《电子工程物理基础》课后练习习题解答学习教程.docx
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《电子工程物理基础》课后练习习题解答学习教程
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《电子工程物理基础》习题参照答案
第一章
1-一维运动的粒子处在下边状态
Axex（x0,0）
（x）
0（x0）
①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率散布函数；③在哪处找到粒子的概率最大
解：
（1）由归一化条件，知
2
2
2x
A
0xe
dx1
获得归一化常数A2
所以归一化波函数为
（2）粒子坐标的概率散布函数
（3）令dw（x）
0获得x0,x
1，依据题意x=0处，w（x）=0，所以x
1处粒子的概率最大。
dx
1-若在一维无穷深势阱中运动的粒子的量子数为n。
①距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少?
②n取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?
③当n→∞时，这个概率的极限是多少?
这个结果说了然什么问题?
解：
（1）假定一维无穷深势阱的势函数为U（x），0xa，那么距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率为
（2）n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大
Pmax（x）
1
+
1。
4
6
（3）当n→∞时，P（x）
1
。
这时概率散布均匀，靠近于宏观状况。
4
1-一个势能为V（x）
1
m
2
x
2的线性谐振子处在下边状态，
2
求①归一化常数A；②在哪处发现振子的概率最大；③势能均匀值
1
2
2
Um
x
2
解：
近似题1-1的方法
（1）归一化常数
由
*dx
1
获得
A1
/4
（2）振子的概率密度
w（x）
2
2x2
（x）
e
由
dw（x）
获得x=0
时振子出现概率最大。
0
dx
（3）势能均匀值
1-设质量为m的粒子在以下势阱中运动，求粒子的能级。
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解:
注意到粒子在半势阱中运动，且为半谐振子。
半谐振子与对称谐振子在x>0地区知足相同的颠簸方程，但依据题意，x<0地区，势函数为无量，所以相应的波函数为零，进而损坏了偶宇称的状态。
这样，半谐振子定态解则为谐振子的奇宇称解（仅归一化常数不一样）
1-
电子在原子大小的范围（～10-10m）内运动，试用不确立关系预计电子的最小能量。
p2
2
解：
电子总能量
E
es
2m
r
作近似代换，设
r~r,p
~p,由不确立关系得，
rp~，于是
所以电子的最小能量
Emin
mes4
，此式与薛定谔方程获得的氢原子基态能量表达式相同。
2
2
1
r
1-
氢原子处在基态
（r,
）
ea0
，求：
a03
①r的均匀值；②势能
es2
的均匀值；③最可几半径。
r
解：
（1）r的均匀值
r
2
r
2
3
0
0
d
0a
0
2
（2）势能的均匀值
（3）最可几半径
粒子在球壳r-r+dr范围中出现的概率以下：
由
dw（x）
0
获得r=a处电子出现的概率最大。
dx
1-
设一系统未受微扰作用时，只有两个能级
?
作用，微扰矩阵元
E01及E02，遇到微扰H
H
12
H
21
a,
H
11
H
b
22。
a，b都是实数，用微扰公式求能级的二级修正当。
解：
依据非简并微扰公式，有
1-8氢分子的振动频次是1.32×1014Hz，求在5000K时，以下两种状况下振动向上粒子占有数之比。
①n=0，n=1；②n=1，n=2。
氢分子的振动看作为谐振子，所以振子能量为En（n
1
）
2
振动向上被粒子占有的概率听从
M-B散布，则
（1）n=0，n=1时，
（2）n=1，n=2时，
1-求在室温下（k0T=0.025ev）电子处在费米能级以上
0.1ev和费米能级以下
0.1ev的概率各是多
少?
费米能级以上
1
=
1
f0.1EEf
4
1.8%
i
e
1
ek0T
1
费米能级以下
f
1
=
1
EiEf
4
98.2%
e
1
ek0T
1
第二章
2-1.试说明格波和弹性波有何不一样?
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提示：
从晶格格点分立取值和晶格周期性特色出发剖析与连续介质弹性波的不一样。
2-2.证明：
在长波范围内，一维单原子晶格和双原子晶格的声学波流传速度均与一维连续介质弹性波流传速度相同，即：
式中，E为弹性模量，ρ为介质密度。
提示：
利用教材第二章中一维单原子晶格和双原子晶格的声学波的色散关系，获得长波近似下的表
达式（2-35）和（2-46），并注意到v。
q
2-3.设有一维原子链（以以下图所示），第2n个原子与第2n+1个原子之间的恢复力常数为β，第2n个原子与第2n-1个原子之间的恢复力常数为β′（β′＜β）。
设两种原子的质量相等，近来邻间距为a，试求晶格振动的振动谱以及波矢q=0和q=π/2a时的振动频次。
解：
依据题意，原子运动方程为
设上两式的行波解为
将式
（2）代入式
（1），并整理得
方程（3）中的A、B有非零解，则方程组的系数队列式为零，获得
所以q
0时，2
2（
）,
2
0
m
2-4.一维双原子晶格振动中，证明在布里渊区界限q=±2a处，声频支中所有轻原子m静止，光
频支所有重原子M静止。
提示：
利用教材中第二章的式（2-46）和式（2-49）进行剖析。
2-5.什么喊声子?
它和光子有何异、同之处?
略
2-6.一维双原子点阵，已知一种原子的质量m=5××10-27kg，另一种原子的质量M=4m，力常数β=15N·m-1，求：
（a）光学波的最大频次和最小频次
m0
ax、m0
in
（b）声学波的最大频次
A
max
（c）相应的声子能量是多少eV?
（d）在300K能够激发多少个频次
m0
ax、m0
in、
maxA的声子?
（e）假如用电磁波来激发长光学波振动，试问电磁波的波长要多少?
解：
mM
m
M
（a）
0
2
13
0
max
10rad/s，
min
（b）
A2
13
max
3.010rad/s，
26.01013rad/s
m
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（c）E1
0
0.044eV，E2
0
0.040eV，E3
A
max
main
max
（d）nmax0
e
o
1
max/k0T
nmin0
e
o
1
0.28,
minx/k0
T
（e）
2
oc
105m
max
2-7.设晶体中每个振子的零点振动能量12hυ，试用德拜模型求晶体的零点振动能。
解：
晶体的零点振动能E0是各振动模式零点能之和。
2-8.设长度为L的一维简单晶格，原子质量为m，间距为a，原子间的互作用势可表示成
U（a）Acos（）。
试由简谐近似求
a
（1）色散关系；
（2）模式密度（）；
（3）晶格热容（列出积分表达式即可）
解：
（1）原子间的弹性恢复力系数为
将上式代入本教材一维简单晶格的色散关系式（2-34）中，获得
（2）对于一维简单晶格，有
在波矢qqdq中的振动模式数为（q）dq2LdqNadq，此中2是考虑q对称地区引入
2
的。
所以，（）d2（q）
dq
d
a
m
cos（qa）
a
0[1sin（qa）2]1/2
a（
dq
2
2
2
2
022）1/2代入上式，有
（3）利用教材第二章中的式（2-81），得
2-9.有人说，既然晶格独立振动频次υ的数量是确立的（等于晶体的自由度数）。
而hυ代表一个声
子。
所以，对于一给定的晶体，它必拥有必定数量的声子。
这类说法能否正确?
提示：
不正确，因为均匀声子数与与温度相关。
2-10.应用德拜模型，计算一维、二维状况下晶格振动的频谱密度，德拜温度，晶格比热。
解：
（1）一维状况下
在波矢qqdq中的振动模式数为2
Ldq，此中2是考虑q对称地区引入的。
2
因为德拜模型中设vp
，所以相应的
d中振动模式数（）d
L
d
q
vp
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L
频谱密度（）
vp
德拜温度
D
D
k0
此中D
知足
D
）d
L
N，所以
N
vp
（
D
D
0
vp
L
利用教材第二章中的式（
2-81）
L
D
2
e
/k0T
2d
CV
0
k0（
）
/kT
k0T
（e
0
1）
vp
，此中x
D/T
x
k0T
Nk0T
e
dx
T
x2
2
0
x
1）
D
（e
（2）二维状况下
在波矢qq
dq中的振动模式数为
S
22qdq
（2
）
与一维求解思路相同，但一定注意二0000维时需计及两种弹性波（一个纵波和一个横波），
则
D
D，此中D
2vp（N）1/2
k0
S
2-11.1：
①T>>θD②T<<θD③介于①、②之间的温度。
提示：
依据第二章中描绘图2-40的曲线的形成进行剖析。
第三章/
1.依据经典的看法，在室温下，金属中每个电子对照热的贡献为3k0/2，依据量子论的看法，如
取EF5eV，则为k0/40，只为经00典值的1/60。
试解说何以二者相差这么大。
提示：
两种状况下电子听从的统计散布不一样，量子论看法以为只有能量高于费米能的那些电子对照热才有贡献。
2.限制在边长为L的正方形中的N个自由电子。
电子能量
（a）求能量E到E+dE之间的状态数；
（b）求此二维系统在绝对零度的费米能量。
解：
此题与2-10题的求解思路近似。
（a）二维系统中，波矢kkdk中的状态数对应2kdk圆环中包含的状态点，所以
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g（k）2
S2
2kdk
Skdk，式中系数2的引入是因为考虑每个状态可容纳自旋相反的两个电
4
子。
2
2
2
因为E（k）
k
，所以由g（k）获得E到E+dE之间的状态数g（E）dE
mL2dE
2m
（b）T=0K时，系统总电子数能够表示以下
EF0
N
2
n
2
N
，此中，电子浓度n
mL2
m
L2
3.设有一金属样品，体积为105m3，其电子可看作自由电子，试计算低于5ev的总的状态数。
解：
低于5ev的总的状态数为
4.在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成
若一个摩尔的钾有N=6×1023个电子，试求钾的费米温度TF和拜温度D。
解：
低温下金属的热容量由电子热容和晶格热容组成，且电子热容正比于T，晶格热容正比于T3。
所以有
5.一维周期场中电子波函数kx应该知足布洛赫定理，若晶格常数是a，电子的波函数为
（a）
k
x
sin
x
a
（b）
k
x
icos3
x
a
（c）
k
x
i
fx
la
（f是某个确立的函数）
试求电子在这些状态的波矢
解:
（a）
k
x
eikxuk（x）
所以uk（x）
eikx
k
x
考虑到
uk
（
）
uk
xa
x
则有
eikx
sin
x
eik（xa）
sin
（x
a）
a
2n
1
a
所以，eika
1,
得k=
n
0,1,2，仅考虑第一布里渊区
k
a
，k
a
a
a
（b）与（a）相同方法，得
k
2n
1
n
0,
1,
2
，仅考虑第一布里渊区
k
内，k
内k
a
a
a
a
a
（c）与（a）相同方法，得
k
2n
n
0,
1,2，仅考虑第一布里渊区
k
内，k
0
a
a
a
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6.证明，当k0T
EF0时，电子数量每增添一个，则费米能变化
此中g（EF0）为费米能级的能态密度。
解：
由本教材第三章的式（
3-21）知
电子每增添一个，费米能级的变化为
23
N
2/3
1
）
2/3
N
2/3
（1
2
3-14）可获得
注意到，（N+1）
（1
），并由本教材第三章的式（
N
3N
0
2m
32
0
12
0
1
g（EF）4
V0（h2）
（EF
）
表达式，简单证得
EF
g（EF0）
7.试证明布洛赫函数不是动量的本征函数
提示：
只需证明p?
p即可，此中p?
为动量算符，为布洛赫函数
8.电子在周期场中的势能
且a=4b,ω是常数。
试画出此势能曲线，并求此势能的均匀值。
解：
V（x）是以a为周期的周期函数，所以
9.用近自由电子模型办理上题。
求此晶体的第一个以及第二个禁带宽度。
解：
势能V（x）在（-2b，2b）区间是个偶函数，睁开成傅立叶级数为
VxV0Vmcosmx，
2b
此中Vm
2
2b
m1
V（x）cosxdx
b
m
V（x）cosxdx
2b
0
2bb
0
2b
第一个禁带宽度
10.在一维周期场中运动的电子，每一个状态
k都存在一个与之简并的状态-k，为何只在n
附
近才用简并微扰，而其余k值却不用用简并微扰办理呢?
a
提示：
由书中第3章式（3-81）～（3-83）知，两个k之间一定知足k
k
2n（n为整数）才
a
会对微扰有贡献。
11.能带宽窄由什么要素决定?
它与晶体所包含的原胞总数N有没关系?
提示：
波函数之间的互作用越强，能带展宽越厉害，与N没关。
12.布里渊区的界限面必定是能量的不连续面，是吗?
提示：
不必定。
对于一维状况，布里渊区的界限面必定是能量的不连续面，但二维以上则否则，可能存在第一布里渊区在某个k方向上的能量最大值大于第二布里渊区另一方向上的能量最小值。
13.已知一维晶体的电子能带可写成此中a是晶格常数，试求
（a）能带的宽度；
（b）电子在波矢k的状态时的速度；
（c）能带底部和顶部电子的有效质量。
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解：
（a）第一求能量最大值和最小值
由dEc（k）
0
获得
k
n
dk
a
n为偶数时，E
Emin
0
n为奇数时，E
Emax
2
2
ma2
所以能带宽度为
（b）速度v
1dE（k）
sinka（1
1
dk
coska）
ma
2
2
m
（c）有效质量
m
d
2E
1
dk2
coskacos2ka
2
导带底k
2l
，l为整数，代入上式得m
底
0
a
导带顶k
（2l1），l为整数，代入上式得m
顶0
a
14.用紧约束方法办理面心立方晶体的S态电子，若只计近来邻的互相作用，试导出能带为
EkE0A4Jcoskxacos
kya
kya
kza
coskzacos
kxa，
cos
cos
2
2
2
2
2
2
并求能带底部电子的有效质量。
解：
任取一个格点为原点，近来邻格点有
12个，它们的地点坐标分别
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