幂法及其MATLAB程序.docx
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幂法及其MATLAB程序
5.2幂法及其MATLAB程序
5.2.2幂法的MATLAB程序
用幂法计算矩阵
的主特征值和对应的特征向量的MATLAB主程序
function[k,lambda,Vk,Wc]=mifa（A,V0,jd,max1）
lambda=0;k=1;Wc=1;,jd=jd*0.1;state=1;V=V0;
while（（k<=max1）&（state==1））
Vk=A*V;[mj]=max（abs（Vk））;mk=m;
tzw=abs（lambda-mk）;Vk=（1/mk）*Vk;
Txw=norm（V-Vk）;Wc=max（Txw,tzw）;V=Vk;lambda=mk;state=0;
if（Wc>jd）
state=1;
end
k=k+1;Wc=Wc;
end
if（Wc<=jd）
disp（'请注意：
迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：
'）
else
disp（'请注意：
迭代次数k已经达到最大迭代次数max1,主特征值的迭代值lambda,主特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：
'）
end
Vk=V;k=k-1;Wc;
例5.2.2用幂法计算下列矩阵的主特征值和对应的特征向量的近似向量，精度
.并把
（1）和
（2）输出的结果与例5.1.1中的结果进行比较.
（1）
；
（2）
；（3）
；（4）
.
解
（1）输入MATLAB程序
>>A=[1-1;24];V0=[1,1]';
[k,lambda,Vk,Wc]=mifa（A,V0,0.00001,100）,
[V,D]=eig（A）,Dzd=max（diag（D））,wuD=abs（Dzd-lambda）,wuV=V（:
2）./Vk,
运行后屏幕显示结果
请注意：
迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：
k=lambda=Wc=
333.000001738368048.691862856124999e-007
Vk=V=wuV=
-0.49999942054432-0.707106781186550.44721359549996-0.89442822756294
1.000000000000000.70710678118655-0.89442719099992-0.89442719099992
Dzd=wuD=
31.738368038406435e-006
由输出结果可看出，迭代33次，相邻两次迭代的误差Wc
8.6919e-007，矩阵
的主特征值的近似值lambda
3.00000和对应的特征向量的近似向量Vk
（-0.50000，1.00000
lambda与例5.1.1中
的最大特征值
近似相等，绝对误差约为1.73837e-006，Vk与特征向量
的第1个分量的绝对误差约等于0，第2个分量的绝对值相同.由wuV可以看出，
的特征向量V（:
2）与Vk的对应分量的比值近似相等.因此，用程序mifa.m计算的结果达到预先给定的精度
.
（2）输入MATLAB程序
>>B=[123;213;336];V0=[1,1,1]';
[k,lambda,Vk,Wc]=mifa（B,V0,0.00001,100）,[V,D]=eig（B）,
Dzd=max（diag（D））,wuD=abs（Dzd-lambda）,wuV=V（:
3）./Vk,
运行后屏幕显示结果
请注意：
迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：
k=lambda=Wc=Dzd=wuD=
39090
Vk=wuV=
0.500000000000000.81649658092773
0.500000000000000.81649658092773
1.000000000000000.81649658092773
V=
0.707106781186550.577350269189630.40824829046386
-0.707106781186550.577350269189630.40824829046386
0-0.577350269189630.81649658092773
（3）输入MATLAB程序
>>C=[122;1-11;4-121];V0=[1,1,1]';
[k,lambda,Vk,Wc]=mifa（C,V0,0.00001,100）,[V,D]=eig（C）,
Dzd=max（diag（D））,wuD=abs（Dzd-lambda）,
Vzd=V（:
1）,wuV=V（:
1）./Vk,
运行后屏幕显示
请注意：
迭代次数k已经达到最大迭代次数max1,主特征值的迭代值lambda,主特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：
k=lambda=Wc=
1000.090909090909102.37758124193119
Dzd=wuD=
1.000000000000010.90909090909091
Vk=Vzd=wuV=
0.999999999999930.904534033733290.90453403373335
0.999999999999950.301511344577760.30151134457778
1.00000000000000-0.30151134457776-0.30151134457776
由输出结果可见，迭代次数k已经达到最大迭代次数max1=100，并且lambda的相邻两次迭代的误差Wc
2.37758>2,由wuV可以看出，lambda的特征向量Vk与真值Dzd的特征向量Vzd对应分量的比值相差较大，所以迭代序列发散.实际上，实数矩阵C的特征值的近似值为
，并且对应的特征向量的近似向量分别为
=
（0.90453403373329，0.30151134457776，-0.30151134457776）
，
（-0.72547625011001,-0.21764287503300-0.07254762501100i,
0.58038100008801-0.29019050004400i）
，
（-0.72547625011001,-0.21764287503300+0.07254762501100i,
0.58038100008801+0.29019050004400i）
是常数）.
（4）输入MATLAB程序
>>D=[-4140;-5130;-102];V0=[1,1,1]';
[k,lambda,Vk,Wc]=mifa（D,V0,0.00001,100）,[V,Dt]=eig（D）,
Dtzd=max（diag（Dt））,wuDt=abs（Dtzd-lambda）,
Vzd=V（:
2）,wuV=V（:
2）./Vk,
运行后屏幕显示结果
请注意：
迭代次数k,主特征值的近似值lambda,主特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：
k=lambda=Wc=
196.000006539495286.539523793591684e-006
Dtzd=wuDt=
6.000000000000006.539495284840768e-006
Vk=Vzd=wuV=
0.797400480535640.797400480535640.79740048053564
0.714285947838860.569571771811170.79740021980618
-0.24999918247180-0.199********3910.79740308813370
5.3反幂法和位移反幂法及其MATLAB程序
5.3.3原点位移反幂法的MATLAB程序
（一）原点位移反幂法的MATLAB主程序1
用原点位移反幂法计算矩阵
的特征值和对应的特征向量的MATLAB主程序1
function[k,lambdan,Vk,Wc]=ydwyfmf（A,V0,jlamb,jd,max1）
[n,n]=size（A）;A1=A-jlamb*eye（n）;jd=jd*0.1;RA1=det（A1）;
ifRA1==0
disp（'请注意：
因为A-aE的n阶行列式hl等于零，所以A-aE不能进行LU分解.'）
return
end
lambda=0;
ifRA1~=0
forp=1:
n
h（p）=det（A1（1:
p,1:
p））;
end
hl=h（1:
n）;
fori=1:
n
ifh（1,i）==0
disp（'请注意：
因为A-aE的r阶主子式等于零，所以A-aE不能进行LU分解.'）
return
end
end
ifh（1,i）~=0
disp（'请注意：
因为A-aE的各阶主子式都不等于零，所以A-aE能进行LU分解.'）
k=1;Wc=1;state=1;Vk=V0;
while（（k<=max1）&（state==1））
[LU]=lu（A1）;Yk=L\Vk;Vk=U\Yk;[mj]=max（abs（Vk））;
mk=m;Vk1=Vk/mk;Yk1=L\Vk1;Vk1=U\Yk1;
[mj]=max（abs（Vk1））;mk1=m;Vk2=（1/mk1）*Vk1;tzw1=abs（（mk-mk1）/mk1）;
tzw2=abs（mk1-mk）;Txw1=norm（Vk）-norm（Vk1）;
Txw2=（norm（Vk）-norm（Vk1））/norm（Vk1）;
Txw=min（Txw1,Txw2）;tzw=min（tzw1,tzw2）;Vk=Vk2;
mk=mk1;Wc=max（Txw,tzw）;Vk=Vk2;mk=mk1;state=0;
if（Wc>jd）
state=1;
end
k=k+1;%Vk=Vk2,mk=mk1,
end
if（Wc<=jd）
disp（'A-aE的秩R（A-aE）和各阶顺序主子式值hl、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：
'）
else
disp（'A-aE的秩R（A-aE）和各阶顺序主子式值hl、迭代次数k已经达到最大迭代次数max1,按模最小特征值的迭代值lambda,特征向量的迭代向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：
'）
end
hl,RA1
end
end
[V,D]=eig（A,'nobalance'）,Vk;k=k-1;Wc;lambdan=jlamb+1/mk1;
例5.3.2用原点位移反幂法的迭代公式（5.28），根据给定的下列矩阵的特征值
的初始值
，计算与
对应的特征向量
的近似向量,精确到0.0001.
（1）
；
（2）
，
；（3）
，
.
解
（1）输入MATLAB程序
>>A=[1-10;-24-2;0-12];V0=[1,1,1]';
[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf（A,V0,0.2,0.0001,10000）
运行后屏幕显示结果
请注意：
因为A-aE的各阶主子式都不等于零，所以A-aE能进行LU分解.
A-aE的秩R（A-aE）和各阶顺序主子式值hl、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：
k=lambda=Wc=hl=
30.23841.0213e-0070.80001.04000.2720
Vk=V=D=
1.0000-0.2424-1.0000-0.57075.124900
0.76161.0000-0.76160.363300.23840
0.4323-0.3200-0.43231.0000001.6367
（2）输入MATLAB程序
>>A=[1-1;24];V0=[20,1]';
[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf（A,V0,2.001,0.0001,100）
运行后屏幕显示结果
请注意：
因为A-aE的各阶主子式都不等于零，所以A-aE能进行LU分解.
A-aE的秩R（A-aE）和各阶顺序主子式值hl、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：
k=lambda=Wc=hl=
22.00205.1528e-007-1.0010-0.0010
Vk=V=D=
1.0000-1.00000.500020
-1.00001.0000-1.000003
（3）输入MATLAB程序
>>A=[-11215;2583;153-3];V0=[1,1,-1]';
[k,lambdan,Vk,Wc]=ydwyfmf（A,V0,8.26,0.0001,100）
运行后屏幕显示结果
请注意：
因为A-aE的各阶主子式都不等于零，所以A-aE能进行LU分解.
A-aE的秩R（A-aE）和各阶顺序主子式值hl、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：
k=lambdan=Wc=hl=
28.26406.9304e-008-19.2600-961.9924-6.1256
Vk=V=D=
-0.76920.79280.60810.0416-22.524900
0.09120.0030-0.07210.997408.26400
-1.0000-0.60950.79060.05900058.2609
例5.3.3用原点位移反幂法的迭代公式（5.28），计算
的分别对应于特征值
，
，
的特征向量
，
，
的近似向量，相邻迭代误差为0.001.将计算结果与精确特征向量比较.
解
（1）计算特征值
对应的特征向量
的近似向量.输入MATLAB程序
>>A=[011-5;-217-7;-426-10];V0=[1,1,1]';
[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf（A,V0,1.001,0.001,100）,
[V,D]=eig（A）;
Dzd=min（diag（D））,wuD=abs（Dzd-lambda）,
VD=V（:
1）,wuV=V（:
1）./Vk,
运行后屏幕显示结果
请注意：
因为A-aE的各阶主子式都不等于零，所以A-aE能进行LU分解.
A-aE的秩R（A-aE）和各阶顺序主子式值hl、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：
hl=
-1.001000000000005.98500100000000-0.00299600100000
k=lambda=RA1=
51.00200000000000-0.00299600100000
Vk=VD=wuV=
-0.50000000000000-0.408248290463860.81649658092773
-0.50000000000000-0.408248290463860.81649658092773
-1.00000000000000-0.816496580927730.81649658092773
Wc=Dzd=wuD=
1.378794763695562e-0091.000000000000000.00200000000000
从输出的结果可见，迭代5次，特征向量
的近似向量
的相邻两次迭代的误差Wc
1.379e-009，由wuV可以看出，
=Vk与VD的对应分量的比值相等.特征值
的近似值lambda
1.002与初始值
1.001的绝对误差为0.001，而与
的绝对误差为0.002，其中
.
（2）计算特征值
对应特征向量
的近似向量.
输入MATLAB程序
>>A=[011-5;-217-7;-426-10];V0=[1,1,1]';
[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf（A,V0,2.001,0.001,100）,
[V,D]=eig（A）;WD=lambda-D（2,2）,VD=V（:
2）,wuV=V（:
2）./Vk,
运行后屏幕显示结果
请注意：
因为A-aE的各阶主子式都不等于零，所以A-aE能进行LU分解.
A-aE的秩R（A-aE）和各阶顺序主子式值hl、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：
hl=
-2.00100000000000-8.012999000000000.00200099900000
k=Wc=lambda=WD=
23.131363162302120e-0072.002000000000160.00200000000016
Vk=VD=wuV=
-0.249999999999990.21821789023599-0.87287156094401
-0.499999999999990.43643578047198-0.87287156094398
-1.000000000000000.87287156094397-0.87287156094397
从输出的结果可见，迭代2次，特征向量
的近似向量
的相邻两次迭代的误差Wc
3.131e-007，
与
的对应分量的比值近似相等.特征值
的近似值lambda
2.002与初始值
2.001的绝对误差约为0.001，而lambda与
的绝对误差约为0.002，其中
.
（3）计算特征值
对应特征向量
的近似向量.输入MATLAB程序
>>A=[011-5;-217-7;-426-10];V0=[1,1,1]';
[k,lambda,Vk,Wc]=ydwyfmf（A,V0,4.001,0.001,100）
[V,D]=eig（A）;WD=lambda-max（diag（D））,VD=V（:
3）,wuV=V（:
3）./Vk,
运行后屏幕显示结果
请注意：
因为A-aE的各阶主子式都不等于零，所以A-aE能进行LU分解.
A-aE的秩R（A-aE）和各阶顺序主子式值hl、迭代次数k,按模最小特征值的近似值lambda,特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：
hl=
-4.00100000000000-30.00899900000000-0.00600500099999
k=lambda=Wc=WD=
24.001999999999901.996084182914842e-0070.00199999999990
Vk=VD=wuV=
0.40000000000001-0.32444284226153-0.81110710565380
0.60000000000001-0.48666426339229-0.81110710565381
1.00000000000000-0.81110710565381-0.81110710565381
从输出的结果可见，迭代2次，特征向量
的近似向量
的相邻两次迭代的误差Wc
1.996e-007，
与
的对应分量的比值近似相等.特征值
的近似值
的绝对误差近似为
，而lambda与
的绝对误差约为0.002，其中
-0.40000000000000，-0.60000000000000，-1.00000000000000
.
（二）原点位移反幂法的MATLAB主程序2
用原点位移反幂法计算矩阵
的特征值和对应的特征向量的MATLAB主程序2
function[k,lambdan,Vk,Wc]=wfmifa1（A,V0,jlamb,jd,max1）
[n,n]=size（A）;jd=jd*0.1;A1=A-jlamb*eye（n）;nA1=inv（A1）;
lambda1=0;k=1;Wc=1;state=1;U=V0;
while（（k<=max1）&（state==1））
Vk=A1\U;[mj]=max（abs（Vk））;mk=m;Vk=（1/mk）*Vk;Vk1=A1\Vk;
[m1j]=max（abs（Vk1））;mk1=m1,Vk1=（1/mk1）*Vk1;U=Vk1,
Txw=（norm（Vk1）-norm（Vk））/norm（Vk1）;
tzw=abs（（lambda1-mk1）/mk1）;
Wc=max（Txw,tzw）;lambda1=mk1;state=0;
if（Wc>jd）
state=1;
end
k=k+1;
end
if（Wc<=jd）
disp（'请注意迭代次数k,特征值的近似值lambda,对应的特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：
'）
else
disp（'请注意迭代次数k已经达到最大迭代次数max1,特征值的近似值lambda,对应的特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：
'）
end
[V,D]=eig（A,'nobalance'）,Vk=U;k=k-1;Wc;lambdan=jlamb+1/mk;
例5.3.4用原点位移反幂法的迭代公式（5.27），计算例题5.3.3，并且将这两个例题的计算结果进行比较.再用两种原点位移反幂法的MATLAB主程序，求
对应的特征向量.
解
（1）计算特征值
对应特征向量
的近似向量.
输入MATLAB程序
>>A=[011-5;-217-7;-426-10];V0=[1,1,1]';
[k,lambda,Vk,Wc]=wfmifa1（A,V0,1.001,0.001,100）
运行后屏幕显示结果
请注意迭代次数k,特征值的近似值lambda,对应的特征向量的近似向量Vk,相邻两次迭代的误差Wc如下：
k=lambda=Wc=
51.002000000001381.376344154436924e-006
Vk’=-0.50000000000000-0.50000000000000-1.00000000000000
同理可得，另外与两个特征
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