柯西不等式.docx

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柯西不等式

柯西不等式

柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

其形式有以下几种：

二维形式

　　（a^2+b^2）（c^2+d^2）≥（ac+bd）^2

　　等号成立条件：

ad=bc（a/b=c/d）

　　扩展：

（（a1）^2;+（a2）^2;+（a3）^2;+...+（an）^2;）（（b1）^2;+（b2）^2;+（b3）^2;+...（bn）^2；）≥（a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn）^2;

　　等号成立条件：

a1:

b1=a2:

b2=…=an:

bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:

bi，i=1,2,3，…，n）

　　三角形式

　　√（a^2+b^2）+√（c^2+d^2）≥√[（a-c）^2+（b-d）^2]

　　等号成立条件：

ad=bc

　　注：

“√”表示平方根，

　　向量形式

　　|α||β|≥|α·β|，α=（a1,a，…，an），β=（b1,b，…，bn）（n∈N，n≥2）

　　等号成立条件：

β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。

　　一般形式

　　（∑（ai^2；））（∑（bi^2;））≥（∑ai·bi）^2;

　　等号成立条件：

a1:

b1=a2:

b2=…=an:

bn，或ai、bi均为零。

　　上述不等式等同于图片中的不等式。

　　推广形式

　　（x1+y1+…）（x2+y2+…）…（xn+yn…）≥[（Πx）^（1/n）+（Πy）^（1/n）+…]^n

　　注：

“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。

此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：

在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均

　　不小于各列元素之和的几何平均之积。

（应为之积的几何平均之和）

几种形式的证明：

二维形式的证明（a2+b2）（c2+d2）　（a,b,c,d∈R）=a2·c2+b2·d2+a2·d2+b2·c2=a2·c2+2abcd+b2·d2+a2·d2－2abcd+b2·c2=（ac+bd）2+（ad－bc）2≥（ac+bd）2，等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。

三角形式的证明

　　√（a2+b2）+√（c2+d2）≥√[（a-c）2+（b-d）2]

　　证明：

[√（a2+b2）+√（c2+d2）]^2=a2+b2+c2+d2+2*√（a2+b2）*√（c1+d2）

　　≥a2+b2+c2+d2+2*|a*c+b*d|注：

||表示绝对值。

*表示乘

　　≥a2+b2+c2+d2-2（a*c+b*d）

　　=a2-2*a*c+c2+b2-2bd+d2

　　=（a-c）2+（b-d）2

　　两边开根号即得√（a2+b2）+√（c2+d1）≥√[（a-c）2+（b-d）2]

一般形式的证明

　　求证：

（∑ai2）（∑bi2）≥（∑ai·bi）2

　　证明：

　　等式左边=（ai2·bj2+aj2·bi2）+....................共n2/2项

　　等式右边=（ai·bi）·（aj·bj）+（aj·bj）·（ai·bi）+...................共n2/2项

　　用均值不等式容易证明等式左边≥等式右边得证

向量形式的证明

　　令m=（a1,a2，…，an），n=（b1,b2，…，bn）

　　m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√（a12+a22+…+an2）×√（b12+b22+…+bn2）×cos

　　∵cos；≤1

　　∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√（a12+a22+…+an2）×√（b12+b22+…+bn2）

　　注：

“√”表示平方根。

推广形式证明

　记A1=x1+y1+…，A2=x2+y2+…，….

　　由平均值不等式得　（1/n）（x1/A1+x2/A2+…+xn/An）≥[x1*x2*…*xn/（A1*A2*…*An）]^（1/n）　=[（Πx）/（A1*A2*…*An）]^（1/n）　（1/n）（y1/A1+y2/A2+…+yn/An）≥[y1*y2*…*yn/（A1*A2*…*An）]^（1/n）　=[（Πy）/（A1*A2*…*An）]^（1/n），　……　上述m个不等式叠加得　1≥[（Πx）/（A1*A2*…*An）]^（1/n）+[（Πy）/（A1*A2*…*An）]^（1/n）+…　即（A1*A2*…*An）^（1/n）≥（Πx）^（1/n）+（Πy）^（1/n）+…　即A1*A2*…*An≥[（Πx）^（1/n）+（Πy）^（1/n）+…]^n　即（x1+y1+…）（x2+y2+…）…（xn+yn+…）≥[（Πx）^（1/n）+（Πy）^（1/n）+…]^n，　因此，不等式（*）成立.

【柯西不等式的应用】　柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。

　　巧拆常数证不等式

　　例：

设a、b、c为正数且互不相等。

求证：

2/（a+b）+2/（b+c）+2/（c+a）>9/（a+b+c）

　　∵a、b、c均为正数　

　　∴为证结论正确，只需证：

2（a+b+c）[1/（a+b）+1/（b+c）+1/（c+a）]>9

　　而2（a+b+c）=（a+b）+（a+c）+（c+b）　

　　又9=（1+1+1）^2∴只需证：

　　2（a+b+c）[1/（a+b）+1/（b+c）+1/（c+a）]=[（a+b）+（a+c）+（b+c）][1/（a+b）+1/（b+c）+1/（c+a）]≥（1+1+1）2=9　

　　又a、b、c互不相等，故等号成立条件无法满足　

　　∴原不等式成立　

　　求某些函数最值

　　例：

求函数y=3√（x－5）+4√（9－x）的最大值。

（注：

“√”表示平方根）　

　　函数的定义域为[5,9]，y>0　

　　y=3√（x－5）+4√（9－x）≤√（32+42）×√{[√（x－5）]2+[√（9－x）]2}=5×2=10　

　　函数仅在4√（x－5）=3√（9－x），即x=6.44时取到。

琴生不等式

琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式）：

（注意前提、等号成立条件）

　　设f（x）为凸函数，则f[（x1+x2+……+xn）/n]≤[f（x1）+f（x2）+……+f（xn）]/n（下凸）;设f（x）为凹函数，f[（x1+x2+……+xn）/n]≥f（x1）+f（x2）+……+f（xn）]/n（上凸）,称为琴生不等式（幂平均）。

　　加权形式为：

　　f[（a1*x1+a2*x2+……+an*xn）]≤a1f（x1）+a2f（x2）+……+anf（xn）（下凸）;f[（a1*x1+a2*x2+……+an*xn）]≥a1f（x1）+a2f（x2）+……+anf（xn）（上凸）,其中

　　ai≥0（i=1,2,……,n）,且a1+a2+……+an=1.

　　凸函数的概念：

【定义】如果函数f（x）满足对定义域上任意两个数x1,x2都有（f（x1）+f（x2））/2≥f（（x1+x2）/2）,那么f（x）为凸函数，或下凸函数。

　　【定义】如果函数f（x）满足对定义域上任意两个数x1,x2都有（f（x1）+f（x2））/2≤f（（x1+x2）/2）,那么f（x）为凹函数，或上凸函数。

　　同样，如果不等式中等号只有x1=x2时才成立，我们分别称它们为严格的凹凸函数

　　琴生不等式说，

　　对于任意的凸函数f（x）以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有（f（x1）+f（x2）+...+f（xn））/n≥f（（x1+x2+...+xn）/n）

　　对于任意的凹函数f（x）以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有（f（x1）+f（x2）+...+f（xn））/n≤f（（x1+x2+...+xn）/n）

　　如果上面凹凸是严格的，那么不等式的等号只有x1=x2=...=xn才成立

如何通过凸函数证明琴生不等式，

　　首先我们对n是2的幂加以证明

　　假设对于n=2^k琴生不等式成立，那么对于n=2^（k+1）

（f（x1）+f（x2）+...+f（xn））/n=（（f（x1）+f（x2）+...+f（x（n/2）））/（n/2）+（f（x（n/2+1））+...+f（xn））/（n/2））/2≥（f（（（x1+x2+...+x（n/2）/（n/2））+f（（x（n/2+1）+...+xn）/（n/2）））/2≥f（（（（（x1+x2+...+x（n/2））/（n/2）+（x（n/2+1）+...+xn）/（n/2）））/2）=f（（x1+x2+...+xn）/n）

　　所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。

　　现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n

　　然后设

　　x（n+1）=x（n+2）=...=x（2^k）=（x1+x2+...+xn）/n

　　代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。

琴生不等式证明平方平均不等式：

　　（x1^2+x2^2+...+xn^2）/n>=[（x1+x2+...+xn）/n]^2

　　显然，函数f（x）=x^2

　　由于

　　（f（x1）+f（x2））/2=（x1^2+x2^2）/2=（2x1^2+2x2^2）/4≥（x1^2+x2^2+2x1x2+（x1-x2）^2）/4≥（x1^2+x2^2+2x1x2）/4=（（x1+x2）/2）^2

　　所以f（x）=x^2是凸函数

　　所以可以得到，对于任意x1,x2,...,xn,

　　有（f（x1）+f（x2）+...+f（xn））/n≥f（（x1+x2+...+xn）/n）

　　也就是n阶平方平均不等式。

　　从上面证明过程知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。

　　不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论。

　　如果f（x）二阶可导，而且f''（x）≥0,那么f（x）是下凸函数（凸函数）

　　如果f（x）二阶可导，而且f''（x）≤0,那么f（x）是上凸函数（凹函数）

　　至于这个证明，只要使用f（x）的泰勒展开式，利用其二阶余项就可以证明的，或者构造一个函数采用中值定理。

（此处不详细说明）

　　有了这个结论以后，使用琴生不等式就非常方便了，

　　现在可以非常容易的证明一般情况的平均不等式

　　比如

　　i）（x1^t+x2^t+...+xn^t）/n≥（（x1+x2+...+xn）/n）^t,（t>1时）

　　ii）（x1^t+x2^t+...+xn^t）/n≤（（x1+x2+...+xn）/n）^t,（0

　　iii）（（x1+x2+...+xn）/n）^n≥x1x2*...*xn

　　其中前面两个取f（x）=x^t就可以了

　后面一个取f（x）=log（x）就可以了

伯努利不等式

数学中的伯努利不等式是说：

对任意整数n≥0，和任意实数x>-1，

　　有（1+x）^n≥1+nx成立；

　　如果n≥0是偶数，则不等式对任意实数x成立。

　　可以看到在n=0,1，或x=0时等号成立，而对任意正整数n≥2和任意实数x≥-1，x≠0，有

　　严格不等式：

　　（1+x）^n>1+nx。

　　伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。

　　伯努利不等式的一般式为

　　（1+x1+x2+x3···+xn）<=（1+x1）（1+x2）（1+x3）···（1+xn）当且仅当n=1时等号成立

　　证明

　　设x>-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则（1+x）^n≥1+nx.

　　证明:

　　用数学归纳法:

　　当n=1,上个式子成立,

　　设对n-1,有:

　　（1+x）^（n-1）>=1+（n-1）x成立,

　　则

　　（1+x）^n

　　=（1+x）^（n-1）（1+x）

　　>=[1+（n-1）x]（1+x）

　　=1+（n-1）x+x+（n-1）x^2

　　>=1+nx

　　就是对一切的自然数,当

　　x>=-1,有

　　（1+x）^n>=1+nx

　　下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：

　　若r≤0或r≥1，有（1+x）^r≥1+rx

　　若0≤r≤1，有（1+x）^r≤1+rx

　　这个不等式可以直接通过微分进行证明，方法如下：

　　如果r=0，1，则结论是显然的

　　如果r≠0，1，作辅助函数f（x）=（1+x）^r-（1+rx）,那么f'（x）=r*（1+x）^（r-1）-r,则f'（x）=0<==>x=0;

　　下面分情况讨论：

　　1.00，f'（x）<0；对于−10。

因此f（x）在x=0处取最大值0，故得（1+x）^r≤1+rx。

　　2.r<0或r>1，则对于x>0，f'（x）>0；对于−1

因此f（x）在x=0处取最小值0，故得（1+x）^r≥1+rx

赫尔德不等式

赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自奥图·赫尔德（OttoHölder）。

这是一条揭示Lp空间的相互关系的基本不等式：

（数学中，Lp空间是由p次可积函数组成的空间；对应的lp空间是由p次可和序列组成的空间。

在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了Banach空间一类重要的例子。

）

设S为测度空间，，及，设f在Lp（S）内，g在Lq（S）内。

则fg在L1（S）内，即||fg||1<=||f||p||g||q，且有1/p+1/q=1

　　。

若S取作{1,...,n}附计数测度，便得赫尔德不等式的特殊情形：

对所有实数（或复数）x1,...,xn;y1,...,yn，有

　　。

我们称p和q互为赫尔德共轭。

　　若取S为自然数集附计数测度，便得与上类似的无穷级数不等式。

　　当p=q=2，便得到柯西-施瓦茨不等式。

　　赫尔德不等式可以证明Lp空间上一般化的三角不等式，闵可夫斯基不等式，和证明Lp空间是Lq空间的对偶（在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。

如果1≤p，q<∞，那么||f||p和||g||q表示（可能无穷的）表达式：

以及如果p=∞，那么||f||∞表示|f|的本性上确界，||g||∞也类似。

在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着0。

把a>0乘以∞，则得出∞。

）

其一般形式为

　已知ai＞bi（1≤i≤n）是2n个正实数，p＞0，q＞0，p＋q＝1，则

a1pb1q＋a2pb2q＋…＋anpbnq≤（a1＋a2＋…＋an）p（b1＋b2＋…＋bn）q

上式中若令p＝q＝，xi2＝ai，yi2＝bi，即为柯西不等式。

赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

　　如果||f||p=0，那么fμ-几乎处处为零，且乘积fgμ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。

如果||g||q=0也是这样。

因此，我们可以假设||f||p>0且||g||q>0。

　　如果||f||p=∞或||g||q=∞，那么不等式的右端为无穷大。

因此，我们可以假设||f||p和||g||q位于（0,∞）内。

　　如果p=∞且q=1，那么几乎处处有|fg|≤||f||∞|g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。

对于p=1和q=∞，情况也类似。

因此，我们还可以假设p,q∈（1,∞）。

　　分别用f和g除||f||p||g||q，我们可以假设：

　　我们现在使用杨氏不等式：

　　对于所有非负的a和b，当且仅当a=b时等式成立。

因此：

　　两边积分，得：

　　这便证明了赫尔德不等式。

　　在p∈（1,∞）和||f||p=||g||q=1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f|p=|g|q。

更一般地，如果||f||p和||g||q位于（0,∞）内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α,β>0（即α=||g||q且β=||f||p），使得：

　　μ-几乎处处（*）||f||p=0的情况对应于（*）中的β=0。

||g||q=的情况对应于（*）中的α=0。

权方和不等式

　权方和不等式的形式：

　　对于xi，yi＞0，当m（m+1）＞0时：

　　x1+x2+x3+…………+xi+……+xn）^（m+1）/（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn）^m≤{[x1^（m+1）/y1^m]+[x2^（m+1）/y2^m]+[x3^（m+1）/y3^m]+…………+[xi^（m+1）/yi^m]+……+[xn^（m+1）/yn^m]}.

　　m（m+1）=0时：

　　x1+x2+x3+…………+xi+……+xn）^（m+1）/（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn）^m={[x1^（m+1）/y1^m]+[x2^（m+1）/y2^m]+[x3^（m+1）/y3^m]+…………+[xi^（m+1）/yi^m]+……+[xn^（m+1）/yn^m]}.

　　m（m+1）＜0时：

　　x1+x2+x3+…………+xi+……+xn）^（m+1）/（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn）^m≥{[x1^（m+1）/y1^m]+[x2^（m+1）/y2^m]+[x3^（m+1）/y3^m]+…………+[xi^（m+1）/yi^m]+……+[xn^（m+1）/yn^m]}.

　　其中n是正整数。

　　取等号的条件：

x1/y1=x2/y2=x3/y3=…………=xi/yi=……=xn/yn.[1]

　　权方和不等式的证明：

　　其证明需要用到赫尔德（Hölder）不等式.

　　赫尔德不等式的形式（特殊情形）：

　　对于实数p和q，若p≥1，q＜+∞，且1/p+1/q=1.

　　则对于所有实数或复数a1,a2,a3…………ai……an和b1,b2,b3…………bi……bn

　　恒有|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤

　　[（|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p）^（1/p）]*

　　[（|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q）^（1/q）]

　　当且仅当a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=a3^p/b3^q=…………=ai^p/bi^q=……=an^p/bn^q时等号成立。

　　证明：

　　第一式：

因为m（m+1）＞0，所以m＞0或m＜-1.

　　设ai=xi/yi^[m/（m+1）]bi=yi^[m/（m+1）]

　　p=m+1q=（m+1）/m

　　m＞0时，p＞1，q＜+∞成立，且1/p+1/q=1.

　　所以对于ai、bi＞0，恒有：

　　|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤

　　[（|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p）^（1/p）]*

　　[（|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q）^（1/q）]

　　也就是x1+x2+x3+…………+xi+……+xn≤{[x1^（m+1）/y1^m]+[x2^（m+1）/y2^m]+

　　[x3^（m+1）/y3^m]+…………+[xi^（m+1）/yi^m]+……+[xn^（m+1）/yn^m]}^[1/（m+1）]

　　*{（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn）^[m/（m+1）]}

　　不等式两边同时取（m+1）次幂，得到：

　　（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn）^（m+1）≤{[x1^（m+1）/y1^m]+[x2^（m+1）/y2^m]+

　　[x3^（m+1）/y3^m]+…………+[xi^（m+1）/yi^m]+……+[xn^（m+1）/yn^m]}*

　　（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn）^m

　　不等式两边同除（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn）^m，就得到

　　（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn）^（m+1）/（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn）^m≤{[x1^（m+1）/y1^m]+[x2^（m+1）/y2^m]+[x3^（m+1）/y3^m]+…………+[xi^（m+1）/yi^m]+……+[xn^（m+1）/yn^m]}.

　　另设ai=yi/xi^[（m+1）/m],bi=xi^[（m+1）/m]

　　p=-mq=m/（m+1）

　　当m＜-1时，p＞1，q＜+∞成立，且1/p+1/q=1.

　　所以对于ai、bi＞0，恒有：

　　|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤

　　[（|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p）^（1/p）]*

　　[（|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q）^（1/q）].

　　也就是y1+y2+y3+…………+yi+……+yn≤（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn）^[（m+1）/m]

　　*{[x1^（m+1）/y1^m]+[x2^（m+1）/y2^m]+[x3^（m+1）/y3^m]+…………+[xi^（m+1）/yi^m]+……+[xn^（m+1）/yn^m]}^（-1/m）.

　　不等式两边同时做m次幂，此时不等号方向改变：

　　（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn）^m≥（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn）^（m+1）

　　*{[x1^（m+1）/y1^m]+[x2^（m+1）/y2^m]+[x3^（m+1）/y3^m]+…………+[xi^（m+1）/yi^m]+……+[xn^（m+1）/yn^m]}^（-1）

　　不等式两边取倒数（不等号方向改变）再同乘（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn）^（m+1），即得：

　　（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn）^（m+1）/（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn）^m≤{[x1^（m+1）/y1^m]+[x2^（m+1）/y2^m]+[x3^（m+1）/y3^m]+…………+[xi^（m+1）/yi^m]+……+[xn^（m+1）/yn^m]}.

　　第一式得