均匀试验设计.docx
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均匀试验设计
均匀试验设计
主要参考文献：
1、方开泰.均匀设计与均匀设计表.北京：
科学出版社，1994
2、林维萱.试验设计方法.大连：
大连海事大学出版社，1995
3、栾军.现在试验设计优化方法.上海：
上海交通大学出版社，1995
4、茆诗松等.回归分析及其试验设计.上海：
华东师范大学出版社,1981
一、均匀设计的概念及特点
均匀设计是由我国数学家方开泰教授和王元教授于1978年提出的。
1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验总数又不超过50。
显然，正交试验设计不能用。
对于一个水平数为m的正交试验，至少要做m2次试验，如m=10时，m2=100，即至少要做100次试验，这在实际中是难于实施的。
因此，正交试验设计方法只适用于因素水平数不太多的多因素试验。
正交表的特点是使试验点“均匀分散、整齐可比”。
“均匀分散”即均匀性，使试验点均匀分布在试验范围内，让每个试验点都具有一定的代表性，可以用部分试验反映全面试验的情况，大大减少试验次数。
“整齐可比”就是综合可比性，使试验结果的分析十分方便，易于分析各因素及其交互作用对试验指标的影响大小及规律性。
但是，为了保证整齐可比性（即“均衡搭配”），对任意两个因素而言，必须是全面试验，每个因素的水平必须有重复。
这样，试验点在试验范围内就不能充分均匀分散，试验点就不能太少。
综上所述，正交试验为了保证“整齐可比”，使均匀性受到了一定限制，使试验点的代表性还不够强，试验次数不能充分地少，如果不考虑整齐可比（即综合可比）性，而完全保证均匀性，让试验点在试验范围内充分地均匀分散，不仅可大大减少试验点，而且仍能得到反映试验体系主要特征的试验结果。
这种从均匀性出发的试验设计，称为均匀试验设计。
均匀试验设计的最大优点是可以节省大量的试验工作量，尤其在试验因素水平较多的情况下，其优势更为明显。
例如，一个四因素七水平试验，进行一轮全面试验要做74=2401次，用正交试验也至少要做72=49次，而用均匀试验则仅需7次。
因此，对于水平数很多的多因素试验，对于试验费用昂贵或实际情况要求尽量少做试验的场合，对于筛选因素或收缩试验范围进行逐步寻优的场合，均匀设计都是十分有效的试验设计方法。
由于均匀设计没有整齐可比性，所以试验结果的处理不能采用方差分析法，而必须用回归分析。
因此，试验数据处理较为复杂，这是均匀设计的一个缺点。
对于发明均匀设计法的那个年代（1978年），计算机应用尚未普及，这确实是一个大难题，但对于计算机十分普及的今天，则已不是一个难题。
再说，多分析数据比多做试验，一般来讲要更为经济。
二、均匀设计表及其使用表
与正交试验设计相似，均匀设计也是通过一套精心设计的表格来安排试验的，这种表称为均匀设计表。
均匀设计表是根据数论方法在多重数值积分中的应用原理构造的，它分为等水平和混合水平两种。
1、等水平均匀设计表
等水平均匀设计表用Un（mk）表示，其中各符号的意义如下：
均匀设计表因素数
Un（mk）
试验次数因素水平数
表1为U6（64）均匀设计表，最多可安排4个因素，每个因素6个水平，共做6次试验。
等水平均匀设计表具有如下特点：
（1）每个因素的每个水平只做一次试验；
（2）任意两个因素的试验点画在平面格子点上，每行每列恰好有一个试验点。
如表U6（64）的第1列和第3列点成图1（a）所示。
表1U6（64）均匀表
列号
试验号
1
2
3
4
1
1
2
3
6
2
2
4
6
5
3
3
6
2
4
4
4
1
5
3
5
5
3
1
2
6
6
5
4
1
表2U6（64）使用表
因素数
列号
D（偏差值）
2
1
3
0.1875
3
1
2
3
0.2656
4
1
2
3
4
0.2990
（a）第1、3列
（4）第1、4列
图1均匀表不同列组合的均匀性
上述两个特点反映了试验安排的均衡性，即对各因素，每个因素的每个水平一视同仁。
（3）等水平均匀表任两列之间不一定是平等的。
例如，用U6（64）的第1、3和第1、4列分别画图，得图1（a）和图1（b）。
可见图1（a）的点分布比较均匀，而图1（b）的点则分布不均匀。
均匀设计表的这一性质与正交表有很大不同，因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表，以帮助我们在均匀设计时如何选列来安排各个因素。
表2为U6（64）的使用表，它告诉我们在利用U
（64）进行均匀设计时，若只有2个因数时，则应安排在第1、3列；若有3个因数，则应安排在第1、2、3列。
表2中最后一列D表示刻划均匀度的偏差（discrepancy）,D值越小，均匀度越好。
（4）等水平均匀表的试验次数与该表的水平数相等。
当水平数增加时，试验数按水平数的增加量在增加。
如水平数m从9增加到10时，试验数n也从9增加到10。
但对于等水平正交试验，当水平数从9增加到10时，试验数将从81增加到100，按平方关系增加。
可见，均匀设计中增加因素水平时，仅使试验工作量稍有增加，这是均匀设计的最大优点。
（5）水平数为奇数的表与水平数为偶数的表之间，具有确定的关系。
将奇数表去掉最后一行，就得到水平数比原奇数表少1的偶数表，相应地，试验次数也少，而使用表不变。
例如，将U7（76）去掉最后一行，就得到了U6（66）,使用表不变。
因此，许多书上只给出水平数为奇数的均匀设计表。
（6）均匀表中各列的因素水平不能象正交表那样可以任意改变次序，而只能按照原来的顺序进行平滑。
就是将原来的最后一个水平与第一个水平衔接起来，组成一个封闭圈，然后从任一处开始定为第一水平，按圈子的方向或相反方向，排出第二水平、第三水平，……。
2、混合水平均匀设计表
混合水平均匀设计表用于安排因素的水平不相同的均匀试验，其一般形式为U
式中n为试验次数，
为列的水平数，
分别表示水平数为
的列的数目。
混合水平均匀设计表是从等水平的均匀设计表，利用拟水平的方法得到的。
设某试验需考察A、B、C三个因素，A、B取三个水平，C取二个水平。
这个试验可以用正交表L18（2×37）来安排，这等价于全面试验，并且不可能找到比L18（2×37）更小的正交表来安排这个试验。
那么，是否可以用均匀设计来安排这个试验呢?
？
直接运用是有困难的，但可采用拟水平法对等水平均匀设计表进行改造。
我们选均匀表U6（66），按使用表的推荐用1、2、3前三列。
现将第1、2列的水平作如下改造：
{1，2}−→1，{3，4}−→2，{5，6}−→3
第3列的水平作如下改造：
{1，2，3}−→1，{4，5，6}−→2
这样，便得到了一个混合水平的均匀设计表U6（32×21），见表3。
把因素A、B、C依次放在U6（32×21）的第1、2、3列上即可。
表3有很好的均衡性（即正交表所具有的均衡搭配性质），如第1、3两列和第2、3两列的所有水平均出现且只出现一次，可惜的是并不是每一次作拟水平设计都能这么好。
表3拟水平设计U6（32×21）
列号
试验号
1（A）
2（B）
3（C）
1
（1）1
（2）1
（3）1
2
（2）1
（4）2
（6）2
3
（3）2
（6）3
（2）1
4
（4）2
（1）1
（5）2
5
（5）3
（3）2
（1）1
6
（6）3
（5）3
（4）2
用拟水平法构造混合水平均匀设计表时，为使生成的混合水平表有较好的均衡性，不能按使用表的指示选择列，应当通过比较确定选用哪些列去生成混合水平表，使得所生成的混合水平表既有好的均衡性，又使偏差（D值）尽可能地小。
为了使用方便，书上的附录（《试验设计方法》附表9，pp.338-339）给出了常用的混合水平表的拟水平构造指导表，按指导表生成的混合水平均匀表的均衡性最好。
但是，若在指导表中查不到，那只好按使用表的指示去构造了。
当然，这样得到的混合水平表，其均衡性不一定是最好的。
也有一些书上直接给出了已构造好的混合水平均匀设计表。
三、均匀试验设计的基本方法
均匀试验设计的基本步骤与正交试验设计一样，也包括试验方案设计与试验结果分析两部分。
1试验方案设计
（1）确定试验指标；
（2）选择试验因素；
（3）确定因素水平：
对于均匀设计，因素水平范围可以取宽一些，水平数可多取一些；
（4）选择均匀设计表及表头设计。
根据试验因素数、试验次数和因素水平数选择均匀设计表。
均匀试验结果不能用方差分析法处理，只能用多元回归分析法处理。
若各因素（x1，x2，…，xk）与响应值y之间的关系是线性的，则多元线性回归方程为：
（1）
为求出这m个回归系数bi（i=1,2，…，m），就要列出m个方程（b0可由这m个回归系数求出）。
为了对求得的方程进行检验，还要增加二次试验，共需m+2次试验，此时的剩余自由度
，为使F检验法具有足够的灵敏度，应做到
，故至少还应再增加一次试验，所以应选择试验次数n大于或等于m+3的均匀设计表。
∵回归方程是线性的，∴方程个数m=因素个数k。
（∵
）。
当各因素与响应值的关系为非线形时，或因素间存在交互作用时，可回归为多元高次方程。
例如，当各因素与响应值均为二次关系时，回归方程为：
（2）
式中
式
（2）中的xixj反映因素间的交互作用，
反映因素二次项的影响，回归系数总计为（不计常数项b0）:
其中k为因素个数，最后一项为交互作用项个数。
因此，为了求得二次项和交互作用项，同时为了使
，此时与前面一样，必须选用试验次数大于回归方程系数总数的均匀设计表，即应做到
。
均匀设计表选定后，接下来进行表头设计，若为等水平表，则根据因素个数在使用表上查出安排因素的列号，再把各因素依其重要程度为序，依次排在表上；若为混合水平均匀设计表，则按水平把各因素分别安排在具有相应水平的列中。
（5）、制定试验方案
表头设计好后，各因素所在列已确定，将各因素列的水平代码换成相应因素的具体水平值，即得试验设计方案。
应该指出，均匀设计表中的空列（即未安排因素的列），既不能用于考察交互作用，也不能用于估计试验误差。
2试验结果分析
（1）直观分析法
从已做的试验点中挑一个指标值最好的试验点，用该点对应的因素水平组合作为较优工艺条件，该法主要用于缺乏计算工具的场合。
（2）回归分析法
通过回归分析，可解决如下问题：
i）、得到因素与指标之间的回归方程；
ii）、根据标准回归系数的绝对值大小，得出各因素对试验指标影响的主次顺序；
iii）、由回归方程的极值点，可求得最优工艺条件。
四、均匀试验设计应用实例
参见《试验设计方法》（林维宣,1995）
例1二因素九水平均匀试验（p242）
选U9（96）均匀设计表，由使用表知二个因素应排在第1、3列。
进行二元一次线性回归分析。
回归分析时，没有必要象书上那样对二个因素的各水平做线性变换，完全可以用计算机或计算器直接计算。
多元线性回归分析方法，参见p.78
书中虽然对回归方程进行了显著性检验，但未对回归系数进行显著性检验！
下面进行回归系数的显著性检验（seep.84~87）。
正规方程组为：
解得：
∴
故回归方程为：
，已知
，
=60×60-6×6=3564
是
中
的余子式。
，
∴
×103＞
×103＞
这说明在上述回归方程中，x1和x2对y有显著影响。
例２ ５因素１０水平均匀试验 （p.245）
选
均匀设计表，根据使用表，应将5个因素排在第1、2、3、5、7列上。
考虑到可能存在交互作用和某些因素平方项的影响，采用五元二次回归模型。
回归方程为：
将二次项和交互作用项进行变量替换，可将上述非线性回归分析转化为多元线性回归分析。
在回归分析过程中，若发现几个变量不显著时，因考虑到回归系数间存在相关关系，故不能将这些变量一起剔除，而只能一次除去F值最小的一个不显著变量，重新建立回归方程后再对变量一一作检验。
这一筛选变量过程比较麻烦，工作量也比较大。
经过反复多次的多元线性回归分析，才能得到最终结果！
例3四因素混合水平均匀试验（p.247）
选U12（12×63）混合水平均匀设计表
考虑一次项和二次项的影响，忽略所有交互作用，所以回归模型为：
在回归分析过程中，对二次项作变量替换，使问题转化为八元一次线性回归分析。
五、配方均匀设计（混合均匀设计）见方开泰专著第四章（1994）
1、概述
配方设计即混料设计，在食品、化工、橡胶、材料等领域中十分重要，常见的配方设计方法有：
单纯形格子点设计（Simplex-latticedesign）、单纯形重心设计（Simplex-centrioddesign）和轴设计（Axialdesign）等，Cornell（Cornell,J,A,1981,Experiments,withMixtures,Designs,Models,andtheAnalysisofMixturesdata,Wiley,NewYork）对各种配方试验设计方法作了详尽的介绍和讨论。
（a）{3,3}单纯形格子点设计（b）三因子单纯形重心设计（c）三因子轴设计
图2三种三因子配方设计（p=3时）
图2给出了三种三因子配方设计的试验点图。
对于p因子d次单纯形格子点设计{p,d}试验点数为
；对于p因子单纯形重心设计，试验点数为
；对于轴设计，试验点数=因子数p。
单纯形
的重心和它各顶点的联线称为轴。
每个轴上取一个点，使这些点到重心有相等的距离s，通常0＜s＜（p-1）/p。
单纯形格子点设计和单纯形重心设计，是Scheffe分别于1958年和1963年提出的，而轴设计则是由Cornell提出的。
由图2可见，这三种配方设计存在以下两个问题：
（1）、试验点在试验范围Tp内分布不十分均匀；
（2）、在试验边界上有太多的试验点。
众所周知，在化学试验中，若有p种成分，如果缺少一种或多种，则或者不起化学反应，或者生成另外一种产品。
对于上述第
（2）个问题，可以用编码的办法进行解决，我们在讲解单纯形格子设计时，已经用一个具体实例对该问题进行过介绍（见《回归分析及其试验设计》，茆诗松等，1981，华东师范大学出版社，pp.312～314）。
为了同时克服上述两个缺点，王元和方开泰于1990年建议用均匀设计的思想来做配方设计，即配方均匀设计。
2、配方均匀设计
p种原料的试验范围是单纯形Tp。
设我们打算比较n种不同的配方，这些配方对应Tp中的n个点。
配方均匀设计的思想就是使这n个点在Tp中散布尽可能均匀，其设计方案可用如下步骤获得：
（1）给定p和n，查均匀设计表和使用表，得U
，用
表示U
中的元素。
（2）对每个i，计算：
C
，k=1,…,n（4）
（3）计算
（5）
则
就给出了对应n、p的配方均匀设计，并用记号UM
表示之。
表4对n=11、p=3时给出了产生UM
的过程。
这时，计算公式（5）有如下简单形式：
（6）
表4UM
及其生成过程
No.（k）
Ck1
Ck2
xk1
xk2
xk3
1
1/22
13/22
0.787
0.087
0.126
2
3/22
5/33
0.631
0.285
0.084
3
5/22
19/22
0.523
0.065
0.412
4
7/22
11/22
0.436
0.282
0.282
5
9/22
3/33
0.360
0.552
0.087
6
11/22
17/22
0.293
0.161
0.546
7
13/22
9/22
0.231
0.454
0.314
8
15/22
1/22
0.174
0.788
0.038
9
17/22
15/22
0.121
0.280
0.599
10
19/22
7/22
0.071
0.634
0.296
11
21/22
21/22
0.023
0.044
0.993
表4的具体生成过程，举例说明如下：
1）查均匀设计表
及其使用表，知：
p=2时，取第1、5两列，如表5所示；
表5
1（
）
2
3
4
5（
）
6
1
1
7
2
2
3
3
3
10
4
4
6
5
5
2
6
6
9
7
7
5
8
8
1
9
9
8
10
10
4
11
11
11
2）由式（4）得
如：
3）由式（6），得：
；
；
；
……。
公式（5）可以用逆推方法计算，以减少计算量。
逆推方法如下：
（a）令gkp=1，gko=0,k=1，2，…，n
（b）逆推计算：
，j=p-1,p-2,…,2,1
（c）计算
，j=1,2,…,p,k=1,2,…,n
则{xkj}即为所求，用这个算法便于编程计算。
由于编写产生
表的程序极其简单，因此无需列出各种配方均匀设计表。
配方均匀设计的试验结果也是用回归分析，当因素间无交互作用时，用线性模型；当因素间有交互作用时，用二次型回归模型或其他非线性回归模型。
3、有约束的配方均匀设计（略）
录入：
96食工肖瑶煌、张映斌
校对：
王中来2000年5月11日星期四
2004年3月23日星期二
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