广东省深圳市届高三第四次模拟考试数学理试题.docx
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广东省深圳市届高三第四次模拟考试数学理试题
广东省深圳市2019届高三第四次模拟考试
数学（理科）试卷
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：
高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：
每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：
先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若
i,
i，则
A．
B．
C．
D．
2．已知集合
，则
中元素的个数为
A．9B．8C．5D．4
3.向量a，b满足|a|＝1，|b|＝
，（a＋b）⊥（2a－b），则向量a与b的夹角为
A．45°B．60°C．90°D．120°
4．设x，y满足约束条件
，则
的取值范围是
A．[0,2]B．[0,3]C．[–3,2]D．[–3,0]
5．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为5040，那么判断框中应填入
A．k<6?
B．k>7?
C．k>6?
D．k<7?
6.函数
的图象大致为
A．B．C．D．
7．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为
A．0.45B．0.6C．0.65D．0.75
8．如图是三棱锥DABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于
A.
B.
C.
D.
9.在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆
＋
＝1上的一个动点，点A（1,1），B（0，－1），则|PA|＋|PB|的最大值为
A．2 B．3C．4D．5
10．将函数f（x）＝2cos2x的图象向右平移
个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间
和
上均单调递增，则实数a的取值范围是
A.
B.
C.
D.
11．已知函数f（x）＝（ex－e－x）x，f（log5x）＋f（log
x）≤2f
（1），则x的取值范围是
A.
B．[1,5]C.
D.
∪[5，＋∞）
12．已知点
为双曲线
的右焦点，已知直线
与
交于
，
两点，若
，设
，且
，则该双曲线的离心率的取值范围是
A．
B．
C．
D．
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数f（x）＝
若函数g（x）＝f（x）－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
14．（1＋x＋x2）
6的展开式中的常数项为________．
15.已知圆锥的顶点为
，母线
，
互相垂直，
与圆锥底面所成角为
，若
的面积为
，则该圆锥的侧面积为__________．
16.在△ABC中，若BC=6，AB=2AC,则△ABC的面积的最大值为__________．
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）已知数列
的前
项和为
，
，数列
满足
．
（1）求
；
（2）设
，求数列
的前
项和
.
18.（本小题满分12分）如图
，平行四边形
中，
，
，
是AB的中点.将
沿
折起，如图
使面
面
，
是
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）若
是棱
上的动点，当
为何值时，二面角
的大小为
.
19.（本小题满分12分）已知抛物线
上点
处的切线方程为
．
（1）求抛物线的方程；
（2）设
和
为抛物线上的两个动点，其中
且
，线段
的垂直平分线
与
轴交于点
，求
面积的最大值．
20．（本小题满分12分）近年来，随着汽车消费的普及，二手车流通行业得到迅猛发展．某汽车交易市场对2018年成交的二手车的交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到如图1所示的频率分布直方图．在图1对使用时间的分组中，将使用时间落入各组的频率视为概率．
图1图2
（1）若在该交易市场随机选取3辆2018年成交的二手车，求恰有2辆使用年限在
的概率；
（2）根据该汽车交易市场往年的数据，得到图2所示的散点图，其中
（单位：
年）表示二手车的使用时间，
（单位：
万元）表示相应的二手车的平均交易价格．
①由散点图判断，可采用
作为该交易市场二手车平均交易价格
关于其使用年限
的回归方程，相关数据如下表（表中
，
）：
5.5
8.7
1.9
301.4
79.75
385
试选用表中数据，求出
关于
的回归方程；
②该汽车交易市场拟定两个收取佣金的方案供选择．
甲：
对每辆二手车统一收取成交价格的
的佣金；
乙：
对使用8年以内（含8年）的二手车收取成交价格的
的佣金，对使用时间8年以上（不含8年）的二手车收取成交价格的
的佣金．
假设采用何种收取佣金的方案不影响该交易市场的成交量，根据回归方程和图表1，并用各时间组的区间中点值代表该组的各个值．判断该汽车交易市场应选择哪个方案能获得更多佣金．
附注：
①对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
；
②参考数据：
．
21.（本小题满分12分）已知函数
.
（1）求函数
的极值；
（2）令函数
若直线
与
的图象相交于不同的两点
证明：
.
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．
选修4－4：
坐标系与参数方程
（10分）
在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
为参数
．在以原点
为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
的极坐标方程为
．
（1）求直线
的极坐标方程和曲线
的直角坐标方程；
（2）若直线
与曲线
交于
两点，求
．
23.
选修4－5：
不等式选讲
（10分）
已知函数
，
，
．
（1）当
时，解关于
的不等式
；
（2）若对任意
，都存在
，使得不等式
成立，求实数
的取值范围．
数学（理科）试卷答案
一、选择题：
BACCBADADBCD
二、填空题：
13．（0,1）14.-515.8
16.12
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：
（1）由已知
，①
………………………1分
………………………2分
解得
，………………………4分
所以
，
.………………………6分
（2）由（Ⅰ）得，
，
.………………………7分
所以
，………………………9分
所以
.……………………12分
18.解：
（1）连接
，因为
，
是
的中点，所以
是正三角形，取
的中点
，则
，∵面
面
，
∴
平面
，
平面
，∴
，………………2分
连接
，
为正三角形，
是
中点，
，
为
的中位线，∴
，故
，
∴
平面
………………4分
（2）由
（1）可知，
，
，
以
为坐标原点，以
方向为
轴的
正方向，建立空间直角坐标系
如图所示，………………5分
不妨设
则
，
，
，则
，设
，可得
，………………7分
设
为平面
的一个法向量，则有
，
，即
，令
，可得，
所以
，………………9分
易知
为平面
的一个法向量，因为二面角
的大小为
，
所以有
，解得
，……………11分
当
时，二面角
的大小为
.………………12分
19.解：
（Ⅰ）设点
，由
得
，求导
，
因为直线
的斜率为-1，所以
且
，解得
，
所以抛物线的方程为
．………4分
（说明：
也可将抛物线方程与直线方程联立，由
解得）
（Ⅱ）设线段
中点
，则
，
∴直线
的方程为
，
即
，
过定点
.------6分
联立
得
，
，-----8分
设
到
的距离
，
，------10分
当且仅当
，即时取等号，
的最大值为
.……12分
（另解：
可以令
，构造函数
，求导亦可）
20．解：
（1）由频率分布直方图知，该汽车交易市场2018年成交的二手车使用时间在
的频率为
，使用时间在
的频率为
．
所以在该汽车交易市场2018年成交的二手车随机选取1辆，其使用时间在
的概
率为
，2分
所以所求的概率为
．3分
（2）①由
得
，则
关于
的线性回归方程为
．4分
由于
则
关于
的线性回归方程为
，…………6分
所以
关于
的回归方程为
……………7分
②根据频率分布直方图和①中的回归方程，对成交的二手汽车可预测：
使用时间在
的频率为
，
对应的成交价格的预测值为
；
使用时间在
的频率为
，对应的成交价格预测值为
；
使用时间在
的频率为
，
对应的成交价格的预测值为
；
使用时间在
的频率为
，
对应的成交价格的预测值为
；
使用时间在
的频率为
，
对应的成交价格的预测值为
………9分
若采用甲方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为
＝
万元；
若采用乙方案，预计该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为
万元．
因为
，所以采用甲方案能获得更多佣金． ……………12分
21.解（Ⅰ）由
，得
.………………………………………………1分
①当
时，
，此时
在
上单调递增，
无极值；……………………2分
②当
时，令
，得
.
当
时
，
单调递减；
当
时
，
单调递增；
故当
时函数
取极小值
；…………………………………………4分
综上，当
时，
无极值；
当
时，
有极小值
，无极大值.………………………………………5分
（Ⅱ）解法一：
由题可得
，由此可知直线
与
的图象的两个交点位于第一象限，不妨设
.
于是有
………………………………………………………………………6分
令
，则
，于是
，
解得
，
，…………………………………………………7分
于是
，
从而
，……………………………
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