向量
%eps为精度要求
%册最大迭代次数
%x为方程组的解
%n为迭代次数
eps=1.0e-5;%精度要求
M=200;%最大迭代次数
A=zeros（20,20）;
fori=1:
1:
20
A（i,i）=3;
end
fori=1:
1:
20
forj=1:
1:
20
ifabs（i-j）==1
A（i,j）=-1/2;
end
end
end
fori=1:
1:
20
forj=1:
1:
20
ifabs（i-j）==2
A（i,j）=-1/4;
end
end
end
b=ones（20,1）;
x0=zeros（20,1）;
D=diag（diag（A））;%取A的对角阵
L=-tril（A,-1）;%取A的下三角阵
U=-triu（A,1）;%取A的上三角阵
B=D\（L+U）;
f=D\b;
x=B*xO+f;
n=1;
disp（['第’,num2str（n）,'步求解结果为：
’]）;
disp（x）;
whilenorm（x-x0）>=eps
x0=x;
x=B*x0+f;
n=n+1;
disp（['第’,num2str（n）,'步求解结果为：
’]）;
disp（x）;
if（n>=M）
disp（'Warning:
迭代次数太多，可能不收敛r）;
return;
end
end
disp（'最终结果为：
’）；
disp（'x='）;
disp（x）;
disp（['n=',num2str（n）]）;
实验结果
最终结果为：
x=
0.4816
0.5734
0.6328
0.6521
0.6609
0.6643
0.6657
0.6663
0.6665
0.6666
0.6666
0.6665
0.6663
0.6657
0.6643
0.6609
0.6521
0.6328
0.5734
0.4816
n=18
2.选取初始向量为x（0）=zeros（20,1）,
右端向量b=1.001*ones（20,1）,eps=1.0e-5
①实验程序（Jacobi迭代法）
修改：
b=1.001*ones（20,1）,其余同上
实验结果
最终结果为：
x=
0.4821
0.5740
0.6334
0.6528
0.6616
0.6650
0.6664
0.6669
0.6672
0.6672
0.6672
0.6672
0.6669
0.6664
0.6650
0.6616
0.6528
0.6334
0.5740
0.4821
n=18
②实验程序（Gauss-Seide迭代法）
同上
实验结果
最终结果为：
x=
0.4821
0.5740
0.6334
0.6528
0.6616
0.6650
0.6664
0.6669
0.6672
0.6672
0.6672
0.6672
0.6669
0.6664
0.6650
0.6616
0.6528
0.6334
0.5740
0.4821
n=18
（0）
3.选取初始向量为x=ones（20,1）,
右端向量b=ones（20,1）,eps=1.0e-5;
1实验程序（Jacobi迭代法）
修改：
x（0）=ones（20,1），b=ones（20,1）,其余同1
实验结果
最终结果为：
x=
0.4816
0.5734
0.6328
0.6521
0.6609
0.6643
0.6657
0.6663
0.6665
0.6666
0.6666
0.6665
0.6663
0.6657
0.6643
0.6609
0.6521
0.6328
0.5734
0.4816
n=17
2实验程序（Gauss-Seide迭代法）
同上
实验结果
最终结果为：
x=
0.4816
0.5734
0.6328
0.6521
0.6609
0.6643
0.6657
0.6663
0.6665
0.6666
0.6666
0.6665
0.6663
0.6657
0.6643
0.6609
0.6521
0.6328
0.5734
0.4816n=17
结果分析：
不管用哪种迭代法，改变初始向量，右端向量，用有限的迭代次数，都能得到收敛结果且满足误差要求。
（2）取定初始向量为x"°）=zeros（20,1），
右端向量b=ones（20,1）,eps=1.0e-5
1.A的主对角元素增长为6，用雅克比迭代法:
实验程序
将
（1）1的程序中改为A（i,i）=6;
实验结果最终结果为:
x=
0.1934
0.2103
0.2200
0.2215
0.2221
0.2222
0.2222
0.2222
0.2222
0.2222
0.2222
0.2222
0.2222
0.2222
0.2222
0.2221
0.2215
0.2200
0.2103
0.1934n=10
2.
12，用雅克比迭代法:
A的主对角元素增长为
实验结果
最终结果为：
x=
0.0892
0.0930
0.0950
0.0952
0.0952
0.0952
0.0952
0.0952
0.0952
0.0952
0.0952
0.0952
0.0952
0.0952
0.0952
0.0952
0.0952
0.0950
0.0930
0.0892
n=8
3.A的主对角元素增长为
实验结果
最终结果为：
x=
0.0494
0.0506
0.0512
0.0513
0.0513
0.0513
0.0513
0.0513
0.0513
0.0513
0.0513
0.0513
0.0513
0.0513
0.0513
0.0513
0.0513
0.0512
0.0506
0.0494
n=6
4.A的主对角元素增长为
实验结果
最终结果为：
x=
0.0226
0.0229
0.0230
0.0230
0.0230
0.0230
0.0230
0.0230
21，用雅克比迭代法:
45，用雅克比迭代法:
0.0230
0.0230
0.0230
0.0230
0.0230
0.0230
0.0230
0.0230
0.0230
0.0230
0.0229
0.0226
n=5
结果分析：
增大倍数越多，收敛速度越快，但收敛加速度越小。
且最终的解趋
向于0.
心得体会：
通过本次头验，是我加深了对Jacobi迭代法和Gauss—Seidel
迭代法的原理及内在含义的认识、了解和掌握，同时也使我体会到了一些数值计算理论的研究规律，由浅入深，由表及里，由特殊到一般。
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